Costas-Schleife

Eine Costas-Schleife ist eine auf einer Phasenregelschleife (PLL) basierende Schaltung zur Trägerfrequenzrückgewinnung aus Modulationssignalen mit unterdrücktem Träger (z. B. Doppelseitenband - unterdrückte Trägersignale) und Phasenmodulationssignalen (z. B. BPSK , QPSK ). Sie wurde in den 1950er Jahren von John P. Costas bei General Electric erfunden . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Ihre Erfindung wurde als „bahnbrechend für die moderne digitale Kommunikation“ beschrieben . ^{[ 3 ]} Hauptanwendungsgebiet der Costas-Schleife sind drahtlose Empfänger. Ihr Vorteil gegenüber anderen PLL-basierten Detektoren besteht darin, dass die Fehlerspannung der Costas-Schleife bei kleinen Abweichungen deutlich geringer ist . Dies führt zu einer doppelt so hohen Empfindlichkeit und macht die Costas-Schleife besonders geeignet für die Verfolgung von Doppler-verschobenen Trägern, insbesondere in OFDM- und GPS-Empfängern . ^{[ 3 ]}${\displaystyle \sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))}$${\displaystyle \sin(\theta _{i}-\theta _{f})}$

In der klassischen Implementierung einer Costas-Schleife ^{[ 4 ]} liefert ein lokaler spannungsgesteuerter Oszillator (VCO) Quadratur- Ausgangssignale, die jeweils einem von zwei Phasendetektoren ( z. B. Produktdetektoren ) zugeführt werden. Beide Phasendetektoren erhalten die gleiche Phase des Eingangssignals , und ihr Ausgang wird durch einen Tiefpassfilter geleitet . Die Ausgänge dieser Tiefpassfilter dienen als Eingänge für einen weiteren Phasendetektor , dessen Ausgang vor der Ansteuerung des spannungsgesteuerten Oszillators ein Rauschunterdrückungsfilter durchläuft. Der gekoppelte kohärente In-Phase-Detektor und der kohärente Quadraturphasen-Detektor sorgen durch negative Rückkopplung dafür, dass der Oszillator mit der Trägerwelle synchron läuft. ^{[ 5 ]}

Die Gesamtantwort der Schleife wird durch die beiden einzelnen Tiefpassfilter vor dem dritten Phasendetektor bestimmt, während der dritte Tiefpassfilter hinsichtlich Verstärkung und Phasenreserve eine untergeordnete Rolle spielt . Die obige Abbildung einer Costas-Schleife zeigt den „verriegelten“ Zustand, in dem die VCO-Frequenz und die Eingangsfrequenz des Trägersignals durch den Costas-Schleifenprozess übereinstimmen. Die Abbildung stellt nicht den „entriegelten“ Zustand dar.

Im einfachsten Fall hat dies keinen Einfluss auf den Eingang des Rauschunterdrückungsfilters. Die Träger- und VCO-Signale ( spannungsgesteuerter Oszillator ) sind periodische Schwingungen mit hohen Frequenzen . Der Block ist ein analoger Multiplizierer . ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$${\displaystyle m^{2}(t)=1}$${\displaystyle f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))}$${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)}$${\displaystyle \bigotimes }$

Ein linearer Filter kann mathematisch durch ein System linearer Differentialgleichungen beschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}}$

wobei eine konstante Matrix, ein Zustandsvektor des Filters und konstante Vektoren sind. ${\displaystyle A}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

Das Modell eines VCO wird üblicherweise als linear angenommen:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}}$

Dabei bezeichnet die Freilauffrequenz des VCO und den VCO-Verstärkungsfaktor. Analog lassen sich verschiedene nichtlineare VCO-Modelle betrachten. ${\displaystyle \omega _{vco}^{free}}$${\displaystyle K_{vco}}$

Angenommen, die Frequenz des Mastergenerators ist konstant. Gleichung des VCO und Gleichung des Filters ergeben ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}$

Das System ist nicht autonom und daher recht schwierig zu untersuchen.

Im einfachsten Fall, wenn

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}}$

Die gängige Annahme in der Technik ist, dass der Filter die obere Seitenbandfrequenz des Eingangssignals entfernt, die untere jedoch unverändert lässt. Daher wird angenommen, dass der VCO-Eingang … Dies macht eine Costas-Schleife äquivalent zu einer Phasenregelschleife mit einer Phasendetektorcharakteristik, die den jeweiligen Wellenformen des Eingangs- und VCO-Signals entspricht . Es lässt sich beweisen, dass die Filterausgänge im Zeit- und Phasen-Frequenz-Bereich nahezu identisch sind. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle \varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).}$${\displaystyle \varphi (\theta)}$${\displaystyle f_{ref}(\theta )}$${\displaystyle f_{vco}(\theta )}$

Somit ist es möglich ^{[ 9 ],} das einfachere autonome System von Differentialgleichungen zu untersuchen.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}}$Die

Die Krylov-Bogoliubov-Mittelwertbildungsmethode ermöglicht es, unter bestimmten Annahmen zu beweisen, dass Lösungen nicht-autonomer und autonomer Gleichungen nahe beieinander liegen. Somit lässt sich das Costas-Schleifen- Blockdiagramm im Zeitbereich asymptotisch in das Blockdiagramm auf der Ebene der Phasen-Frequenz-Beziehungen überführen.

Der Übergang zur Analyse eines autonomen dynamischen Modells der Costas-Schleife (anstelle des nicht-autonomen Modells) ermöglicht es, die Schwierigkeiten bei der Modellierung der Costas-Schleife im Zeitbereich zu überwinden, wo gleichzeitig eine sehr schnelle Zeitskala der Eingangssignale und eine langsame Zeitskala der Signalphase berücksichtigt werden müssen. Dieser Ansatz ermöglicht es ^{[ 10 ]} , die wichtigsten Leistungskennwerte – Halte-, Ansprech- und Einrastbereich – zu berechnen .

Die klassische Costas-Schleife zielt darauf ab, die Phasendifferenz zwischen Träger und VCO auf einen kleinen, idealerweise nullwertigen Wert zu reduzieren. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Die kleine Phasendifferenz bedeutet, dass die Frequenzsynchronisation erreicht wurde.

Die klassische Costas-Schleife kann für höhere Datenraten an die QPSK- Modulation angepasst werden. ^{[ 14 ]}

Das QPSK- Eingangssignal lautet wie folgt:

${\displaystyle m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

Die Eingänge der Tiefpassfilter LPF1 und LPF2 sind

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

Nach der Synchronisierung werden die Ausgänge von LPF1 und LPF2 verwendet, um demodulierte Daten ( und ) zu erhalten. Um die Frequenz des VCO an die Referenzfrequenz anzupassen, werden die Signale und begrenzt und kreuzmultipliziert. ${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle m_{1}(t)}$${\displaystyle m_{2}(t)}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).}$

Das Signal wird dann durch den Schleifenfilter gefiltert und bildet das Abstimmsignal für den VCO , ähnlich der BPSK-Costas-Schleife. Somit kann QPSK Costas durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben werden ^{[ 15 ]} . ${\displaystyle u_{d}(t)}$${\displaystyle u_{\text{LF}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

Hier sind die Parameter von LPF1 und LPF2 sowie die Parameter des Schleifenfilters. ${\displaystyle A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}}$${\displaystyle A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}}$

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