Ungleichung (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Ungleichung eine Beziehung, die einen ungleichen Vergleich zwischen zwei Zahlen oder anderen mathematischen Ausdrücken herstellt. ^{[ 1 ]} Sie wird am häufigsten verwendet, um zwei Zahlen auf der Zahlengeraden anhand ihrer Größe zu vergleichen. Die wichtigsten Ungleichungsarten sind „kleiner als“ und „größer als“ (gekennzeichnet durch < und > , die Kleiner-als- bzw. Größer-als- Zeichen).

Es gibt verschiedene Notationen zur Darstellung unterschiedlicher Arten von Ungleichungen:

• Die Notation a < b bedeutet, dass a kleiner als b ist .
• Die Notation a > b bedeutet, dass a größer als b ist .

In beiden Fällen gilt a ≠ b . Diese Beziehungen werden als strikte Ungleichungen bezeichnet ^{[ 1 ]} , was bedeutet, dass a entweder strikt kleiner oder strikt größer als b ist . Gleichheit ist ausgeschlossen.

Im Gegensatz zu strikten Ungleichheiten gibt es zwei Arten von Ungleichheitsbeziehungen, die nicht strikt sind:

• Die Notation a ≤ b oder a ⩽ b oder a ≦ b bedeutet, dass a kleiner oder gleich b ist (oder, äquivalent, höchstens b ).
• Die Notation a ≥ b oder a ⩾ b oder a ≧ b bedeutet, dass a größer oder gleich b ist (oder, äquivalent, mindestens b ).

Im 17. und 18. Jahrhundert wurden persönliche Notationen oder Schreibmaschinenzeichen verwendet, um Ungleichheiten auszudrücken. ^{[ 2 ]} So verwendete John Wallis 1670 einen einzelnen horizontalen Strich über dem < und > anstatt darunter. Später, im Jahr 1734, tauchten ≦ und ≧, bekannt als „kleiner als (größer als) gleich“ bzw. „kleiner als (größer als) oder gleich mit zwei horizontalen Strichen“, erstmals in Pierre Bouguers Werk auf. ^{[ 3 ]} Danach vereinfachten Mathematiker Bouguers Symbol zu „kleiner als (größer als) oder gleich mit einem horizontalen Strich“ (≤) bzw. „kleiner als (größer als) oder schräg gleich“ (⩽).

Die Relation „nicht größer als“ kann auch durch das Symbol für „größer als“, halbiert durch einen Schrägstrich, „nicht“, dargestellt werden . Dasselbe gilt für „ nicht kleiner als “.${\displaystyle a\ngtr b,}$${\displaystyle a\nless b.}$

Die Notation a ≠ b bedeutet, dass a ungleich b ist ; diese Ungleichung wird mitunter als eine Form der strikten Ungleichung betrachtet. ^{[ 4 ]} Sie besagt nicht, dass eine der beiden Größen größer als die andere ist; sie setzt nicht einmal voraus, dass a und b Elemente einer geordneten Menge sind .

In den Ingenieurwissenschaften wird die Notation weniger formal verwendet, um auszudrücken, dass eine Größe „viel größer“ als eine andere ist, ^{[ 5 ]} normalerweise um mehrere Größenordnungen .

• Die Notation a ≪ b bedeutet, dass a viel kleiner als b ist . ^{[ 6 ]}
• Die Notation a ≫ b bedeutet, dass a viel größer als b ist . ^{[ 7 ]}

Dies bedeutet, dass der kleinere Wert vernachlässigt werden kann, ohne dass dies die Genauigkeit einer Näherung wesentlich beeinträchtigt (wie beispielsweise im Fall der ultrarelativistischen Grenze in der Physik).

In allen oben genannten Fällen sind je zwei einander spiegelnde Symbole symmetrisch; a < b und b > a sind äquivalent usw.

Ungleichungen unterliegen den folgenden Eigenschaften . Alle diese Eigenschaften gelten auch dann, wenn alle nicht strikten Ungleichungen (≤ und ≥) durch ihre entsprechenden strikten Ungleichungen (< und >) ersetzt werden und – im Falle der Anwendung einer Funktion – monotone Funktionen auf strikt monotone Funktionen beschränkt sind .

Die Relationen ≤ und ≥ sind jeweils die Umkehrung der anderen , was bedeutet, dass für beliebige reelle Zahlen a und b gilt :

Die Transitivitätseigenschaft der Ungleichung besagt, dass für beliebige reelle Zahlen a , b , c gilt: ^{[ 8 ]}

Wenn eine der Prämissen eine strikte Ungleichung ist, dann ist auch die Schlussfolgerung eine strikte Ungleichung:

Eine gemeinsame Konstante c kann auf beiden Seiten einer Ungleichung addiert oder subtrahiert werden. ^{[ 4 ]} Für beliebige reelle Zahlen a , b , c gilt also :

Mit anderen Worten, die Ungleichungsrelation bleibt bei der Addition (oder Subtraktion) erhalten und die reellen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine geordnete Gruppe .

Die Eigenschaften, die sich mit Multiplikation und Division befassen , besagen, dass für beliebige reelle Zahlen a , b und eine von Null verschiedene Zahl c gilt :

Anders ausgedrückt: Die Ungleichung bleibt bei Multiplikation und Division mit einer positiven Konstanten erhalten, kehrt sich aber um, wenn eine negative Konstante auftritt. Allgemeiner gilt dies für geordnete Körper . Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt „Geordnete Körper“ .

Die Eigenschaft des additiven Inversen besagt, dass für beliebige reelle Zahlen a und b gilt :

Sind beide Zahlen positiv, so ist die Ungleichungsbeziehung zwischen den multiplikativen Inversen umgekehrt zu der zwischen den ursprünglichen Zahlen. Genauer gesagt gilt für beliebige reelle Zahlen a und b ungleich null, die beide positiv (oder beide negativ ) sind:

Alle Fälle für die Vorzeichen von a und b können auch in verketteter Notation geschrieben werden , wie folgt:

Jede monoton steigende Funktion kann definitionsgemäß ^{[ 9 ]} auf beide Seiten einer Ungleichung angewendet werden, ohne die Ungleichung zu verletzen (vorausgesetzt, beide Ausdrücke liegen im Definitionsbereich der Funktion). Wendet man hingegen eine monoton fallende Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung an, kehrt sich die Ungleichung um. Die Regeln für das additive Inverse und das multiplikative Inverse positiver Zahlen sind Beispiele für die Anwendung einer monoton fallenden Funktion.

Ist die Ungleichung strikt ( a < b , a > b ) und die Funktion streng monoton, so bleibt die Ungleichung strikt. Ist nur eine dieser Bedingungen strikt, so ist die resultierende Ungleichung nicht mehr strikt. Die Regeln für additive und multiplikative Inverse sind Beispiele für die Anwendung einer streng monoton fallenden Funktion.

Einige Beispiele für diese Regel sind:

• Potenzieren beider Seiten einer Ungleichung mit n > 0 (bzw. −n < 0), wobei a und b positive reelle Zahlen sind:
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• Den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten einer Ungleichung bilden, wenn a und b positive reelle Zahlen sind:
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b ).
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b ).
  (Dies trifft zu, da der natürliche Logarithmus eine streng monoton steigende Funktion ist.)

Eine (nicht-strikte) partielle Ordnung ist eine binäre Relation ≤ über einer Menge P , die reflexiv , antisymmetrisch und transitiv ist . ^{[ 10 ]} Das heißt, für alle a , b und c in P muss sie die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

• a ≤ a ( Reflexivität )
• Wenn a ≤ b und b ≤ a , dann a = b ( Antisymmetrie )
• Wenn a ≤ b und b ≤ c , dann a ≤ c ( Transitivität )

Eine Menge mit einer partiellen Ordnung wird als partiell geordnete Menge bezeichnet . ^{[ 11 ]} Dies sind die grundlegenden Axiome, die jede Art von Ordnung erfüllen muss.

Eine strikte partielle Ordnung ist eine Relation <, die Folgendes erfüllt:

• a ≮ a ( Irreflexivität ),
• Wenn a < b , dann b ≮ a ( Asymmetrie ),
• Wenn a < b und b < c , dann a < c ( Transitivität ).

wobei ≮ bedeutet, dass < nicht gilt.

Manche Arten von partiellen Ordnungen werden durch Hinzufügen weiterer Axiome spezifiziert, wie zum Beispiel:

• Totale Ordnung : Für jedes a und b in P gilt a ≤ b oder b ≤ a .
• Dichte Ordnung : Für alle a und b in P , für die a < b gilt , gibt es ein c in P , sodass a < c < b gilt .
• Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke : Jede nichtleere Teilmenge von P mit einer oberen Schranke besitzt eine kleinste obere Schranke (Supremum) in P.

Wenn ( F , +, ×) ein Körper und ≤ eine Totalordnung auf F ist , dann heißt ( F , +, ×, ≤) genau dann ein geordneter Körper, wenn:

• a ≤ b impliziert a + c ≤ b + c ;
• Aus 0 ≤ a und 0 ≤ b folgt 0 ≤ a × b .

Sowohl ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$ als auch ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$ sind geordnete Körper , aber ≤ kann nicht definiert werden, um ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ zu einem geordneten Körper zu machen , ^{[ 12 ]} weil −1 das Quadrat von i ist und daher positiv wäre.

Neben der Tatsache, dass R ein geordneter Körper ist, besitzt er auch die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke . Tatsächlich kann R als der einzige geordnete Körper mit dieser Eigenschaft definiert werden. ^{[ 13 ]}

Die Notation a < b < c steht für „ a < b und b < c “, woraus aufgrund der oben genannten Transitivitätseigenschaft auch a < c folgt . Nach den obigen Gesetzen kann man zu allen drei Termen dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren oder alle drei Terme mit derselben von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder dividieren und alle Ungleichungen umkehren, falls diese Zahl negativ ist. Daher ist beispielsweise a < b + e < c äquivalent zu a − e < b < c − e .

Diese Notation lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Termen verallgemeinern: Beispielsweise bedeutet a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n , dass a _i ≤ a _{i +1} für i = 1, 2, ..., n − 1. Aufgrund der Transitivität ist diese Bedingung äquivalent zu a _i ≤ a _j für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Beim Lösen von Ungleichungen mit der Kettennotation ist es möglich und manchmal sogar notwendig, die Terme unabhängig voneinander auszuwerten. Um beispielsweise die Ungleichung 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2 zu lösen, kann x in keinem der beiden Teile der Ungleichung durch Addition oder Subtraktion isoliert werden. Stattdessen müssen die Ungleichungen unabhängig voneinander gelöst werden, was zu x < ⁠ führt.1/2und x ≥ −1 , die zur endgültigen Lösung −1 ≤ x < kombiniert werden können .1/2.​

Gelegentlich wird die Kettennotation bei Ungleichungen in unterschiedliche Richtungen verwendet. In diesem Fall entspricht die Bedeutung der logischen Verknüpfung der Ungleichungen zwischen benachbarten Termen. Beispielsweise wird die definierende Bedingung einer Zickzack-Poset als _a₁ < a₂ > _{a₃ <} a₄ > a₅ < _{a₆ >} ... geschrieben. Die gemischte Kettennotation wird häufiger bei kompatiblen Relationen wie <, =, ≤ verwendet. So bedeutet a < b = c ≤ d , _dass a < b , b = c und c ≤ d . Diese Notation existiert in einigen Programmiersprachen wie Python . Im Gegensatz dazu können in Programmiersprachen, die eine Ordnung nach dem Typ der Vergleichsergebnisse vorsehen, wie beispielsweise C , selbst homogene Ketten eine völlig andere Bedeutung haben. ^{[ 14 ]}

Eine Ungleichung heißt scharf , wenn sie nicht abgeschwächt werden kann und dennoch allgemein gültig bleibt. Formal heißt eine universell quantifizierte Ungleichung φ scharf, wenn für jede gültige universell quantifizierte Ungleichung ψ gilt : Wenn ψ ⇒ φ gilt, dann gilt auch ψ ⇔ φ . Beispielsweise ist die Ungleichung ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 scharf, wohingegen die Ungleichung ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 nicht scharf ist.

Es gibt viele Ungleichungen zwischen Mittelwerten. Zum Beispiel gilt für beliebige positive _Zahlen a₁ , a₂ _, ... , aₙ _:

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

wobei sie die folgenden Mittelwerte der Folge darstellen:

• Harmonisches Mittel  :${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Geometrisches Mittel  :${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Arithmetisches Mittel  :${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Quadratisches Mittel  :${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung besagt, dass für alle Vektoren u und v eines Skalarproduktraums gilt : u ∩ v = u ∩ ^v ...$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

Eine Potenzungleichung ist eine Ungleichung, die Terme der Form a² + ^b² enthält , wobei a und b positive reelle Zahlen oder Variablenausdrücke sind. Sie treten häufig in Aufgaben von Mathematikolympiaden auf .

Beispiele:

• Für jedes reelle x ,$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Wenn x > 0 und p > 0, dann konvergieren im Grenzwert p → 0 die obere und untere Schranke gegen ln( x ).$${\displaystyle {\frac {1}{p}}\left(x^{p}-1\right)\geq \ln(x)\geq {\frac {1}{p}}\left(1-{\frac {1}{x^{p}}}\right).}$$
• Wenn x > 0, dann$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Wenn x > 0, dann$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Wenn x , y , z > 0, dann$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Für beliebige reelle, verschiedene Zahlen a und b ,$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{ba}}>e^{\frac {a+b}{2}}.}$$
• Wenn x , y > 0 und 0 < p < 1, dann$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Wenn x , y , z > 0, dann$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{\frac {x+y+z}{3}}.}$$
• Wenn a , b > 0, dann ^{[ 15 ]}$${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Wenn a , b > 0, dann ^{[ 16 ]}$${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Wenn a , b , c > 0, dann$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Wenn a , b > 0, dann$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Mathematiker verwenden häufig Ungleichungen, um Größen einzugrenzen, für die sich nicht ohne Weiteres exakte Formeln berechnen lassen. Manche Ungleichungen werden so häufig verwendet, dass sie Namen haben:

Die Menge der komplexen Zahlen mit ihren Operationen Addition und Multiplikation ist ein Körper , aber es ist unmöglich, eine Relation ≤ zu definieren, sodass daraus ein geordneter Körper wird . Damit ein geordneter Körper entsteht , müsste er die folgenden beiden Eigenschaften erfüllen: ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• Wenn a ≤ b , dann a + c ≤ b + c ;
• Wenn 0 ≤ a und 0 ≤ b , dann 0 ≤ ab .

Da ≤ eine totale Ordnung ist, ^gilt für jede Zahl a entweder 0 ≤ a oder a ≤ 0 (in diesem Fall folgt aus der ersten Eigenschaft oben, dass ⁰ ≤ −a ) . In beiden Fällen gilt 0 ≤ a² ; dies bedeutet, dass i² ^> 0 und 1² > 0 ; also −1 > 0 und 1 > 0 , woraus (−1 + 1) > 0 folgt; ein Widerspruch.

Eine Operation ≤ kann jedoch so definiert werden, dass sie nur die erste Eigenschaft erfüllt (nämlich: „Wenn a ≤ b , dann a + c ≤ b + c “). Manchmal wird die Definition der lexikographischen Ordnung verwendet:

• a ≤ b , wenn
  • Re( a ) < Re( b ) oder
  • Re( a ) = Re( b ) und Im( a ) ≤ Im( b )

Es lässt sich leicht beweisen, dass für diese Definition a ≤ b impliziert a + c ≤ b + c .

Systeme linearer Ungleichungen können durch Fourier-Motzkin-Elimination vereinfacht werden . ^{[ 17 ]}

Die zylindrische algebraische Zerlegung ist ein Algorithmus, mit dem sich prüfen lässt, ob ein System von Polynomgleichungen und -ungleichungen Lösungen besitzt und, falls Lösungen existieren, diese beschreiben können. Die Komplexität dieses Algorithmus ist doppelt exponentiell in der Anzahl der Variablen. Die Entwicklung effizienterer Algorithmen für spezifische Anwendungsfälle ist ein aktives Forschungsgebiet.

• Binäre Relation
• Klammer (Mathematik) , für die Verwendung ähnlicher Zeichen ‹ und › als Klammern
• Inklusion (Mengenlehre)
• Ungleichung
• Intervall (Mathematik)
• Liste der Ungleichheiten
• Liste der Dreiecksungleichungen
• Teilweise geordnete Menge
• Relationale Operatoren werden in Programmiersprachen verwendet, um Ungleichheit auszudrücken.

• Hardy, G.; Littlewood , J. E .; Pólya, G. (1999). Ungleichungen . Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8Die
• Beckenbach, E. F .; Bellman, R. (1975). Einführung in die Ungleichungen . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2Die
• Drachman, Byron C.; Cloud, Michael J. (1998). Ungleichungen: Mit Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6Die
• Grinshpan, AZ (2005), „Allgemeine Ungleichungen, Konsequenzen und Anwendungen“, Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100 , doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Klamkin, Murray S. "„Schnelle Ungleichungen“ (PDF) . Mathematische Strategien . Archiviert (PDF) vom Original am 09.10.2022.
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• Shapiro, Harold (2005). „Mathematische Problemlösung“ . Das alte Problem-Seminar . Kungliga Tekniska högskolan.
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• Ehrgott, Matthias (2005). Multikriterielle Optimierung . Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8Die
• Steele, J. Michael (2004). Die Cauchy-Schwarz-Meisterklasse: Eine Einführung in die Kunst der mathematischen Ungleichungen . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5Die

• „Ungleichung“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Graph der Ungleichungen von Ed Pegg, Jr.
• AoPS-Wiki-Eintrag zum Thema Ungleichheiten