Instrumentalvariablen

In der Statistik , Ökonometrie , Epidemiologie und verwandten Disziplinen wird die quasi-experimentelle Methode der Instrumentalvariablen ( IV ) verwendet, um Kausalzusammenhänge zu schätzen, wenn kontrollierte Experimente nicht durchführbar sind oder eine Behandlung in einem randomisierten Experiment nicht bei allen Einheiten erfolgreich durchgeführt werden kann. ^{[ 1 ]} Intuitiv werden IVs eingesetzt, wenn eine erklärende (auch unabhängige oder Prädiktor-) Variable mit dem Fehlerterm korreliert (endogen) ist, da in diesem Fall die Methode der kleinsten Quadrate und die Varianzanalyse (ANOVA ) zu verzerrten Ergebnissen führen . Ein gültiges Instrument verändert die erklärende Variable (die mit der endogenen Variable korrelierte Variable), hat aber keinen unabhängigen Effekt auf die abhängige Variable und ist nicht mit dem Fehlerterm korreliert. Dadurch kann der Forscher oder Analyst den wahren Kausalzusammenhang der erklärenden Variable mit der abhängigen Variable aufdecken.

Instrumentalvariablenmethoden ermöglichen eine konsistente Schätzung, wenn die erklärenden Variablen (Kovariaten) mit den Fehlertermen in einem Regressionsmodell korreliert sind . Eine solche Korrelation kann auftreten, wenn:

1. Veränderungen der abhängigen Variablen verändern den Wert mindestens einer der Kovariablen ("umgekehrte" Kausalität).
2. Es gibt ausgelassene Variablen , die sowohl die abhängigen als auch die erklärenden Variablen beeinflussen, oder
3. Die Kovariaten unterliegen Messfehlern .

Erklärende Variablen, die im Kontext einer Regression unter einem oder mehreren dieser Probleme leiden, werden mitunter als endogen bezeichnet . In diesem Fall liefert die Methode der kleinsten Quadrate verzerrte und inkonsistente Schätzungen. ^{[ 2 ]} Steht jedoch ein Instrument zur Verfügung, können konsistente Schätzungen erzielt werden. Ein Instrument ist eine Variable, die selbst nicht zur erklärenden Gleichung gehört, aber – bedingt durch den Wert anderer Kovariablen – mit den endogenen erklärenden Variablen korreliert ist.

Bei linearen Modellen gibt es zwei Hauptvoraussetzungen für die Verwendung von unabhängigen Variablen:

• The instrument must be correlated with the endogenous explanatory variables, conditionally on the other covariates. If this correlation is strong, then the instrument is said to have a strong first stage. A weak correlation may provide misleading inferences about parameter estimates and cause the standard errors in the second stage to be larger than the ordinary least squares estimates.^[3][4]
• The instrument cannot be correlated with the error term in the explanatory equation, conditionally on the other covariates. In other words, the instrument cannot suffer from the same problem as the original predicting variable. If this condition is met, then the instrument is said to satisfy the exclusion restriction.

Informally, in attempting to estimate the causal effect of some variable X ("covariate" or "explanatory variable") on another Y ("dependent variable"), an instrument is a third variable Z which affects Y only through its effect on X.

For example, suppose a researcher wishes to estimate the causal effect of smoking (X) on general health (Y).^[5] Correlation between smoking and health does not imply that smoking causes poor health because other variables, such as depression, may affect both health and smoking, or because health may affect smoking. It is not possible to conduct controlled experiments on smoking status in the general population. The researcher may attempt to estimate the causal effect of smoking on health from observational data by using the tax rate for tobacco products (Z) as an instrument for smoking. The tax rate for tobacco products is a reasonable choice for an instrument because the researcher assumes that it can only be correlated with health through its effect on smoking. If the researcher then finds tobacco taxes and state of health to be correlated, this may be viewed as evidence that smoking causes changes in health.

The first use of an instrument variable occurred in a 1928 book by Philip G. Wright, best known for his excellent description of the production, transport and sale of vegetable and animal oils in the early 1900s in the United States.^[6][7] In 1945, Olav Reiersøl applied the same approach in the context of errors-in-variables models in his dissertation, giving the method its name.^[8]

Wright versuchte, Angebot und Nachfrage nach Butter anhand von Paneldaten zu Preisen und Absatzmengen in den USA zu ermitteln . Die Idee war, dass eine Regressionsanalyse eine Nachfrage- oder Angebotskurve liefern könnte, da diese durch den Zusammenhang zwischen Preisen und nachgefragten bzw. angebotenen Mengen bestimmt wird. Das Problem bestand jedoch darin, dass die Beobachtungsdaten keine solche Nachfrage- oder Angebotskurve bildeten, sondern vielmehr eine Punktwolke, die unter verschiedenen Marktbedingungen unterschiedliche Formen annahm. Es schien daher unmöglich, aus den Daten Schlussfolgerungen zu ziehen.

Das Problem bestand darin, dass der Preis sowohl Angebot als auch Nachfrage beeinflusste, sodass sich aus den Beobachtungsdaten keine Funktion ableiten ließ, die nur eines der beiden beschrieb. Wright schlussfolgerte daher richtigerweise, dass er eine Variable benötigte, die entweder mit der Nachfrage oder mit dem Angebot, aber nicht mit beiden korrelierte – also eine Instrumentalvariable.

Nach eingehender Überlegung entschied sich Wright, die regionalen Niederschläge als Instrumentvariable zu verwenden: Er kam zu dem Schluss, dass die Niederschläge die Grasproduktion und damit die Milchproduktion und letztlich das Butterangebot, nicht aber die Butternachfrage beeinflussten. Auf diese Weise konnte er eine Regressionsgleichung mit lediglich den Instrumentvariablen Preis und Angebot aufstellen. ^{[ 9 ]}

Formale Definitionen von Instrumentalvariablen unter Verwendung von Kontrafakten und grafischen Kriterien wurden von Judea Pearl im Jahr 2000 gegeben. ^{[ 10 ]} Angrist und Krueger (2001) geben einen Überblick über die Geschichte und die Anwendung von Instrumentalvariablentechniken. ^{[ 11 ]} Kausalitätsbegriffe in der Ökonometrie und deren Beziehung zu Instrumentalvariablen und anderen Methoden werden von Heckman (2008) diskutiert. ^{[ 12 ]}

Obwohl die Ideen hinter Instrumentalvariablen (IV) auf eine breite Klasse von Modellen anwendbar sind, findet IV häufig Anwendung in der linearen Regression . Traditionell ^{[ 13 ]} wird eine Instrumentalvariable als eine Variable definiert , die mit der unabhängigen Variable korreliert und unkorreliert mit dem Fehlerterm in der linearen Gleichung ist.${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$ist ein Vektor. ist eine Matrix, üblicherweise mit einer Spalte voller Einsen und gegebenenfalls zusätzlichen Spalten für weitere Kovariaten. Betrachten wir, wie ein Instrument die Rekonstruktion von ermöglicht. Die OLS- Regression berechnet so, dass (wenn wir die Summe der quadrierten Fehler minimieren, ist die Bedingung erster Ordnung genau ). Wenn angenommen wird, dass das wahre Modell aufgrund eines der oben genannten Gründe – beispielsweise, wenn eine ausgelassene Variable sowohl als auch separat beeinflusst – einen Wert aufweist, liefert dieses OLS -Verfahren nicht den kausalen Einfluss von auf . OLS wählt einfach den Parameter, der die resultierenden Fehler scheinbar unkorreliert mit erscheinen lässt . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\widehat {U}})=0}$${\displaystyle \min _{\beta }(Y-X\beta )'(Y-X\beta )}$${\displaystyle X'(Y-X{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,U)\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Vereinfachend betrachten wir den Fall mit einer einzigen Variablen. Angenommen, wir betrachten eine Regression mit einer Variablen und einer Konstanten (vielleicht sind keine weiteren Kovariablen notwendig, oder vielleicht haben wir alle anderen relevanten Kovariablen herausgerechnet ):

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

In diesem Fall ist der Koeffizient des interessierenden Regressors gegeben durch . Durch Einsetzen von erhält man${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

Dabei ist der geschätzte Koeffizientenvektor angegeben, der sich ergäbe, wenn . In diesem Fall lässt sich zeigen, dass ein erwartungstreuer Schätzer für ist . Wenn im zugrunde liegenden Modell angenommen wird, dass , liefert die OLS- Schätzung eine inkonsistente Schätzung, die den relevanten kausalen Effekt nicht widerspiegelt. Die Instrumentalvarianz (IV) behebt dieses Problem, indem sie die Parameter nicht anhand der Unkorreliertheit von mit identifiziert , sondern anhand der Unkorreliertheit einer anderen Variablen mit . Wenn die Theorie nahelegt, dass mit (erster Schritt) zusammenhängt , aber mit unkorreliert ist (Ausschlussrestriktion), kann die IV den relevanten kausalen Parameter identifizieren, bei dem die OLS-Schätzung versagt. Da es selbst im linearen Fall mehrere spezifische Methoden zur Anwendung und Herleitung von IV-Schätzern gibt (IV, 2SLS, GMM), behandeln wir diese im Abschnitt „Schätzung“ weiter unten ausführlicher. ${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)=0}$${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)\neq 0}$${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

IV-Techniken wurden für eine wesentlich breitere Klasse nichtlinearer Modelle entwickelt. Allgemeine Definitionen von Instrumentalvariablen unter Verwendung kontrafaktischer und grafischer Formalismen wurden von Pearl (2000; S. 248) gegeben. ^{[ 10 ]} Die grafische Definition erfordert, dass Z die folgenden Bedingungen erfüllt:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

wobei für d -Separation steht und für den Graphen , in dem alle in X führenden Pfeile abgeschnitten sind. ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

Die kontrafaktische Definition erfordert, dass Z die folgende Bedingung erfüllt:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

where Y_x stands for the value that Y would attain had X been x and ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$ stands for independence.

If there are additional covariates W then the above definitions are modified so that Z qualifies as an instrument if the given criteria hold conditional on W.

The essence of Pearl's definition is:

1. The equations of interest are "structural", not "regression".
2. The error term U stands for all exogenous factors that affect Y when X is held constant.
3. The instrument Z should be independent of U.
4. The instrument Z should not affect Y when X is held constant (exclusion restriction).
5. The instrument Z should not be independent of X.

These conditions do not rely on specific functional form of the equations and are applicable therefore to nonlinear equations, where U can be non-additive (see Non-parametric analysis). They are also applicable to a system of multiple equations, in which X (and other factors) affect Y through several intermediate variables. An instrumental variable need not be a cause of X; a proxy of such cause may also be used, if it satisfies conditions 1–5.^[10] The exclusion restriction (condition 4) is redundant; it follows from conditions 2 and 3.

Since U is unobserved, the requirement that Z be independent of U cannot be inferred from data and must instead be determined from the model structure, i.e., the data-generating process. Causal graphs are a representation of this structure, and the graphical definition given above can be used to quickly determine whether a variable Z qualifies as an instrumental variable given a set of covariates W. To see how, consider the following example.

Angenommen, wir möchten den Effekt eines universitären Nachhilfeprogramms auf den Notendurchschnitt ( GPA ) schätzen. Der Zusammenhang zwischen der Teilnahme am Nachhilfeprogramm und dem GPA kann durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden. Studierende, die das Nachhilfeprogramm besuchen, legen möglicherweise mehr Wert auf ihre Noten oder haben Schwierigkeiten mit dem Studium. Diese Beeinflussung wird in den Abbildungen 1–3 rechts durch den bidirektionalen Bogen zwischen Nachhilfeprogramm und GPA dargestellt. Werden Studierende zufällig den Wohnheimen zugeteilt, bietet sich die Nähe des Wohnheims zum Nachhilfeprogramm als Instrumentvariable an.

• 
  Abbildung 1: Nähe kann als Instrumentvariable in Abhängigkeit von den Bibliotheksöffnungszeiten verwendet werden.
• 
  Abbildung 2: , die verwendet wird, um festzustellen, ob Nähe eine Instrumentalvariable ist.${\displaystyle G_{\overline {X}}}$
• 
  Abbildung 3: Nähe eignet sich angesichts der Bibliotheksöffnungszeiten nicht als Instrumentalvariable.
• 
  Abbildung 4: Nähe kann als Instrumentvariable verwendet werden, solange wir die Öffnungszeiten der Bibliothek nicht als Kovariate einbeziehen.

Was aber, wenn das Tutorienprogramm in der Hochschulbibliothek stattfindet? In diesem Fall könnte die Nähe dazu führen, dass Studierende mehr Zeit in der Bibliothek verbringen, was wiederum ihren Notendurchschnitt verbessert (siehe Abbildung 1). Anhand des in Abbildung 2 dargestellten Kausaldiagramms lässt sich erkennen, dass die Nähe nicht als Instrumentvariable geeignet ist, da sie über den Pfad Nähe − Bibliotheksstunden − Notendurchschnitt mit dem Notendurchschnitt verknüpft ist . Wenn wir jedoch die Bibliotheksstunden als Kovariate berücksichtigen, wird die Nähe zu einer Instrumentvariable, da sie dann, unter Berücksichtigung der Bibliotheksstunden, vom Notendurchschnitt unabhängig ist . ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

Angenommen, wir stellen fest, dass die „natürliche Begabung“ eines Studierenden sowohl seine oder ihre Bibliotheksstunden als auch seinen oder ihren Notendurchschnitt beeinflusst (siehe Abbildung 3). Mithilfe des Kausaldiagramms erkennen wir, dass die Bibliotheksstunden ein Kollider sind und die Bedingung darauf den Pfad Nähe → Bibliotheksstunden → Notendurchschnitt öffnet. Daher kann Nähe nicht als Instrumentvariable verwendet werden. ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

Angenommen, die Bibliotheksöffnungszeiten beeinflussen den Notendurchschnitt nicht, weil Studierende, die nicht in der Bibliothek lernen, einfach woanders lernen (siehe Abbildung 4). In diesem Fall führt die Berücksichtigung der Bibliotheksöffnungszeiten weiterhin zu einem Scheinkorrelationskoeffizienten zwischen Nähe und Notendurchschnitt. Lässt man die Bibliotheksöffnungszeiten jedoch außer Acht und entfernt sie als Kovariate, kann die Nähe wieder als Instrumentvariable verwendet werden.

Wir werden nun die Mechanismen der IV-Methode genauer betrachten und erläutern. Angenommen, die Daten werden durch einen Prozess der folgenden Form generiert:

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

Wo

• i indiziert Beobachtungen,
• ${\displaystyle y_{i}}$ist der i -te Wert der abhängigen Variablen,
• ${\displaystyle X_{i}}$ist ein Vektor der i -ten Werte der unabhängigen Variablen und einer Konstanten,
• ${\displaystyle e_{i}}$ist der i -te Wert eines nicht beobachteten Fehlerterms, der alle anderen Ursachen als repräsentiert , und${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle \beta }$ist ein nicht beobachteter Parametervektor.

Der Parametervektor beschreibt den kausalen Effekt einer Änderung jedes Elements von um eine Einheit auf , wobei alle anderen Einflussfaktoren auf konstant gehalten werden. Das ökonometrische Ziel ist die Schätzung von . Vereinfachend wird angenommen, dass die Stichproben von e unkorreliert sind und aus Verteilungen mit derselben Varianz stammen (d. h., dass die Fehler seriell unkorreliert und homoskedastisch sind ). ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \beta }$

Angenommen, es wird ein Regressionsmodell von nominell derselben Form vorgeschlagen. Gegeben eine Zufallsstichprobe von T Beobachtungen aus diesem Prozess, ist der Schätzer der kleinsten Quadrate gegeben durch

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

Hierbei bezeichnen X , y und e Spaltenvektoren der Länge T. Diese Gleichung ähnelt der Gleichung aus der Einleitung (dies ist die Matrixversion jener Gleichung). Sind X und e unkorreliert , so hat der zweite Term unter bestimmten Regularitätsbedingungen einen Erwartungswert von null, bedingt auf X , und konvergiert im Grenzwert gegen null. Der Schätzer ist somit erwartungstreu und konsistent. Sind X und die anderen ungemessenen, kausalen Variablen, die im Term e zusammengefasst sind, jedoch korreliert, ist der OLS-Schätzer im Allgemeinen verzerrt und inkonsistent für  β . In diesem Fall ist es zwar zulässig, die Schätzwerte zur Vorhersage von y -Werten anhand von X- Werten zu verwenden , der Schätzwert gibt jedoch nicht den kausalen Effekt von X auf  y wieder . ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,y)}$

Um den zugrundeliegenden Parameter zu ermitteln , führen wir eine Menge von Variablen Z ein, die mit jeder endogenen Komponente von X hoch korreliert ist , aber (in unserem zugrundeliegenden Modell) nicht mit  e korreliert ist . Vereinfachend könnte man X als T × 2-Matrix betrachten, bestehend aus einer Spalte mit Konstanten und einer endogenen Variable, und Z als T × 2-Matrix, bestehend aus einer Spalte mit Konstanten und einer Instrumentvariablen. Diese Methode lässt sich jedoch verallgemeinern, sodass X eine Matrix aus einer Konstanten und beispielsweise fünf endogenen Variablen ist, während Z eine Matrix aus einer Konstanten und fünf Instrumentvariablen ist. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass X eine T × K- Matrix ist und lassen den Wert von K unbestimmt. Ein Schätzer, bei dem sowohl X als auch Z T × K -Matrizen sind , wird als gerade identifiziert bezeichnet . ${\displaystyle \beta }$

Angenommen, die Beziehung zwischen jeder endogenen Komponente x _i und den Instrumenten ist gegeben durch

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

Die gebräuchlichste IV-Spezifikation verwendet den folgenden Schätzer:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

Diese Spezifikation nähert sich dem wahren Parameter mit zunehmender Stichprobengröße an, solange sie im wahren Modell gilt: ${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

Solange der zugrunde liegende Prozess, der die Daten generiert, diesen Parameter identifiziert, ermöglicht die korrekte Anwendung des IV-Schätzers die Bestimmung dieses Parameters. Dies funktioniert, da IV den eindeutigen Parameter findet, der die Bedingung erfüllt , und sich somit mit zunehmendem Stichprobenumfang dem wahren zugrunde liegenden Parameter annähert. ${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

Nun eine Erweiterung: Angenommen, die interessierende Gleichung enthält mehr Instrumente als Kovariaten, sodass Z eine T × M- Matrix mit M > K ist . Dies wird oft als überidentifizierter Fall bezeichnet. In diesem Fall kann die verallgemeinerte Momentenmethode (GMM) angewendet werden. Der GMM-IV-Schätzer ist

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

wobei sich auf die Projektionsmatrix bezieht . ${\displaystyle P_{Z}}$${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$

Dieser Ausdruck reduziert sich auf den ersten, wenn die Anzahl der Instrumente der Anzahl der Kovariablen in der betrachteten Gleichung entspricht. Das überidentifizierte Instrumental ist daher eine Verallgemeinerung des gerade identifizierten Instrumentalmodells.

Für den Fall m < k existiert ein äquivalenter unteridentifizierter Schätzer . Da die Parameter die Lösungen eines Systems linearer Gleichungen sind, besitzt ein unteridentifiziertes Modell, das dieses Gleichungssystem verwendet, keine eindeutige Lösung. ${\displaystyle Z'v=0}$

Eine Methode zur Berechnung von IV-Schätzungen ist die zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS oder TSLS). Im ersten Schritt wird jede erklärende Variable, die eine endogene Kovariate in der interessierenden Gleichung darstellt, auf alle exogenen Variablen im Modell regressiert, einschließlich der exogenen Kovariaten in der interessierenden Gleichung und der ausgeschlossenen Instrumente. Die aus diesen Regressionen vorhergesagten Werte werden ermittelt.

Phase 1: Regression jeder Spalte von X auf Z , ( ): ${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

und die vorhergesagten Werte speichern:

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

Im zweiten Schritt wird die Regression, die von Interesse ist, wie üblich geschätzt, mit der Ausnahme, dass in diesem Schritt jede endogene Kovariate durch die in der ersten Phase vorhergesagten Werte ersetzt wird:

Phase 2: Regression von Y auf die in der ersten Phase vorhergesagten Werte:

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

was ergibt

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

Diese Methode ist nur in linearen Modellen gültig. Bei kategorialen endogenen Kovariablen könnte man versucht sein, in der ersten Stufe eine andere Methode als die gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung (OLS) zu verwenden, beispielsweise ein Probit-Modell, gefolgt von OLS in der zweiten Stufe. Dies ist in der ökonometrischen Literatur als verbotene Regression bekannt ^{[ 15 ]} , da die IV-Parameterschätzungen der zweiten Stufe nur in Sonderfällen konsistent sind ^{[ 16 ] .}

Der resultierende Schätzer ist numerisch identisch mit dem oben dargestellten Ausdruck. Um die Kovarianzmatrix von korrekt zu berechnen, muss die Summe der quadrierten Residuen im angepassten Modell der zweiten Stufe geringfügig korrigiert werden. ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

Wenn die Form der Strukturgleichungen unbekannt ist, kann eine Instrumentalvariable dennoch durch die Gleichungen definiert werden: ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

Dabei sind und zwei beliebige Funktionen, und ist unabhängig von . Im Gegensatz zu linearen Modellen erlauben Messungen von und jedoch keine Bestimmung des durchschnittlichen kausalen Effekts von auf , bezeichnet als ACE. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Z,X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

Balke und Pearl [1997] leiteten enge Schranken für ACE ab und zeigten, dass diese wertvolle Informationen über das Vorzeichen und die Größe von ACE liefern können. ^{[ 17 ]}

In der linearen Analysis gibt es keinen Test, um die Annahme zu widerlegen, dass die Funktion bezüglich des Paares instrumentell ist . Dies ist nicht der Fall, wenn diskret ist. Pearl (2000) hat gezeigt, dass für alle und die folgende Bedingung, die sogenannte „Instrumentelle Ungleichung“, gelten muss, wenn die beiden obigen Gleichungen erfüllt sind: ^{[ 10 ]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

Die obige Darstellung setzt voraus, dass der interessierende Kausaleffekt über verschiedene Beobachtungen hinweg konstant ist. Im Allgemeinen reagieren verschiedene Personen unterschiedlich auf Veränderungen der „Behandlung“ x . Wird diese Möglichkeit berücksichtigt, kann der durchschnittliche Effekt einer Veränderung von x auf y in der Gesamtpopulation vom Effekt in einer bestimmten Teilpopulation abweichen. Beispielsweise kann der durchschnittliche Effekt eines Weiterbildungsprogramms erheblich zwischen der Gruppe der Teilnehmenden und der Gruppe, die sich gegen die Teilnahme entscheidet, variieren. Aus diesen Gründen basieren IV-Methoden auf impliziten Annahmen über das Verhalten oder allgemeiner auf Annahmen über die Korrelation zwischen der Reaktion auf die Behandlung und der Bereitschaft zur Teilnahme. ^{[ 18 ]}${\displaystyle \beta }$

The standard IV estimator can recover local average treatment effects (LATE) rather than average treatment effects (ATE).^[1] Imbens and Angrist (1994) demonstrate that the linear IV estimate can be interpreted under weak conditions as a weighted average of local average treatment effects, where the weights depend on the elasticity of the endogenous regressor to changes in the instrumental variables. Roughly, that means that the effect of a variable is only revealed for the subpopulations affected by the observed changes in the instruments, and that subpopulations which respond most to changes in the instruments will have the largest effects on the magnitude of the IV estimate.

For example, if a researcher uses presence of a land-grant college as an instrument for college education in an earnings regression, she identifies the effect of college on earnings in the subpopulation which would obtain a college degree if a college is present but which would not obtain a degree if a college is not present. This empirical approach does not, without further assumptions, tell the researcher anything about the effect of college among people who would either always or never get a college degree regardless of whether a local college exists.

As Bound, Jaeger, and Baker (1995) note, a problem is caused by the selection of "weak" instruments, instruments that are poor predictors of the endogenous question predictor in the first-stage equation.^[19] In this case, the prediction of the question predictor by the instrument will be poor and the predicted values will have very little variation. Consequently, they are unlikely to have much success in predicting the ultimate outcome when they are used to replace the question predictor in the second-stage equation.

In the context of the smoking and health example discussed above, tobacco taxes are weak instruments for smoking if smoking status is largely unresponsive to changes in taxes. If higher taxes do not induce people to quit smoking (or not start smoking), then variation in tax rates tells us nothing about the effect of smoking on health. If taxes affect health through channels other than through their effect on smoking, then the instruments are invalid and the instrumental variables approach may yield misleading results. For example, places and times with relatively health-conscious populations may both implement high tobacco taxes and exhibit better health even holding smoking rates constant, so we would observe a correlation between health and tobacco taxes even if it were the case that smoking has no effect on health. In this case, we would be mistaken to infer a causal effect of smoking on health from the observed correlation between tobacco taxes and health.

Die Stärke der Instrumente lässt sich direkt beurteilen, da sowohl die endogenen Kovariablen als auch die Instrumente beobachtbar sind. ^{[ 20 ]} Eine gängige Faustregel für Modelle mit einem endogenen Regressor lautet: Die F-Statistik gegen die Nullhypothese , dass die ausgeschlossenen Instrumente in der Regression der ersten Stufe irrelevant sind, sollte größer als 10 sein.

Sind die Kovariablen exogen, lassen sich die Eigenschaften des OLS-Schätzers bei kleinen Stichproben auf einfache Weise durch die Berechnung der Momente des Schätzers bedingt auf X ableiten . Sind einige der Kovariablen endogen, sodass eine Schätzung mit Instrumentvariablen erforderlich ist, lassen sich keine einfachen Ausdrücke für die Momente des Schätzers auf diesem Wege gewinnen. Im Allgemeinen weisen Instrumentvariablenschätzer nur wünschenswerte asymptotische, nicht aber Eigenschaften für endliche Stichproben auf, und die Inferenz basiert auf asymptotischen Approximationen der Stichprobenverteilung des Schätzers. Selbst wenn die Instrumente unkorreliert mit dem Fehler in der interessierenden Gleichung sind und nicht schwach, können die Eigenschaften des Instrumentvariablenschätzers bei endlichen Stichproben unzureichend sein. Beispielsweise liefern exakt identifizierte Modelle Schätzer für endliche Stichproben ohne Momente, sodass der Schätzer weder als verzerrt noch als unverzerrt bezeichnet werden kann. Die nominale Größe der Teststatistik kann erheblich verzerrt sein, und die Schätzungen können häufig weit vom wahren Wert des Parameters entfernt liegen. ^{[ 21 ]}

Die Annahme, dass die Instrumente nicht mit dem Fehlerterm in der interessierenden Gleichung korreliert sind, lässt sich in exakt identifizierten Modellen nicht testen. Bei überidentifizierten Modellen stehen jedoch Informationen zur Verfügung, mit denen diese Annahme überprüft werden kann. Der gebräuchlichste Test dieser Überidentifizierungsrestriktionen , der sogenannte Sargan-Hansen-Test , basiert auf der Beobachtung, dass die Residuen mit den exogenen Variablen unkorreliert sein sollten, wenn die Instrumente tatsächlich exogen sind. ^{[ 22 ]} Die Teststatistik des Sargan-Hansen-Tests lässt sich aus der OLS-Regression der Residuen auf die exogenen Variablen berechnen (Anzahl der Beobachtungen multipliziert mit dem Bestimmtheitsmaß ). Unter der Nullhypothese, dass der Fehlerterm nicht mit den Instrumenten korreliert ist, ist diese Statistik asymptotisch χ²-verteilt mit m  −  k Freiheitsgraden. ${\displaystyle TR^{2}}$

• Kontrollfunktion (Ökonometrie)  – Statistische Methoden zur Korrektur von Endogenitätsproblemen
• Optimale Instrumente  – Technik zur Verbesserung der Effizienz von Schätzern in bedingten Momentenmodellen

• Greene, William H. (2008). Econometric Analysis (Sixth ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. pp. 314–353. ISBN 978-0-13-600383-0.
• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). Basic Econometrics (Fifth ed.). New York: McGraw-Hill Irwin. pp. 711–736. ISBN 978-0-07-337577-9.
• Keane, Michael P.; Neal, Timothy (2024). "A Practical Guide to Weak Instruments". Annual Review of Economics. 16: 185–212.
• Sargan, Denis (1988). Lectures on Advanced Econometric Theory. Oxford: Basil Blackwell. pp. 42–67. ISBN 978-0-631-14956-9.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). Introductory Econometrics: A Modern Approach (Fifth international ed.). Mason, OH: South-Western. pp. 490–528. ISBN 978-1-111-53439-4.

• Wooldridge, J. (1997): Quasi-Likelihood Methods for Count Data, Handbook of Applied Econometrics, Volume 2, ed. M. H. Pesaran and P. Schmidt, Oxford, Blackwell, pp. 352–406
• Terza, J. V. (1998): "Estimating Count Models with Endogenous Switching: Sample Selection and Endogenous Treatment Effects." Journal of Econometrics (84), pp. 129–154
• Wooldridge, J. (2002): "Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data", MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

• Chapter from Daniel McFadden's textbook
• Vorlesung zur Ökonometrie (Thema: Instrumentalvariable) auf YouTube von Mark Thoma .
• Vorlesung zur Ökonometrie (Thema: Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung) auf YouTube von Mark Thoma