Dualer Code

In der Codierungstheorie ist der Dualcode eines linearen Codes

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

ist der lineare Code, der definiert ist durch

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}}$

Wo

${\displaystyle \langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}$

ist ein Skalarprodukt. In linearer Algebra ausgedrückt ist der duale Code der Annihilator von C bezüglich der Bilinearform . Die Dimension von C und seines Duals addieren sich stets zur Länge n . ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle \dim C+\dim C^{\perp }=n.}$

Die Generatormatrix des dualen Codes ist die Paritätsprüfmatrix des ursprünglichen Codes und umgekehrt. Der Dualcode ist stets der ursprüngliche Code.

Ein selbstdualer Code ist ein Code, der sein eigenes Dual ist. Dies impliziert, dass n gerade ist und dim C = n /2. Wenn ein selbstdualer Code so beschaffen ist, dass das Gewicht jedes Codeworts ein Vielfaches einer Konstanten ist , dann gehört er zu einem der folgenden vier Typen: ^{[ 1 ]}${\displaystyle c>1}$

• Typ-I -Codes sind binäre selbstduale Codes, die nicht doppelt gerade sind . Typ-I-Codes sind immer gerade (jedes Codewort hat ein gerades Hamming-Gewicht ).
• Typ-II -Codes sind binäre selbstduale Codes, die doppelt gerade sind.
• Typ-III -Codes sind ternäre selbstduale Codes. Jedes Codewort in einem Typ-III-Code hat ein durch 3 teilbares Hamming-Gewicht.
• Typ-IV -Codes sind selbstduplikante Codes über F _4. Diese sind wiederum gerade.

Codes vom Typ I, II, III oder IV existieren nur dann, wenn die Länge n ein Vielfaches von 2, 8, 4 bzw. 2 ist.

Wenn ein selbstdualer Code eine Generatormatrix der Form hat , dann hat der duale Code die Generatormatrix , wobei die Einheitsmatrix und ist . ${\displaystyle G=[I_{k}|A]}$${\displaystyle C^{\perp }}$${\displaystyle [-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle (n/2)\times (n/2)}$${\displaystyle {\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}}$

• MATH32031: Codierungstheorie – Dualer Code – PDF mit Beispielen und Erklärungen