Blockstapelproblem

In der Statik ist das Blockstapelproblem (manchmal auch als Schiefer Turm von Lire ( Johnson 1955 ), auch als Bücherstapelproblem , harmonische Treppe [ ^{1 ] oder eine Reihe anderer ähnlicher Begriffe bekannt) ein Rätsel ,} das sich mit dem Stapeln von Blöcken am Rand eines Tisches befasst.

Das Blockstapelproblem ist folgendes Rätsel:

Platziere identische , starre rechteckige Blöcke zu einem stabilen Stapel auf einer Tischkante, sodass der Überhang maximal ist. ${\displaystyle N}$

Paterson et al. (2007) liefern eine lange Liste von Referenzen zu diesem Problem, die bis zu Mechaniklehrbüchern aus der Mitte des 19. Jahrhunderts zurückreicht .

Das Problem der einzelnen Blöcke besteht darin, dass sich auf jeder Ebene nur ein Block befindet. Im Idealfall perfekt rechteckiger Blöcke und gleichmäßiger Gravitationsbeschleunigung (der Wert von g nimmt mit zunehmender Höhe ab) ergibt sich die Lösung des Problems, dass der maximale Überhang dem Produkt aus der Blockbreite und der Breite des Blocks entspricht. Diese Summe ist die Hälfte der entsprechenden Partialsumme der harmonischen Reihe . Da die harmonische Reihe divergiert, strebt der maximale Überhang mit zunehmender Blockbreite gegen unendlich . Dies bedeutet, dass mit genügend Blöcken jeder beliebig große Überhang realisiert werden kann. ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}}$${\displaystyle N}$

Die Anzahl der Blöcke, die benötigt werden, um mindestens Blocklängen über den Rand der Tabelle hinaus zu gelangen, beträgt 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, ... (Folge A014537 in der OEIS ). ^{[ 2 ]}${\displaystyle N}$

Mehrere breite Stapel mit Gegengewichten können größere Überhänge erzeugen als ein einlagiger Stapel. Selbst bei drei Blöcken kann das Stapeln zweier ausbalancierter Blöcke auf einen dritten Block einen Überhang von 1 ergeben, während der Überhang im einfachsten Idealfall höchstens 1 beträgt.11/12Wie Paterson et al. (2007) zeigten, ist der maximal erreichbare Überhang bei mehrlagigen Stapeln asymptotisch proportional zur Kubikwurzel der Blockanzahl, im Gegensatz zum Fall einlagiger Stapel, bei dem der Überhang proportional zum Logarithmus der Blockanzahl ist. Es wurde jedoch gezeigt, dass dies in der Realität unmöglich ist und die Anzahl der Blöcke, die aufgrund von Blockspannungen nach rechts verschoben werden können, einen bestimmten Wert nicht überschreitet. Zum Beispiel für einen speziellen Ziegel mit h =0,20 m , Elastizitätsmodul E =3000 MPa und Dichte ρ =1,8 × 10³ ^kg  /m³ ^und GrenzdruckspannungBei 3 MPa beträgt der ungefähre Wert von N 853 und die maximale Turmhöhe wird170 m . ^{[ 3 ]}

Die obige Formel für den maximalen Überhang von Blöcken der Länge und Masse , die übereinander gestapelt sind, lässt sich durch Induktion beweisen , indem man die Drehmomente betrachtet , die auf die Blöcke um die Kante des Tisches wirken, über den sie hinausragen. Die Blöcke können als Punktmassen modelliert werden, deren Mittelpunkt jeweils in der Mitte liegt, wobei eine gleichmäßige Massendichte angenommen wird. Im Basisfall ( ) liegt der Massenschwerpunkt des Blocks über der Tischkante, was einem Überhang von entspricht . Für Blöcke muss der Massenschwerpunkt des -Blocksystems über der Tischkante liegen, und der Massenschwerpunkt des obersten Blocks muss über der Kante des ersten Blocks liegen, um ein statisches Gleichgewicht zu gewährleisten. ^{[ 4 ]} Wenn der -te Block den -ten Block um überragt und der Überhang des ersten Blocks beträgt , ^{[ 5 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle l/2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle l/2}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (k-1)mgx=(l/2-x)mg\implies x=l/2k,}$

wobei das Gravitationsfeld bezeichnet . Wenn die oberen Blöcke ihren Massenschwerpunkt um überragen , dann ist nach der induktiven Voraussetzung der maximale Überstand über den Tisch hinweg gleich . ${\displaystyle g}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y+{\frac {l}{2k}}=\sum _{i=1}^{k}{l/2i}\implies y=\sum _{i=1}^{k-1}{l/2i}.}$

Bei Blöcken bezeichnet , wie weit die oberen Blöcke über ihren Massenschwerpunkt hinausragen . Der maximale Überhang beträgt dann: ${\displaystyle k+1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k+1-1}$${\displaystyle (y=\sum _{i=1}^{k}l/2i)}$${\displaystyle x={\frac {l}{2(k+1)}}}$

${\displaystyle {\frac {l}{2(k+1)}}+\sum _{i=1}^{k}l/2i=\sum _{i=1}^{k+1}l/2i.}$

Hall (2005) diskutiert dieses Problem, zeigt, dass es gegenüber Nichtidealisierungen wie abgerundeten Blockecken und endlicher Genauigkeit bei der Blockplatzierung robust ist, und führt mehrere Varianten ein, darunter von Null verschiedene Reibungskräfte zwischen benachbarten Blöcken.

• Hall, JF (2005). „Spaß am Stapeln von Blöcken“. American Journal of Physics . 73 (12): 1107–1116 . Bibcode : 2005AmJPh..73.1107H . doi : 10.1119/1.2074007 .Die
• Johnson, Paul B. (April 1955). „Der Schiefe Turm von Lire“. American Journal of Physics . 23 (4): 240. Bibcode : 1955AmJPh..23..240J . doi : 10.1119/1.1933957 .
• Paterson, Mike ; Peres, Yuval ; Thorup, Mikkel ; Winkler, Peter ; Zwick, Uri (2007). „Maximaler Überhang“. arXiv : 0707.0093 [ math.HO ].

• Weisstein, Eric W. „Das Buchstapelproblem“ . MathWorld .
• „Eine unendliche Brücke bauen“ . PBS Infinite Series . 04.05.2017 . Abgerufen am 03.09.2018 .