Biegefestigkeit

Die Biegefestigkeit , auch bekannt als Bruchmodul , Biegefestigkeit oder Querbruchfestigkeit , ist eine Materialeigenschaft, die als die Spannung in einem Material unmittelbar vor dem Erreichen der Streckgrenze in einem Biegeversuch definiert ist . [ 1 ] Am häufigsten wird der Querbiegeversuch angewendet, bei dem eine Probe mit kreisförmigem oder rechteckigem Querschnitt mittels Dreipunkt-Biegeversuch bis zum Bruch oder Erreichen der Streckgrenze gebogen wird. Die Biegefestigkeit entspricht der höchsten ^{Spannung , die} im Material im Moment des Erreichens der Streckgrenze auftritt. Sie wird in Form von Spannung gemessen und hier mit dem Symbol σ bezeichnet . ${\displaystyle \sigma }$

Abb. 1 – Balken aus Material unter Biegung. Äußerste Fasern bei B (Druck) und A (Zug)

Abb. 2 – Spannungsverteilung über die Balkendicke

Wird ein aus einem einzigen Material bestehender Gegenstand, wie beispielsweise ein Holzbalken oder eine Stahlstange, gebogen (Abb. 1), so treten über seine gesamte Dicke unterschiedliche Spannungen auf (Abb. 2). An der Innenseite der Biegung (konkave Seite) ist die Druckspannung maximal. An der Außenseite der Biegung (konvexe Seite) ist die Zugspannung maximal. Diese inneren und äußeren Kanten des Balkens oder Stabs werden als „äußere Fasern“ bezeichnet. Die meisten Materialien versagen in der Regel unter Zugspannung, bevor sie unter Druckspannung versagen.

Die Biegefestigkeit entspräche der Zugfestigkeit, wenn das Material homogen wäre . Tatsächlich weisen die meisten Materialien kleine oder große Defekte auf, die die Spannungen lokal konzentrieren und somit eine lokale Schwächung verursachen. Beim Biegen eines Materials sind nur die äußersten Fasern der größten Spannung ausgesetzt. Sind diese Fasern fehlerfrei, wird die Biegefestigkeit durch die Festigkeit dieser intakten Fasern bestimmt. Wird dasselbe Material jedoch nur Zugkräften ausgesetzt, sind alle Fasern im Material gleich stark beansprucht, und der Bruch setzt ein, sobald die schwächste Faser ihre maximale Zugspannung erreicht. Daher ist es üblich, dass die Biegefestigkeit desselben Materials höher ist als seine Zugfestigkeit. Umgekehrt kann ein homogenes Material mit Defekten nur an der Oberfläche (z. B. durch Kratzer) eine höhere Zugfestigkeit als Biegefestigkeit aufweisen.

Wenn wir jegliche Materialfehler außer Acht lassen, ist klar, dass das Material unter einer Biegekraft versagt, die kleiner ist als die entsprechende Zugkraft. Beide Kräfte rufen dieselbe Bruchspannung hervor, deren Wert von der Festigkeit des Materials abhängt.

Bei einer rechteckigen Probe ergibt sich die resultierende Spannung unter axialer Krafteinwirkung aus folgender Formel:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{bd}}}$

Diese Spannung ist nicht die wahre Spannung, da der Querschnitt der Probe als unveränderlich betrachtet wird ( technische Spannung ).

• ${\displaystyle F}$ist die axiale Belastung (Kraft) an der Bruchstelle
• ${\displaystyle b}$ist Breite
• ${\displaystyle d}$ist die Tiefe oder Dicke des Materials

Die resultierende Spannung für eine rechteckige Probe unter einer Last in einer Dreipunkt-Biegevorrichtung (Abb. 3) wird durch die unten stehende Formel angegeben (siehe „Messung der Biegefestigkeit“).

Die Gleichung für diese beiden Spannungen (Versagen) lautet: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sigma ={\frac {3FL}{2bd^{2}}}}$

Typischerweise ist L (Länge der Stützspannweite) viel größer als d, daher ist der Bruch größer als eins. ${\displaystyle {\frac {3L}{2d}}}$

Für eine rechteckige Probe unter Last in einer Dreipunkt-Biegevorrichtung (Abb. 3), ausgehend von der klassischen Form der maximalen Biegespannung:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Mc}{I}}}$

• M ist das Moment im Balken
• c ist der maximale Abstand von der neutralen Achse zur äußersten Faser in der Biegeebene.
• I ist das zweite Moment der Fläche

Bei einem einfach gelagerten Balken, wie in Abb. 3 dargestellt, und unter der Annahme, dass die Last mittig zwischen den Auflagern angreift, tritt das maximale Moment in der Mitte auf und beträgt:

${\displaystyle M=P\times r=\left({\frac {F}{2}}\right)\times \left({\frac {L}{2}}\right)={\frac {FL}{4}}}$

Bei einem rechteckigen Querschnitt,

${\displaystyle c={\frac {1}{2}}d}$ (Mittelachse zur äußersten Faser des Rechtecks)

${\displaystyle I={\frac {1}{12}}bd^{3}}$ (Flächenmoment zweiter Ordnung eines Rechtecks)

Kombiniert man diese Terme in der klassischen Biegespannungsgleichung:

${\displaystyle \sigma =Mc\left({\frac {1}{I}}\right)=\left({\frac {FL}{4}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)\left({\frac {12}{bd^{3}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {3FL}{2bd^{2}}}}$

• F ist die Last (Kraft) am Bruchpunkt (N).
• L ist die Länge der Stützspannweite
• b ist die Breite
• d ist die Dicke

Für eine rechteckige Probe unter Belastung in einer Vierpunkt-Biegevorrichtung, wobei die Belastungsspannweite ein Drittel der Stützspannweite beträgt:

${\displaystyle \sigma ={\frac {FL}{bd^{2}}}}$

• F ist die Last (Kraft) an der Bruchstelle
• L ist die Länge der Stützweite (äußeren Spannweite).
• b ist die Breite
• d ist die Dicke

Bei der 4-Punkt-Biegeanordnung gilt: Wenn die Belastungsspannweite die Hälfte der Stützspannweite beträgt (d. h. L _i = 1/2 L in Abb. 4):

${\displaystyle \sigma ={\frac {3FL}{4bd^{2}}}}$

Wenn die Belastungsspannweite weder 1/3 noch 1/2 der Stützspannweite für die 4-Punkt-Biegeanordnung beträgt (Abb. 4):

${\displaystyle \sigma ={\frac {3F(L-L_{i})}{2bd^{2}}}}$

• L _i ist die Länge der Lade- (inneren) Spannweite

• Euler-Bernoulli-Balkengleichung
• Biegemodul
• Dreipunkt-Biegeversuch
• Vierpunkt-Biegeversuch

• JM Hodgkinson (2000), Mechanische Prüfung von modernen Faserverbundwerkstoffen , Cambridge: Woodhead Publishing, Ltd., S. 132–133.
• William D. Callister, Jr., Materials Science and Engineering , Hoken: John Wiley & Sons, Inc., 2003.
• ASTM C1161-02c(2008)e1, Standard Test Method for Flexural Strength of Advanced Ceramics at Ambient Temperature, ASTM International, West Conshohocken, PA.