Pyramidenzahl

Eine Pyramidenzahl ist die Anzahl der Punkte in einer Pyramide mit polygonaler Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen. ^{[ 1 ]} Der Begriff bezieht sich häufig auf quadratische Pyramidenzahlen mit einer vierseitigen Grundfläche, kann aber auch für Pyramiden mit beliebiger Seitenzahl verwendet werden. ^{[ 2 ]} Die Anzahl der Punkte in der Grundfläche und in den parallelen Schichten wird durch Polygonzahlen der jeweiligen Seitenzahl angegeben, während die Anzahl der Punkte in jeder Dreiecksseite durch eine Dreieckszahl beschrieben wird . Pyramidenzahlen lassen sich auf höhere Dimensionen erweitern.

Die Formel für die n -te r -eckige Pyramidenzahl lautet

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

wobei r ^≥ 3 . ^{[ 1} ]${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

Diese Formel kann faktorisiert werden:

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

wobei T _n die n- te Dreieckszahl ist .

Die ersten paar dreieckigen Pyramidenzahlen (äquivalent dazu: Tetraederzahlen ) sind:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (Sequenz A000292 im OEIS )

Die ersten paar quadratischen Pyramidenzahlen sind:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... (Sequenz A000330 in der OEIS ).

Die ersten paar pentagonalen Pyramidenzahlen sind:

1 , 6 , 18 , 40 , 75 , 126 , 196 , 288 , 405, 550, 726, 936, 1183, ... (Sequenz A002411 in der OEIS ).

Die ersten paar hexagonalen Pyramidenzahlen sind:

1 , 7 , 22 , 50 , 95 , 161 , 252 , 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 (Sequenz A002412 in der OEIS ).

Die ersten paar heptagonalen Pyramidenzahlen sind: ^{[ 3 ]}

1 , 8 , 26 , 60 , 115 , 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... (Sequenz A002413 in der OEIS )