Instrumentalvariablen

In der Statistik , Ökonometrie , Epidemiologie und verwandten Disziplinen wird die quasi-experimentelle Methode der Instrumentalvariablen ( IV ) verwendet, um Kausalzusammenhänge zu schätzen, wenn kontrollierte Experimente nicht durchführbar sind oder eine Behandlung in einem randomisierten Experiment nicht bei allen Einheiten erfolgreich durchgeführt werden kann. ^{[ 1 ]} Intuitiv werden IVs eingesetzt, wenn eine erklärende (auch unabhängige oder Prädiktor-) Variable mit dem Fehlerterm korreliert (endogen) ist, da in diesem Fall die Methode der kleinsten Quadrate und die Varianzanalyse (ANOVA ) zu verzerrten Ergebnissen führen . Ein gültiges Instrument verändert die erklärende Variable (die mit der endogenen Variable korrelierte Variable), hat aber keinen unabhängigen Effekt auf die abhängige Variable und ist nicht mit dem Fehlerterm korreliert. Dadurch kann der Forscher oder Analyst den wahren Kausalzusammenhang der erklärenden Variable mit der abhängigen Variable aufdecken.

Instrumentalvariablenmethoden ermöglichen eine konsistente Schätzung, wenn die erklärenden Variablen (Kovariaten) mit den Fehlertermen in einem Regressionsmodell korreliert sind . Eine solche Korrelation kann auftreten, wenn:

1. Veränderungen der abhängigen Variablen verändern den Wert mindestens einer der Kovariablen ("umgekehrte" Kausalität).
2. Es gibt ausgelassene Variablen , die sowohl die abhängigen als auch die erklärenden Variablen beeinflussen, oder
3. Die Kovariablen unterliegen Messfehlern .

Erklärende Variablen, die im Kontext einer Regression unter einem oder mehreren dieser Probleme leiden, werden mitunter als endogen bezeichnet . In diesem Fall liefert die Methode der kleinsten Quadrate verzerrte und inkonsistente Schätzungen. ^{[ 2 ]} Steht jedoch ein Instrument zur Verfügung, können konsistente Schätzungen erzielt werden. Ein Instrument ist eine Variable, die selbst nicht zur erklärenden Gleichung gehört, aber – bedingt durch den Wert anderer Kovariablen – mit den endogenen erklärenden Variablen korreliert ist.

Bei linearen Modellen gibt es zwei Hauptvoraussetzungen für die Verwendung von unabhängigen Variablen:

• Das Instrument muss, bedingt durch die anderen Kovariaten, mit den endogenen erklärenden Variablen korreliert sein. Ist diese Korrelation stark, spricht man von einer starken ersten Stufe des Instruments . Eine schwache Korrelation kann zu irreführenden Schlussfolgerungen über die Parameterschätzungen führen und dazu, dass die Standardfehler in der zweiten Stufe größer sind als die Schätzungen der kleinsten Quadrate. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Das Instrument darf, bedingt durch die anderen Kovariablen, nicht mit dem Fehlerterm der erklärenden Gleichung korreliert sein. Anders ausgedrückt: Das Instrument darf nicht dasselbe Problem aufweisen wie die ursprüngliche Prädiktorvariable. Ist diese Bedingung erfüllt, so erfüllt das Instrument die Ausschlussrestriktion .

Um informell zu verstehen, dass bei dem Versuch, den kausalen Effekt einer Variablen X (Kovariate oder erklärende Variable) auf eine andere Variable Y (abhängige Variable) abzuschätzen, ein Instrument eine dritte Variable Z ist, die Y nur über ihren Effekt auf  X beeinflusst .

Angenommen, ein Forscher möchte beispielsweise den kausalen Effekt des Rauchens ( X ) auf die allgemeine Gesundheit ( Y ) abschätzen . ^{[ 5 ]} Eine Korrelation zwischen Rauchen und Gesundheit bedeutet nicht zwangsläufig, dass Rauchen zu schlechter Gesundheit führt, da andere Variablen, wie beispielsweise Depressionen, sowohl die Gesundheit als auch das Rauchverhalten beeinflussen können oder die Gesundheit wiederum das Rauchverhalten beeinflussen kann. Kontrollierte Experimente zum Raucherstatus in der Allgemeinbevölkerung sind nicht möglich. Der Forscher kann versuchen, den kausalen Effekt des Rauchens auf die Gesundheit anhand von Beobachtungsdaten zu schätzen, indem er die Tabaksteuer ( Z ) als Instrument für das Rauchen verwendet. Die Tabaksteuer ist eine sinnvolle Wahl als Instrument, da der Forscher annimmt, dass sie nur über ihren Einfluss auf das Rauchen mit der Gesundheit korreliert sein kann. Stellt der Forscher anschließend eine Korrelation zwischen Tabaksteuer und Gesundheitszustand fest, kann dies als Beleg dafür gewertet werden, dass Rauchen gesundheitliche Veränderungen verursacht.

Die erste Verwendung einer Instrumentvariablen erfolgte 1928 in einem Buch von Philip G. Wright , der vor allem für seine hervorragende Beschreibung der Produktion, des Transports und des Verkaufs von pflanzlichen und tierischen Ölen in den frühen 1900er Jahren in den Vereinigten Staaten bekannt ist. ^{[ 6 ] [ 7 ]} 1945 wandte Olav Reiersøl denselben Ansatz im Kontext von Fehler-in-Variablen-Modellen in seiner Dissertation an und gab der Methode damit ihren Namen. ^{[ 8 ]}

Wright versuchte, Angebot und Nachfrage nach Butter anhand von Paneldaten zu Preisen und Absatzmengen in den USA zu ermitteln . Die Idee war, dass eine Regressionsanalyse eine Nachfrage- oder Angebotskurve liefern könnte, da diese durch den Zusammenhang zwischen Preisen und nachgefragten bzw. angebotenen Mengen bestimmt wird. Das Problem bestand jedoch darin, dass die Beobachtungsdaten keine solche Nachfrage- oder Angebotskurve bildeten, sondern vielmehr eine Punktwolke, die unter verschiedenen Marktbedingungen unterschiedliche Formen annahm. Es schien daher unmöglich, aus den Daten Schlussfolgerungen zu ziehen.

Das Problem bestand darin, dass der Preis sowohl Angebot als auch Nachfrage beeinflusste, sodass sich aus den Beobachtungsdaten keine Funktion ableiten ließ, die nur eines der beiden beschrieb. Wright schlussfolgerte daher richtigerweise, dass er eine Variable benötigte, die entweder mit der Nachfrage oder mit dem Angebot, aber nicht mit beiden korrelierte – also eine Instrumentalvariable.

Nach eingehender Überlegung entschied sich Wright, die regionalen Niederschläge als Instrumentvariable zu verwenden: Er kam zu dem Schluss, dass die Niederschläge die Grasproduktion und damit die Milchproduktion und letztlich das Butterangebot, nicht aber die Butternachfrage beeinflussten. Auf diese Weise konnte er eine Regressionsgleichung mit lediglich den Instrumentvariablen Preis und Angebot aufstellen. ^{[ 9 ]}

Formale Definitionen von Instrumentalvariablen unter Verwendung von Kontrafakten und grafischen Kriterien wurden von Judea Pearl im Jahr 2000 gegeben. ^{[ 10 ]} Angrist und Krueger (2001) geben einen Überblick über die Geschichte und die Anwendung von Instrumentalvariablentechniken. ^{[ 11 ]} Kausalitätsbegriffe in der Ökonometrie und deren Beziehung zu Instrumentalvariablen und anderen Methoden werden von Heckman (2008) diskutiert. ^{[ 12 ]}

Obwohl die Ideen hinter Instrumentalvariablen (IV) auf eine breite Klasse von Modellen anwendbar sind, findet IV häufig Anwendung in der linearen Regression . Traditionell ^{[ 13 ]} wird eine Instrumentalvariable als eine Variable definiert , die mit der unabhängigen Variable korreliert und unkorreliert mit dem Fehlerterm in der linearen Gleichung ist.${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$ist ein Vektor. ist eine Matrix, üblicherweise mit einer Spalte voller Einsen und gegebenenfalls zusätzlichen Spalten für weitere Kovariaten. Betrachten wir, wie ein Instrument die Rekonstruktion von ermöglicht. Die OLS- Regression berechnet so, dass (wenn wir die Summe der quadrierten Fehler minimieren, ist die Bedingung erster Ordnung genau ). Wenn das wahre Modell aufgrund eines der oben genannten Gründe – beispielsweise einer ausgelassenen Variable , die sowohl als auch separat beeinflusst – vermutlich aufweist, liefert dieses OLS -Verfahren nicht den kausalen Einfluss von auf . OLS wählt einfach den Parameter, der die resultierenden Fehler scheinbar unkorreliert mit erscheinen lässt . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\widehat {U}})=0}$${\displaystyle \min _{\beta }(YX\beta )'(YX\beta )}$${\displaystyle X'(YX{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,U)\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Vereinfachend betrachten wir den Fall mit einer einzigen Variablen. Angenommen, wir betrachten eine Regression mit einer Variablen und einer Konstanten (vielleicht sind keine weiteren Kovariablen notwendig, oder vielleicht haben wir alle anderen relevanten Kovariablen herausgerechnet ):

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

In diesem Fall ist der Koeffizient des interessierenden Regressors gegeben durch . Durch Einsetzen von erhält man${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

Dabei ist der geschätzte Koeffizientenvektor angegeben, der sich ergäbe, wenn . In diesem Fall lässt sich zeigen, dass ein erwartungstreuer Schätzer für ist . Wenn im zugrunde liegenden Modell angenommen wird, dass , liefert die OLS- Schätzung eine inkonsistente Schätzung, die den relevanten kausalen Effekt nicht widerspiegelt. Die Instrumentalvarianzanalyse (IV) behebt dieses Problem, indem sie die Parameter nicht anhand der Unkorreliertheit von mit identifiziert , sondern anhand der Unkorreliertheit einer anderen Variablen mit . Wenn die Theorie nahelegt, dass mit (erster Schritt) zusammenhängt , aber mit unkorreliert ist (Ausschlussrestriktion), kann die IV den relevanten kausalen Parameter identifizieren, bei dem die OLS-Schätzung versagt. Da es selbst im linearen Fall mehrere spezifische Methoden zur Anwendung und Herleitung von IV-Schätzern gibt (IV, 2SLS, GMM), behandeln wir diese im Abschnitt „Schätzung“ weiter unten ausführlicher. ${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)=0}$${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)\neq 0}$${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

IV-Techniken wurden für eine wesentlich breitere Klasse nichtlinearer Modelle entwickelt. Allgemeine Definitionen von Instrumentalvariablen unter Verwendung kontrafaktischer und grafischer Formalismen wurden von Pearl (2000; S. 248) gegeben. ^{[ 10 ]} Die grafische Definition erfordert, dass Z die folgenden Bedingungen erfüllt:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

wobei für d -Separation steht und für den Graphen , in dem alle in X führenden Pfeile abgeschnitten sind. ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

Die kontrafaktische Definition erfordert, dass Z die folgende Bedingung erfüllt:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

wobei Y _x für den Wert steht, den Y annehmen würde, wenn X gleich x wäre , und für Unabhängigkeit steht. ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$

Falls zusätzliche Kovariaten W vorhanden sind, werden die obigen Definitionen so modifiziert, dass Z als Instrument gilt, wenn die gegebenen Kriterien unter der Bedingung W erfüllt sind .

Die Kernaussage von Pearls Definition ist:

1. Die relevanten Gleichungen sind „struktureller“ Natur, nicht „Regressionsgleichungen“.
2. Der Fehlerterm U steht für alle exogenen Faktoren, die Y beeinflussen, wenn X konstant gehalten wird.
3. Das Instrument Z sollte unabhängig von U sein .
4. Das Instrument Z sollte keinen Einfluss auf Y haben , wenn X konstant gehalten wird (Ausschlussrestriktion).
5. Das Instrument Z sollte nicht unabhängig von X sein .

Diese Bedingungen setzen keine spezifische funktionale Form der Gleichungen voraus und sind daher auf nichtlineare Gleichungen anwendbar, bei denen U nichtadditiv sein kann (siehe Nichtparametrische Analysis). Sie sind auch auf Systeme mit mehreren Gleichungen anwendbar, in denen X (und andere Faktoren) Y über mehrere Zwischenvariablen beeinflussen . Eine Instrumentalvariable muss nicht die Ursache von X sein ; ein Proxy für eine solche Ursache kann ebenfalls verwendet werden, sofern er die Bedingungen 1–5 erfüllt. ^{[ 10 ]} Die Ausschlussrestriktion (Bedingung 4) ist redundant; sie folgt aus den Bedingungen 2 und 3.

Da U nicht beobachtbar ist, kann die Bedingung, dass Z unabhängig von U sein muss, nicht aus den Daten abgeleitet werden, sondern muss aus der Modellstruktur, d. h. dem Datengenerierungsprozess, bestimmt werden. Kausaldiagramme stellen diese Struktur dar, und die oben genannte grafische Definition ermöglicht es, schnell zu bestimmen, ob eine Variable Z angesichts einer Menge von Kovariaten W als Instrumentvariable geeignet ist . Das folgende Beispiel veranschaulicht dies.

Angenommen, wir möchten den Effekt eines universitären Nachhilfeprogramms auf den Notendurchschnitt ( GPA ) schätzen. Der Zusammenhang zwischen der Teilnahme am Nachhilfeprogramm und dem GPA kann durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden. Studierende, die das Nachhilfeprogramm besuchen, legen möglicherweise mehr Wert auf ihre Noten oder haben Schwierigkeiten mit dem Studium. Diese Beeinflussung wird in den Abbildungen 1–3 rechts durch den bidirektionalen Bogen zwischen Nachhilfeprogramm und GPA dargestellt. Werden Studierende zufällig den Wohnheimen zugeteilt, bietet sich die Nähe des Wohnheims zum Nachhilfeprogramm als Instrumentvariable an.

• 
  Abbildung 1: Nähe kann als Instrumentvariable in Abhängigkeit von den Bibliotheksöffnungszeiten verwendet werden.
• 
  Abbildung 2: , die verwendet wird, um festzustellen, ob Nähe eine Instrumentalvariable ist.${\displaystyle G_{\overline {X}}}$
• 
  Abbildung 3: Nähe eignet sich angesichts der Bibliotheksöffnungszeiten nicht als Instrumentalvariable.
• 
  Abbildung 4: Nähe kann als Instrumentvariable verwendet werden, solange wir die Öffnungszeiten der Bibliothek nicht als Kovariate einbeziehen.

Was aber, wenn das Tutorienprogramm in der Hochschulbibliothek stattfindet? In diesem Fall könnte die Nähe dazu führen, dass Studierende mehr Zeit in der Bibliothek verbringen, was wiederum ihren Notendurchschnitt verbessert (siehe Abbildung 1). Anhand des in Abbildung 2 dargestellten Kausaldiagramms lässt sich erkennen, dass die Nähe nicht als Instrumentvariable geeignet ist, da sie über den Pfad Nähe − Bibliotheksstunden − Notendurchschnitt mit dem Notendurchschnitt verknüpft ist . Wenn wir jedoch die Bibliotheksstunden als Kovariate berücksichtigen, wird die Nähe zu einer Instrumentvariable, da sie dann, unter Berücksichtigung der Bibliotheksstunden, vom Notendurchschnitt unabhängig ist . ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

Angenommen, wir stellen fest, dass die „natürliche Begabung“ eines Studierenden sowohl seine oder ihre Bibliotheksstunden als auch seinen oder ihren Notendurchschnitt beeinflusst (siehe Abbildung 3). Mithilfe des Kausaldiagramms erkennen wir, dass die Bibliotheksstunden ein Kollider sind und die Bedingung darauf den Pfad Nähe → Bibliotheksstunden → Notendurchschnitt öffnet. Daher kann Nähe nicht als Instrumentvariable verwendet werden. ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

Angenommen, die Bibliotheksöffnungszeiten beeinflussen den Notendurchschnitt nicht, weil Studierende, die nicht in der Bibliothek lernen, einfach woanders lernen (siehe Abbildung 4). In diesem Fall führt die Berücksichtigung der Bibliotheksöffnungszeiten weiterhin zu einem Scheinkorrelationskoeffizienten zwischen Nähe und Notendurchschnitt. Lässt man die Bibliotheksöffnungszeiten jedoch außer Acht und entfernt sie als Kovariate, kann die Nähe wieder als Instrumentvariable verwendet werden.

Wir werden nun die Mechanismen der IV-Methode genauer betrachten und erläutern. Angenommen, die Daten werden durch einen Prozess der folgenden Form generiert:

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

Wo

• i indiziert Beobachtungen,
• ${\displaystyle y_{i}}$ist der i -te Wert der abhängigen Variablen,
• ${\displaystyle X_{i}}$ist ein Vektor der i -ten Werte der unabhängigen Variablen und einer Konstanten,
• ${\displaystyle e_{i}}$ist der i -te Wert eines nicht beobachteten Fehlerterms, der alle anderen Ursachen als repräsentiert , und${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle \beta }$ist ein nicht beobachteter Parametervektor.

Der Parametervektor beschreibt den kausalen Effekt einer Änderung jedes Elements von um eine Einheit auf , wobei alle anderen Einflussfaktoren auf konstant gehalten werden. Das ökonometrische Ziel ist die Schätzung von . Vereinfachend wird angenommen, dass die Stichproben von e unkorreliert sind und aus Verteilungen mit derselben Varianz stammen (d. h., dass die Fehler seriell unkorreliert und homoskedastisch sind ). ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \beta }$

Angenommen, es wird ein Regressionsmodell von nominell derselben Form vorgeschlagen. Gegeben eine Zufallsstichprobe von T Beobachtungen aus diesem Prozess, ist der Schätzer der kleinsten Quadrate gegeben durch

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

Hierbei bezeichnen X , y und e Spaltenvektoren der Länge T. Diese Gleichung ähnelt der Gleichung aus der Einleitung (dies ist die Matrixversion jener Gleichung). Sind X und e unkorreliert , so hat der zweite Term unter bestimmten Regularitätsbedingungen einen Erwartungswert von null, bedingt auf X , und konvergiert im Grenzwert gegen null. Der Schätzer ist somit erwartungstreu und konsistent. Sind X und die anderen ungemessenen, kausalen Variablen, die im Term e zusammengefasst sind, jedoch korreliert, ist der OLS-Schätzer im Allgemeinen verzerrt und inkonsistent für  β . In diesem Fall ist es zwar zulässig, die Schätzwerte zur Vorhersage von y -Werten anhand von X- Werten zu verwenden , der Schätzwert gibt jedoch nicht den kausalen Effekt von X auf  y wieder . ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,y)}$

Um den zugrundeliegenden Parameter zu ermitteln , führen wir eine Menge von Variablen Z ein, die mit jeder endogenen Komponente von X hoch korreliert ist , aber (in unserem zugrundeliegenden Modell) nicht mit  e korreliert ist . Vereinfachend könnte man X als T × 2-Matrix betrachten, bestehend aus einer Spalte mit Konstanten und einer endogenen Variable, und Z als T × 2-Matrix, bestehend aus einer Spalte mit Konstanten und einer Instrumentvariablen. Diese Methode lässt sich jedoch verallgemeinern, sodass X eine Matrix aus einer Konstanten und beispielsweise fünf endogenen Variablen ist, während Z eine Matrix aus einer Konstanten und fünf Instrumentvariablen ist. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass X eine T × K- Matrix ist und lassen den Wert von K unbestimmt. Ein Schätzer, bei dem sowohl X als auch Z T × K -Matrizen sind , wird als gerade identifiziert bezeichnet . ${\displaystyle \beta }$

Angenommen, die Beziehung zwischen jeder endogenen Komponente x _i und den Instrumenten ist gegeben durch

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

Die gebräuchlichste IV-Spezifikation verwendet den folgenden Schätzer:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

Diese Spezifikation nähert sich dem wahren Parameter an, wenn die Stichprobe groß wird, solange sie im wahren Modell gilt: ${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

Solange der zugrunde liegende Prozess, der die Daten generiert, diesen Parameter identifiziert, ermöglicht die korrekte Anwendung des IV-Schätzers die Bestimmung dieses Parameters. Dies funktioniert, da IV den eindeutigen Parameter findet, der die Bedingung erfüllt , und sich somit mit zunehmendem Stichprobenumfang dem wahren zugrunde liegenden Parameter annähert. ${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

Nun eine Erweiterung: Angenommen, die interessierende Gleichung enthält mehr Instrumente als Kovariaten, sodass Z eine T × M- Matrix mit M > K ist . Dies wird oft als überidentifizierter Fall bezeichnet. In diesem Fall kann die verallgemeinerte Momentenmethode (GMM) angewendet werden. Der GMM-IV-Schätzer ist

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

wobei sich auf die Projektionsmatrix bezieht . ${\displaystyle P_{Z}}$${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$

Dieser Ausdruck reduziert sich auf den ersten, wenn die Anzahl der Instrumente der Anzahl der Kovariablen in der betrachteten Gleichung entspricht. Das überidentifizierte Instrumental ist daher eine Verallgemeinerung des gerade identifizierten Instrumentalmodells.

There is an equivalent under-identified estimator for the case where m < k. Since the parameters are the solutions to a set of linear equations, an under-identified model using the set of equations ${\displaystyle Z'v=0}$ does not have a unique solution.

One computational method which can be used to calculate IV estimates is two-stage least squares (2SLS or TSLS). In the first stage, each explanatory variable that is an endogenous covariate in the equation of interest is regressed on all of the exogenous variables in the model, including both exogenous covariates in the equation of interest and the excluded instruments. The predicted values from these regressions are obtained:

Stage 1: Regress each column of X on Z, (${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$):

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

and save the predicted values:

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

In the second stage, the regression of interest is estimated as usual, except that in this stage each endogenous covariate is replaced with the predicted values from the first stage:

Stage 2: Regress Y on the predicted values from the first stage:

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

which gives

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

This method is only valid in linear models. For categorical endogenous covariates, one might be tempted to use a different first stage than ordinary least squares, such as a probit model for the first stage followed by OLS for the second. This is commonly known in the econometric literature as the forbidden regression,^[15] because second-stage IV parameter estimates are consistent only in special cases.^[16]

Der resultierende Schätzer ist numerisch identisch mit dem oben dargestellten Ausdruck. Um die Kovarianzmatrix von korrekt zu berechnen, muss die Summe der quadrierten Residuen im angepassten Modell der zweiten Stufe geringfügig korrigiert werden. ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

Wenn die Form der Strukturgleichungen unbekannt ist, kann eine Instrumentalvariable dennoch durch die Gleichungen definiert werden: ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

Dabei sind und zwei beliebige Funktionen, und ist unabhängig von . Im Gegensatz zu linearen Modellen erlauben Messungen von und jedoch keine Bestimmung des durchschnittlichen kausalen Effekts von auf , bezeichnet als ACE. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Z,X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

Balke und Pearl [1997] leiteten enge Schranken für ACE ab und zeigten, dass diese wertvolle Informationen über das Vorzeichen und die Größe von ACE liefern können. ^{[ 17 ]}

In der linearen Analysis gibt es keinen Test, um die Annahme zu widerlegen, dass die Funktion bezüglich des Paares instrumentell ist . Dies ist nicht der Fall, wenn diskret ist. Pearl (2000) hat gezeigt, dass für alle und die folgende Bedingung, die sogenannte „Instrumentelle Ungleichung“, gelten muss, wenn die beiden obigen Gleichungen erfüllt sind: ^{[ 10 ]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

Die obige Darstellung setzt voraus, dass der interessierende Kausaleffekt über verschiedene Beobachtungen hinweg konstant ist. Im Allgemeinen reagieren verschiedene Personen unterschiedlich auf Veränderungen der „Behandlung“ x . Wird diese Möglichkeit berücksichtigt, kann der durchschnittliche Effekt einer Veränderung von x auf y in der Gesamtpopulation vom Effekt in einer bestimmten Teilpopulation abweichen. Beispielsweise kann der durchschnittliche Effekt eines Weiterbildungsprogramms erheblich zwischen der Gruppe der Teilnehmenden und der Gruppe, die sich gegen die Teilnahme entscheidet, variieren. Aus diesen Gründen basieren IV-Methoden auf impliziten Annahmen über das Verhalten oder allgemeiner auf Annahmen über die Korrelation zwischen der Reaktion auf die Behandlung und der Bereitschaft zur Teilnahme. ^{[ 18 ]}${\displaystyle \beta }$

Der Standard-IV-Schätzer kann lokale durchschnittliche Behandlungseffekte (LATE) anstelle von durchschnittlichen Behandlungseffekten (ATE) ermitteln. ^{[ 1 ]} Imbens und Angrist (1994) zeigen, dass die lineare IV-Schätzung unter schwachen Bedingungen als gewichteter Durchschnitt lokaler durchschnittlicher Behandlungseffekte interpretiert werden kann, wobei die Gewichte von der Elastizität des endogenen Regressors gegenüber Änderungen der Instrumentvariablen abhängen. Vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies, dass der Effekt einer Variablen nur für die Subpopulationen sichtbar wird, die von den beobachteten Änderungen der Instrumente betroffen sind, und dass Subpopulationen, die am stärksten auf Änderungen der Instrumente reagieren, den größten Einfluss auf die Größe der IV-Schätzung haben.

Wenn eine Forscherin beispielsweise die Existenz einer staatlichen Hochschule als Instrument für Hochschulbildung in einer Einkommensregression verwendet, ermittelt sie den Effekt des Studiums auf das Einkommen in der Teilpopulation, die einen Hochschulabschluss erwerben würde, wenn eine solche Hochschule vorhanden wäre, aber keinen, wenn keine vorhanden wäre. Dieser empirische Ansatz liefert der Forscherin ohne weitere Annahmen keine Informationen über den Effekt des Studiums auf Personen, die unabhängig von der Existenz einer Hochschule in ihrer Nähe entweder immer oder nie einen Hochschulabschluss erwerben würden.

Wie Bound , Jaeger und Baker (1995) feststellen, entsteht ein Problem durch die Auswahl „schwacher“ Instrumente, also solcher, die den endogenen Frageprädiktor in der Gleichung der ersten Stufe nur unzureichend vorhersagen. ^{[ 19 ]} In diesem Fall ist die Vorhersage des Frageprädiktors durch das Instrument ungenau, und die vorhergesagten Werte weisen nur geringe Streuung auf. Folglich ist es unwahrscheinlich, dass sie bei der Vorhersage des Endergebnisses erfolgreich sind, wenn sie den Frageprädiktor in der Gleichung der zweiten Stufe ersetzen.

Im Kontext des oben diskutierten Beispiels zum Zusammenhang zwischen Rauchen und Gesundheit sind Tabaksteuern wenig aussagekräftige Instrumente zur Messung des Rauchverhaltens, wenn der Raucherstatus weitgehend unbeeinflusst von Steueränderungen bleibt. Wenn höhere Steuern Menschen nicht zum Aufhören (oder gar nicht erst zum Rauchen) bewegen, sagt die Variation der Steuersätze nichts über die Auswirkungen des Rauchens auf die Gesundheit aus. Beeinflussen Steuern die Gesundheit über andere Kanäle als ihren Einfluss auf das Rauchen, sind die Instrumente ungültig, und der Ansatz mit Instrumentvariablen kann zu irreführenden Ergebnissen führen. Beispielsweise können Regionen und Zeiträume mit einer relativ gesundheitsbewussten Bevölkerung hohe Tabaksteuern erheben und dennoch eine bessere Gesundheit aufweisen, selbst bei gleichbleibenden Raucherquoten. Daher würden wir eine Korrelation zwischen Gesundheit und Tabaksteuern beobachten, selbst wenn Rauchen keine Auswirkungen auf die Gesundheit hätte. In diesem Fall wäre es ein Fehler, aus der beobachteten Korrelation zwischen Tabaksteuern und Gesundheit auf einen kausalen Zusammenhang zwischen Rauchen und Gesundheit zu schließen.

Die Stärke der Instrumente lässt sich direkt beurteilen, da sowohl die endogenen Kovariablen als auch die Instrumente beobachtbar sind. ^{[ 20 ]} Eine gängige Faustregel für Modelle mit einem endogenen Regressor lautet: Die F-Statistik gegen die Nullhypothese , dass die ausgeschlossenen Instrumente in der Regression der ersten Stufe irrelevant sind, sollte größer als 10 sein.

Sind die Kovariablen exogen, lassen sich die Eigenschaften des OLS-Schätzers bei kleinen Stichproben auf einfache Weise durch die Berechnung der Momente des Schätzers bedingt auf X ableiten . Sind einige der Kovariablen endogen, sodass eine Schätzung mit Instrumentvariablen erforderlich ist, lassen sich keine einfachen Ausdrücke für die Momente des Schätzers auf diesem Wege gewinnen. Im Allgemeinen weisen Instrumentvariablen-Schätzer nur wünschenswerte asymptotische, nicht aber Eigenschaften für endliche Stichproben auf, und die Inferenz basiert auf asymptotischen Approximationen der Stichprobenverteilung des Schätzers. Selbst wenn die Instrumente unkorreliert mit dem Fehler in der interessierenden Gleichung sind und nicht schwach, können die Eigenschaften des Instrumentvariablen-Schätzers bei endlichen Stichproben unzureichend sein. Beispielsweise liefern exakt identifizierte Modelle Schätzer für endliche Stichproben ohne Momente, sodass der Schätzer weder als verzerrt noch als unverzerrt bezeichnet werden kann. Die nominale Größe der Teststatistik kann erheblich verzerrt sein, und die Schätzungen können häufig weit vom wahren Wert des Parameters entfernt liegen. ^{[ 21 ]}

Die Annahme, dass die Instrumente nicht mit dem Fehlerterm in der interessierenden Gleichung korreliert sind, lässt sich in exakt identifizierten Modellen nicht testen. Bei überidentifizierten Modellen stehen jedoch Informationen zur Verfügung, mit denen diese Annahme überprüft werden kann. Der gebräuchlichste Test dieser Überidentifizierungsrestriktionen , der sogenannte Sargan-Hansen-Test , basiert auf der Beobachtung, dass die Residuen unkorreliert mit den exogenen Variablen sein sollten, wenn die Instrumente tatsächlich exogen sind. ^{[ 22 ]} Die Sargan-Hansen -Teststatistik lässt sich aus der OLS-Regression der Residuen auf die exogenen Variablen berechnen (Anzahl der Beobachtungen multipliziert mit dem Bestimmtheitsmaß ). Unter der Nullhypothese, dass der Fehlerterm unkorreliert mit den Instrumenten ist, ist diese Statistik asymptotisch χ²-verteilt mit m  −  k Freiheitsgraden. ${\displaystyle TR^{2}}$

• Kontrollfunktion (Ökonometrie)  – Statistische Methoden zur Korrektur von Endogenitätsproblemen
• Optimale Instrumente  – Technik zur Verbesserung der Effizienz von Schätzern in bedingten Momentenmodellen

• Greene, William H. (2008). Ökonometrische Analyse (6. Aufl.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. S.  314–353 . ISBN 978-0-13-600383-0Die
• Gujarati, Damodar N .; Porter, Dawn C. (2009). Grundlagen der Ökonometrie (5. Aufl.). New York: McGraw-Hill Irwin. S.  711–736 . ISBN 978-0-07-337577-9Die
• Keane, Michael P.; Neal, Timothy (2024). „ Ein praktischer Leitfaden zu schwachen Instrumenten “. Annual Review of Economics . 16 : 185–212.
• Sargan, Denis (1988). Vorlesungen über fortgeschrittene ökonometrische Theorie . Oxford: Basil Blackwell. S.  42–67 . ISBN 978-0-631-14956-9Die
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). Einführung in die Ökonometrie: Ein moderner Ansatz (Fünfte internationale Auflage). Mason, OH: South-Western. S.  490–528 . ISBN 978-1-111-53439-4Die

• Wooldridge, J. (1997): Quasi-Likelihood-Methoden für Zähldaten, Handbuch der angewandten Ökonometrie, Band 2, hrsg. von M. H. Pesaran und P. Schmidt, Oxford, Blackwell, S. 352–406
• Terza, JV (1998): „Schätzung von Zählmodellen mit endogenem Switching: Stichprobenauswahl und endogene Behandlungseffekte.“ Journal of Econometrics (84), S. 129–154.
• Wooldridge, J. (2002): „Ökonometrische Analyse von Querschnitts- und Paneldaten“, MIT Press , Cambridge, Massachusetts.

• Kapitel aus Daniel McFaddens Lehrbuch
• Vorlesung zur Ökonometrie (Thema: Instrumentalvariable) auf YouTube von Mark Thoma .
• Vorlesung zur Ökonometrie (Thema: Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung) auf YouTube von Mark Thoma