Knoten (Physik)

Ein Knoten ist ein Punkt einer stehenden Welle , an dem die Amplitude minimal ist . Beispielsweise sind bei einer schwingenden Gitarrensaite die Enden der Saite Knoten. Durch Verändern der Position des Endknotens mithilfe der Bünde ändert der Gitarrist die effektive Länge der schwingenden Saite und damit den gespielten Ton . Das Gegenteil eines Knotens ist ein Schwingungsbauch , ein Punkt, an dem die Amplitude der stehenden Welle maximal ist. Diese befinden sich jeweils in der Mitte zwischen den Knoten. ^{[ 1 ]}

Stehende Wellen entstehen, wenn sich zwei sinusförmige Wellenzüge gleicher Frequenz im selben Raum in entgegengesetzte Richtungen bewegen und miteinander interferieren . ^{[ 2 ]} Sie treten auf, wenn Wellen an einer Grenzfläche reflektiert werden, beispielsweise Schallwellen an einer Wand oder elektromagnetische Wellen am Ende einer Übertragungsleitung , und insbesondere dann, wenn Wellen in einem Resonanzkörper eingeschlossen sind und zwischen zwei Begrenzungen hin und her reflektiert werden, wie etwa in einer Orgelpfeife oder einer Gitarrensaite .

Bei einer stehenden Welle sind die Knotenpunkte äquidistant, an denen die Wellenamplitude ( Bewegung) null ist (siehe Animation oben). An diesen Punkten überlagern sich die beiden Wellen mit entgegengesetzter Phase und heben sich gegenseitig auf. Sie treten in Abständen einer halben Wellenlänge (λ/2) auf. In der Mitte zwischen je zwei Knotenpunkten befinden sich die Punkte maximaler Amplitude. Diese werden als Schwingungsbäuche bezeichnet . An diesen Punkten überlagern sich die beiden Wellen mit gleicher Phase und verstärken sich gegenseitig.

Wenn die beiden entgegengesetzten Wellenzüge nicht die gleiche Amplitude aufweisen, heben sie sich nicht vollständig auf. Daher ist die Amplitude der stehenden Welle an den Knotenpunkten nicht null, sondern lediglich minimal. Dies tritt auf, wenn die Reflexion an der Grenzfläche nicht perfekt ist. Dies zeigt sich in einem endlichen Stehwellenverhältnis (SWR), dem Verhältnis der Wellenamplitude am Schwingungsbauch zur Amplitude am Knotenpunkt.

Bei der Resonanz einer zweidimensionalen Oberfläche oder Membran, wie beispielsweise eines Trommelfells oder einer schwingenden Metallplatte, werden die Schwingungsknoten zu Knotenlinien. Diese Linien verlaufen entlang der ruhenden Bereiche der Oberfläche und teilen diese in separate, gegenphasig schwingende Bereiche. Sie lassen sich sichtbar machen, indem man Sand auf die Oberfläche streut; die entstehenden komplexen Linienmuster werden Chladni-Figuren genannt .

Bei Übertragungsleitungen ist ein Spannungsknoten ein Strombauch und ein Spannungsbauch ein Stromknoten.

Knotenpunkte sind die Punkte der Nullverschiebung, nicht die Punkte, an denen sich zwei Teilwellen schneiden.

Die Lage der Knotenpunkte in Bezug auf die die Wellen reflektierende Grenze hängt von den Endbedingungen bzw. Randbedingungen ab . Obwohl es viele Arten von Endbedingungen gibt, weisen die Enden von Resonatoren üblicherweise einen von zwei Typen auf, die eine Totalreflexion verursachen:

• Feste Begrenzung: Beispiele für diese Art von Begrenzung sind der Befestigungspunkt einer Gitarrensaite , das geschlossene Ende einer offenen Pfeife wie einer Orgelpfeife oder einer Holzblasinstrumentenpfeife , der Rand eines Trommelfells , eine Übertragungsleitung mit kurzgeschlossenem Ende oder die Spiegel an den Enden eines Laserresonators . Bei dieser Art von Begrenzung wird die Amplitude der Welle an der Begrenzung auf null gesetzt, sodass sich an der Begrenzung ein Knotenpunkt befindet und die anderen Knotenpunkte in Vielfachen einer halben Wellenlänge von diesem entfernt auftreten.
  0, λ/2, λ, 3λ/2, 2λ, ..., n λ/2.
• Freie Begrenzung: Beispiele hierfür sind eine offene Orgel- oder Holzblasinstrumentenpfeife, die Enden der schwingenden Resonanzstäbe eines Xylophons , Glockenspiels oder einer Stimmgabel , die Enden einer Antenne oder eine Übertragungsleitung mit offenem Ende. Bei dieser Begrenzung wird die Ableitung (Steigung) der Wellenamplitude (der Schalldruck , der Strom bei elektromagnetischen Wellen) an der Begrenzung auf null gesetzt. Daher befindet sich an der Begrenzung ein Amplitudenmaximum (Schwungbauch), der erste Knoten liegt eine Viertelwellenlänge vom Ende entfernt, und die weiteren Knoten befinden sich in Abständen von jeweils einer halben Wellenlänge.
  λ/4, 3λ/4, 5λ/4, 7λ/4, ..., (2 n + 1)λ/4.

Eine Schallwelle besteht aus abwechselnden Zyklen von Kompression und Expansion des Schallmediums. Bei der Kompression werden die Moleküle des Mediums zusammengedrückt, was zu erhöhtem Druck und höherer Dichte führt. Bei der Expansion werden die Moleküle auseinandergedrückt, was zu verringertem Druck und geringerer Dichte führt.

Die Anzahl der Knoten in einer bestimmten Länge ist direkt proportional zur Frequenz der Welle.

Gelegentlich werden auf Gitarren, Violinen oder anderen Saiteninstrumenten Knotenpunkte verwendet, um Obertöne zu erzeugen . Wenn der Finger an einer bestimmten Stelle auf die Saite gesetzt wird, diese aber nicht vollständig auf das Griffbrett herunterdrückt, entsteht (zusätzlich zu Steg und Sattel ) ein dritter Knotenpunkt, und ein Oberton erklingt. Beim normalen Spielen mit den Bünden sind die Obertöne immer vorhanden, wenn auch leiser. Mit der Methode der künstlichen Knotenpunkte ist der Oberton lauter und der Grundton leiser. Wird der Finger in der Mitte der Saite platziert, erklingt der erste Oberton, der eine Oktave über dem Grundton liegt, der ohne den Oberton erklingen würde. Teilen zwei zusätzliche Knotenpunkte die Saite in Terzen, entsteht eine Oktave und eine reine Quinte (Dubtel). Teilen drei zusätzliche Knotenpunkte die Saite in Viertel, entsteht eine Doppeloktave. Teilen vier zusätzliche Knotenpunkte die Saite in Quinten, entsteht eine Doppeloktave und eine große Terz (Sechzehntel). Die Oktave, die große Terz und die reine Quinte sind die drei Töne, die in einem Dur-Akkord vorkommen.

Der charakteristische Klang, der es dem Zuhörer ermöglicht, ein bestimmtes Instrument zu identifizieren, ist im Wesentlichen auf die relative Stärke der vom Instrument erzeugten Obertöne zurückzuführen.

Bei zweidimensionalen stehenden Wellen sind die Knotenpunkte Kurven (oft gerade Linien oder Kreise, wenn sie auf einfachen geometrischen Formen dargestellt werden). Beispielsweise sammelt sich Sand entlang der Knotenpunkte einer vibrierenden Chladni-Platte und markiert so Bereiche, in denen sich die Platte nicht bewegt. ^{[ 3 ]}

In der Chemie werden quantenmechanische Wellen oder „ Orbitale “ verwendet, um die Welleneigenschaften von Elektronen zu beschreiben. Viele dieser Quantenwellen besitzen Knoten und Bäuche. Anzahl und Lage dieser Knoten und Bäuche bestimmen viele Eigenschaften eines Atoms oder einer kovalenten Bindung . Atomorbitale werden anhand der Anzahl ihrer radialen und angewinkelten Knoten klassifiziert. Ein radialer Knoten des Wasserstoffatoms ist eine Kugel, die dort auftritt, wo die Wellenfunktion des Atomorbitals null ist, während der angewinkelte Knoten eine Ebene ist. ^{[ 4 ]}

Molekülorbitale werden nach ihrem Bindungscharakter klassifiziert. Molekülorbitale mit einem Schwingungsbauch zwischen den Atomkernen sind sehr stabil und werden als „bindende Orbitale“ bezeichnet, da sie die Bindung verstärken. Im Gegensatz dazu sind Molekülorbitale mit einem Schwingungsknoten zwischen den Atomkernen aufgrund der elektrostatischen Abstoßung instabil und werden als „antibindende Orbitale“ bezeichnet, da sie die Bindung schwächen. Ein weiteres quantenmechanisches Konzept ist das Teilchen im Kasten , bei dem die Anzahl der Schwingungsknoten der Wellenfunktion den quantenmechanischen Energiezustand mitbestimmt – null Schwingungsknoten entsprechen dem Grundzustand, ein Schwingungsknoten dem ersten angeregten Zustand usw. Allgemein gilt ^{[ 5 ]} : Ordnet man die Eigenzustände nach steigender Energie an, so ergeben sich auch die Eigenfunktionen in der Reihenfolge steigender Schwingungsknotenanzahl; die n -te Eigenfunktion besitzt n  − 1 Schwingungsknoten, zwischen denen die folgenden Eigenfunktionen jeweils mindestens einen Schwingungsknoten aufweisen. ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\dots }$