Hankel-Matrix

In der linearen Algebra ist eine Hankel-Matrix (oder Katalektantenmatrix ), benannt nach Hermann Hankel , eine rechteckige Matrix , in der jede aufsteigende Schiefdiagonale von links nach rechts konstant ist. Zum Beispiel:

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

Allgemeiner ist eine Hankel-Matrix jede Matrix der Form ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

Bezüglich der Komponenten gilt: Wenn das Element von mit bezeichnet wird und angenommen wird , dass , dann haben wir für alle${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,jk}}$${\displaystyle k=0,...,ji.}$

• Jede quadratische Hankel-Matrix ist symmetrisch .
• Sei die Austauschmatrix . Wenn eine Hankel-Matrix ist, dann gilt , wobei eine Toeplitz-Matrix ist .${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m\times n}$
• Wenn reell symmetrisch ist , dann hat bis auf das Vorzeichen die gleichen Eigenwerte wie . ^{[ 1 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$
• Die Hilbert-Matrix ist ein Beispiel für eine Hankel-Matrix.
• Die Determinante einer Hankel-Matrix wird als Katalektikum bezeichnet .
• Ist eine Hankel-Matrix, dann ist eine konfluente Vandermonde-Matrix und eine Blockdiagonalmatrix mit symmetrischen und oberen antitriangulären Blöcken ^{[ 2 ]} .${\displaystyle H}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H=V^{T}DV}$${\displaystyle V}$${\displaystyle D}$

Gegeben eine formale Laurentreihe, ist der zugehörige Hankeloperator wie folgt definiert ^{[ 3 ].} Dieser Operator bildet ein Polynom auf das Produkt ab , verwirft jedoch alle Potenzen von mit nichtnegativem Exponenten, sodass ein Element in , der formalen Potenzreihe mit strikt negativen Exponenten, entsteht. Die Abbildung ist auf natürliche Weise -linear, und ihre Matrix bezüglich der Elemente und ist die Hankelmatrix . Jede Hankelmatrix entsteht auf diese Weise. Ein Satz von Kronecker besagt, dass der Rang dieser Matrix genau dann endlich ist, wenn eine rationale Funktion ist , d. h. ein Bruch zweier Polynome. $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{-1}&a_{-2}&\ldots \\a_{-2}&a_{-3}&\ldots \\a_{-3}&a_{-4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

Wir sind häufig an Approximationen der Hankel-Operatoren interessiert, beispielsweise durch Operatoren niedriger Ordnung. Um den Operatorausgang zu approximieren, können wir die Spektralnorm (Operator-2-Norm) verwenden, um den Fehler unserer Approximation zu messen. Dies legt die Singulärwertzerlegung als mögliche Technik zur Approximation der Operatorwirkung nahe.

Beachten Sie, dass die Matrix nicht endlich sein muss. Ist sie unendlich, funktionieren herkömmliche Methoden zur Berechnung einzelner Singulärvektoren nicht direkt. Wir setzen außerdem voraus, dass die Approximation eine Hankel-Matrix ist, was sich mit der AAK-Theorie zeigen lässt . ${\displaystyle A}$

Die Hankel-Transformation , oder kurz Hankel-Transformation , einer Folge ist die Folge der Determinanten der Hankel-Matrizen, die aus gebildet werden . Gegeben sei eine ganze Zahl . Die zugehörige -dimensionale Hankel-Matrix wird definiert als die Matrix mit den Matrixelementen . Dann ist die Folge , gegeben durch , die Hankel-Transformation der Folge . Die Hankel-Transformation ist invariant unter der Binomialtransformation einer Folge. Das heißt, wenn man als Binomialtransformation der Folge schreibt , dann erhält man .${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle (n\times n)}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$${\displaystyle b_{k}.}$$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

Hankel-Matrizen werden erstellt, wenn aus einer Sequenz von Ausgabedaten eine Realisierung eines zugrundeliegenden Zustandsraum- oder Hidden-Markov-Modells gewünscht wird. ^{[ 4 ]} Die Singulärwertzerlegung der Hankel-Matrix ermöglicht die Berechnung der A- , B- und C- Matrizen, welche die Zustandsraumrealisierung definieren. ^{[ 5 ]} Die aus dem Signal gebildete Hankel-Matrix hat sich als nützlich für die Zerlegung nichtstationärer Signale und die Zeit-Frequenz-Darstellung erwiesen.

Die Momentenmethode, angewendet auf Polynomverteilungen, führt zu einer Hankel-Matrix, die invertiert werden muss , um die Gewichtsparameter der Polynomverteilungsapproximation zu erhalten. ^{[ 6 ]}

• Cauchy-Matrix
• Jacobi-Betreiber
• Toeplitz-Matrix , eine „umgekehrte“ (d. h. zeilenumgekehrte) Hankel-Matrix
• Vandermonde-Matrix

• Brent RP (1999), „Stabilität schneller Algorithmen für strukturierte lineare Systeme“, Schnelle zuverlässige Algorithmen für Matrizen mit Struktur (Herausgeber—T. Kailath, AH Sayed), Kap. 4 ( SIAM ).
• Fuhrmann, Paul A. (2012). Ein polynomialer Ansatz zur linearen Algebra . Universitext (2. Aufl.). New York, NY: Springer. doi : 10.1007/978-1-4614-0338-8 . ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl  1239.15001 .

• Victor Y. Pan (2001). Strukturierte Matrizen und Polynome: Vereinheitlichte superschnelle Algorithmen . Birkhäuser . ISBN 0817642404Die
• JR Partington (1988). Einführung in Hankel-Operatoren . LMS Student Texts. Band 13. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36791-3Die