Letter Relative frequency in the English language[1]
Texts Dictionaries
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Letter frequency is the number of times letters of the alphabet appear on average in written language. Letter frequency analysis dates back to the Arab mathematician Al-Kindi (c. AD 801–873), who formally developed the method to break ciphers. Letter frequency analysis gained importance in Europe with the development of movable type in AD 1450, wherein one must estimate the amount of type required for each letterform. Linguists use letter frequency analysis as a rudimentary technique for language identification, where it is particularly effective as an indication of whether an unknown writing system is alphabetic, syllabic, or logographic.

The use of letter frequencies and frequency analysis plays a fundamental role in cryptograms and several word puzzle games, including hangman, Scrabble, Wordle[2] and the television game show Wheel of Fortune. One of the earliest descriptions in classical literature of applying the knowledge of English letter frequency to solving a cryptogram is found in Edgar Allan Poe's famous story "The Gold-Bug", where the method is successfully applied to decipher a message giving the location of a treasure hidden by Captain Kidd.[3]

Herbert S. Zim gibt in seinem klassischen Einführungslehrbuch zur Kryptographie, Codes and Secret Writing , die Häufigkeitsfolge der englischen Buchstaben als „ ETAON RISHD LFCMU GYPWB VKJXZQ “, die häufigsten Buchstabenpaare als „TH HE AN RE ER IN ON AT ND ST ES EN OF TE ED OR TI HI AS TO“ und die häufigsten doppelten Buchstaben als „LL EE SS OO TT FF RR NN PP CC“ an. [ 4 ] Unterschiedliche Zählmethoden können zu leicht abweichenden Reihenfolgen führen.

Die Häufigkeit der Buchstaben hat auch einen starken Einfluss auf die Gestaltung einiger Tastaturlayouts . Die häufigsten Buchstaben befinden sich in der Grundreihe der Blickensderfer-Schreibmaschine , des Dvorak-Tastaturlayouts , des Colemak- Layouts und anderer Layouts, die für das gängige englische Tippen optimiert sind, während das weit verbreitete QWERTY- Layout hingegen für die Transkription von Telegrammen optimiert wurde. [ 5 ]

Hintergrund

Der California Job Case war ein unterteilter Druckkasten aus dem 19. Jahrhundert, dessen Größen den gängigen Buchstabenformen entsprachen.

Die Häufigkeit von Buchstaben in Texten wird seit langem für die Kryptoanalyse , insbesondere für die Häufigkeitsanalyse , untersucht. Diese Erkenntnisse lassen sich bis zum arabischen Mathematiker al-Kindi (ca. 801–873 n. Chr.) zurückverfolgen, der die Methode formal entwickelte (die mit dieser Technik knackbaren Chiffren reichen mindestens bis zur Caesar-Chiffre von Julius Caesar zurück , sodass diese Methode bereits in der Antike erforscht worden sein könnte). Die Buchstabenhäufigkeitsanalyse gewann in Europa mit der Entwicklung des Buchdrucks mit beweglichen Lettern um 1450 n. Chr. an Bedeutung. Hierbei muss die für jeden Buchstaben benötigte Letternmenge geschätzt werden, was sich in den unterschiedlichen Größen der Buchstabenfächer in den Setzkästen der Setzer widerspiegelt.

Eine exakte Buchstabenhäufigkeitsverteilung liegt keiner bestimmten Sprache zugrunde, da jeder Schreiber etwas anders schreibt. Die meisten Sprachen weisen jedoch eine charakteristische Verteilung auf, die in längeren Texten deutlich sichtbar wird. Selbst so extreme Sprachveränderungen wie der Übergang vom Altenglischen zum Neuenglischen (die als gegenseitig unverständlich gelten) zeigen deutliche Tendenzen in den Häufigkeiten verwandter Buchstaben: In einer kleinen Auswahl biblischer Passagen, von der häufigsten zur seltensten, entspricht die altenglische Buchstabenfolge enaid sorhm tgþlwu æcfy ðbpxz der neuenglischen Buchstabenfolge eotha sinrd luymw fgcbp kvjqxz , wobei die größten Unterschiede in den Buchstabenformen nicht übereinstimmen. [ 6 ]

Die Linotype-Setzmaschinen für die englische Sprache gingen von der häufigsten zur seltensten Buchstabenfolge étaoin shrdlu cmfwyp vbgkqj xz aus, basierend auf der Erfahrung und Gewohnheit der manuellen Setzer. Das Äquivalent für die französische Sprache war elaoin sdrétu cmfhyp vbgwqj xz .

Die Anordnung des Morse-Alphabets in Gruppen von Buchstaben, deren Übertragung gleich lange dauert, und die anschließende Sortierung dieser Gruppen in aufsteigender Reihenfolge ergibt e it san hurdm wgvlfbk opxcz jyq . [ a ] ​​Die Buchstabenhäufigkeit wurde auch von anderen Telegrafensystemen, wie dem Murray-Code , verwendet .

Ähnliche Ideen werden in modernen Datenkompressionsverfahren wie der Huffman-Codierung verwendet .

Die Häufigkeit von Buchstaben variiert , ähnlich wie die von Wörtern , sowohl je nach Autor als auch je nach Thema. Beispielsweise kommt der Buchstabe ⟨d⟩ in fiktionalen Texten häufiger vor, da diese meist in der Vergangenheitsform verfasst sind und die meisten Verben daher auf die Endung -ed/-d enden . Man kann keinen Aufsatz über Röntgenstrahlen schreiben, ohne häufig ⟨x⟩ zu verwenden , und der Aufsatz weist eine ungewöhnliche Buchstabenhäufigkeit auf, wenn er beispielsweise von Königin Zelda von Sansibar handelt , die Röntgenaufnahmen aus Katar anfordert , um die Hypoxie bei Zebras zu untersuchen . Verschiedene Autoren haben Gewohnheiten, die sich in ihrem Buchstabengebrauch widerspiegeln. Hemingways Schreibstil unterscheidet sich beispielsweise deutlich von dem Faulkners . Buchstaben-, Bigramm- , Trigramm- und Worthäufigkeiten sowie Wort- und Satzlängen lassen sich für bestimmte Autoren berechnen und zur Bestätigung oder Widerlegung der Autorschaft von Texten heranziehen, selbst bei Autoren mit ähnlichen Stilen.

Genaue durchschnittliche Buchstabenhäufigkeiten lassen sich nur durch die Analyse einer großen Menge repräsentativer Texte ermitteln. Dank moderner Computertechnik und umfangreicher Textkorpora sind solche Berechnungen problemlos möglich. Beispiele lassen sich aus verschiedensten Quellen gewinnen (Presseberichte, religiöse Texte, wissenschaftliche Texte und Belletristik). Insbesondere in der Belletristik zeigen sich Unterschiede in der Position von ⟨h⟩ und ⟨i⟩ , wobei ⟨h⟩ häufiger vorkommt.

Auch unterschiedliche Dialekte einer Sprache beeinflussen die Häufigkeit eines Buchstabens. So wird beispielsweise ein US-amerikanischer Autor in einem Werk, das zum selben Thema schreibt, den Buchstaben ⟨z⟩ häufiger verwenden als ein britischer Autor: Wörter wie „analyze“, „apologize“ und „recognize“ enthalten diesen Buchstaben im amerikanischen Englisch, während sie im britischen Englisch „analyse“, „apologise“ und „recognise“ geschrieben werden. Dies wirkt sich stark auf die Häufigkeit des Buchstabens ⟨z⟩ aus , da er von britischen Autoren im Englischen selten verwendet wird. [ 7 ]

Die zwölf häufigsten Buchstaben machen etwa 80 % der Gesamtnutzung aus. Die acht häufigsten Buchstaben machen etwa 65 % der Gesamtnutzung aus. Die Buchstabenhäufigkeit in Abhängigkeit vom Rang lässt sich gut durch verschiedene Rangfunktionen beschreiben, wobei die Zwei-Parameter- Cocho/Beta-Rangfunktion die beste ist. [ 8 ] Eine weitere Rangfunktion ohne anpassbaren freien Parameter beschreibt die Buchstabenhäufigkeitsverteilung ebenfalls recht gut. [ 9 ] (Dieselbe Funktion wurde auch zur Bestimmung der Aminosäurehäufigkeit in Proteinsequenzen verwendet. [ 10 ] ) Ein Spion, der die VIC-Chiffre oder eine andere Chiffre auf Basis eines Schachbrettmusters verwendet , merkt sich typischerweise die acht häufigsten Zeichen mithilfe einer Eselsbrücke wie „a sin to err“ (wobei das zweite „r“ weggelassen wird) [ 11 ] [ 12 ] oder „at one sir“ [ 13 ] .

Relative Häufigkeiten von Buchstaben in der englischen Sprache

Tastatur, die lange Zeit von einem englischsprachigen Nutzer verwendet wurde: Die Buchstaben E, O, T, H, A, S, I, N und R weisen deutliche Gebrauchsspuren auf; einige Gebrauchsspuren sind bei D, L, U, Y, M, W, F, G, C, B und P sichtbar; und kaum oder gar keine Gebrauchsspuren sind bei K, V, J, Q, X und Z sichtbar.

Es gibt drei Methoden zur Bestimmung der Buchstabenhäufigkeit, die zu sehr unterschiedlichen Diagrammen für häufige Buchstaben führen. Die erste Methode, die im untenstehenden Diagramm verwendet wird, besteht darin, die Buchstabenhäufigkeit in den Lemmata eines Wörterbuchs zu zählen. Das Lemma ist das Wort in seiner Grundform. Die zweite Methode bezieht alle Wortvarianten mit ein, wie z. B. „abstracts“, „abstracted“ und „abstracting“, und nicht nur das Lemma von „abstract“. Diese zweite Methode führt dazu, dass Buchstaben wie ⟨s⟩ viel häufiger vorkommen, beispielsweise bei der Zählung von Buchstaben aus Listen der meistverwendeten englischen Wörter im Internet. ⟨s⟩ ist besonders häufig in flektierten Wörtern (Nicht-Lemma-Formen), da es zur Bildung von Pluralformen und Verben der 3. Person Singular Präsens angehängt wird. Eine letzte Methode besteht darin, Buchstaben anhand ihrer Häufigkeit in tatsächlichen Texten zu zählen, was dazu führt, dass bestimmte Buchstabenkombinationen wie ⟨th⟩ aufgrund der häufigen Verwendung von Wörtern wie „the“, „then“, „both“, „this“ usw. häufiger vorkommen. Solche absoluten Häufigkeitsmessungen werden bei der Erstellung von Tastaturlayouts oder Buchstabenhäufigkeiten in altmodischen Druckmaschinen verwendet.

Eine Analyse der Einträge im Concise Oxford Dictionary, bei der die Häufigkeit der Wortverwendung außer Acht gelassen wird, ergibt die Reihenfolge "EARIOTNSLCUDPMHGBFYWKVXZJQ". [ 14 ]

Die obige Buchstabenhäufigkeitstabelle stammt von Pavel Mičkas Website, die Robert Lewands Cryptological Mathematics zitiert . [ 15 ]

Laut Lewand lauten die Buchstaben, geordnet nach ihrer Häufigkeit: etaoinshrdlcumwfgypbvkjxqz . Lewands Reihenfolge weicht leicht von anderen ab, beispielsweise von dem Math Explorer's Project der Cornell University, das nach der Messung von 40.000 Wörtern eine Tabelle erstellte. [ 16 ]

Im Englischen kommt das Leerzeichen fast doppelt so häufig vor wie der oberste Buchstabe ( ⟨e⟩ ) [ 17 ] und die nicht-alphabetischen Zeichen (Ziffern, Satzzeichen usw.) belegen zusammen die vierte Position (einschließlich des Leerzeichens) zwischen ⟨t⟩ und ⟨a⟩ . [ 18 ]

Relative Häufigkeiten der Anfangsbuchstaben eines Wortes in der englischen Sprache

Brief Relative Häufigkeit als erster Buchstabe eines englischen Wortes
Texte Wörterbücher
A11,7 %
 
5,7 %
 
B4,4 %
 
6%
 
C5,2 %
 
9,4 %
 
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W5,5 %
 
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X0,045 %
 
0,05 %
 
Y0,76 %
 
0,36 %
 
Z0,045 %
 
0,24 %
 

Die Häufigkeit der Anfangsbuchstaben von Wörtern oder Namen ist hilfreich bei der Vorabzuordnung von Speicherplatz in physischen Akten und Indizes. [ 19 ] Bei 26  Schubladen in einem Aktenschrank ist es oft sinnvoller, anstatt jeder Schublade einen Buchstaben des Alphabets zuzuordnen, einen Code mit gleichmäßigerer Buchstabenhäufigkeit zu verwenden. Dies geschieht, indem mehrere seltene Buchstaben derselben Schublade zugeordnet werden (oft wird eine Schublade mit VWXYZ beschriftet) und die häufigsten Anfangsbuchstaben ( ⟨s, a, c⟩ ) auf mehrere Schubladen verteilt werden (oft 6 Schubladen: Aa–An, Ao–Az, Ca–Cj, Ck–Cz, Sa–Si, Sj–Sz). Dasselbe System wird in einigen mehrbändigen Werken wie Enzyklopädien verwendet . Cutter-Nummern , eine weitere Zuordnung von Namen zu einem Code mit gleichmäßigerer Buchstabenhäufigkeit, werden in einigen Bibliotheken eingesetzt.

Sowohl die Gesamtbuchstabenverteilung als auch die Verteilung der Anfangsbuchstaben entsprechen annähernd der Zipf-Verteilung und noch genauer der Yule-Verteilung . [ 20 ]

Die Häufigkeitsverteilung der ersten Ziffer in jedem Datenpunkt unterscheidet sich oft deutlich von der Gesamthäufigkeit aller Ziffern in einem Satz numerischer Daten. Diese Beobachtung ist als Benfordsches Gesetz bekannt .

Eine Analyse von Peter Norvig über Wörter, die 100.000 Mal oder öfter in Google Books-Daten vorkommen , die mittels optischer Zeichenerkennung (OCR) transkribiert wurden, ermittelte unter anderem die Häufigkeit der Anfangsbuchstaben englischer Wörter. [ 21 ]

Relative Häufigkeiten von Buchstaben in anderen Sprachen

Brief EnglischFranzösisch [ 22 ]Deutsch [ 23 ]Spanisch [ 24 ]Portugiesisch [ 25 ]Italienisch [ 26 ]Türkisch [ 27 ]Schwedisch [ 28 ]Polnisch [ 29 ]Niederländisch [ 30 ]Dänisch [ 31 ]Isländisch [ 32 ]Finnisch [ 33 ]tschechischUngarisch [ 34 ]Walisisch [ 35 ]
A8,167 %7,636 %6,516 %11,525 %14,634 %11,745 %11,920 %9,383 %8,965 %7,49 %6,025 %10,110 %12,217 %8,421 %8,89 %10,2413 %
B1,492 %0,901 %1,886 %2,215 %1,043 %0,927 %2,844 %1,535 %1,482 %1,58 %2,000 %1,043 %0,281 %0,822 %1,94 %1,8668 %
C2,782 %3,260 %2,732 %4,019 %3,882 %4,501 %0,963 %1,486 %3,988 %1,24 %0,565 %~0%0,281 %0,740 %0,646 %1,7760 %
D4,253 %3,669 %5,076 %5,010 %4,992 %3,736 %4,706 %4,702 %3,293 %5,93 %5,858 %1,575 %1,043 %3,475 %1,92 %5,1361 %
e12,702 %14,715 %16,396 %13,702 %13,101 %11,792 %8,912 %10,149 %7,921 %18,91 %15,453 %6,418 %7,968 %7,562 %11,6 %8,1162 %
F2,228 %1,066 %1,656 %0,692 %1,023 %1,153 %0,461 %2,027 %0,312 %0,81 %2,406 %3,013 %0,194 %0,084 %0,548 %2,6747 %
G2,015 %0,866 %3,009 %1,768 %1,303 %1,644 %1,253 %2,862 %1,377 %3,40 %4,077 %4,241 %0,392 %0,092 %3,79 %3,4118 %
H6,094 %0,937 %4,577 %1,973 %1,281 %0,136 %1,212 %2,090 %1,072 %2,38 %1,621 %1,871 %1,851 %1,356 %1,26 %1,4789 %
ich6,966 %7,529 %6,550 %6,247 %6,186 %10,143 %8,600 %*5,817 %8,286 %6,50 %6,000 %7,578 %10,817 %6,073 %4,25 %7,5692 %
J0,153 %0,813 %0,268 %0,493 %0,379 %0,011 %0,034 %0,614 %2,343 %1,46 %0,730 %1,144 %2,042 %1,433 %1,48 %0,0783 %
k0,772 %0,074 %1,417 %0,026 %0,015 %0,009 %4,683 %3,140 %3,411 %2,25 %3,395 %3,314 %4,973 %2,894 %4,85 %0,0396 %
l4,025 %5,456 %3,437 %4,967 %2,779 %6,510 %5,922 %5,275 %2,136 %3,57 %5,229 %4,532 %5,761 %3,802 %6,71 %3,3583 %
M2,406 %2,968 %2,534 %3,157 %4,738 %2,512 %3,752 %3,471 %2,911 %2,21 %3,237 %4,041 %3,202 %2,446 %3,82 %2,5932 %
N6,749 %7,095 %9,776 %6,712 %4,446 %6,883 %7,487 %8,542 %5,600 %10,03 %7,240 %7,711 %8,826 %6,468 %6,82 %8,5521 %
O7,507 %5,796 %2,594 %8,683 %9,735 %9,832 %2,476 %4,482 %7,590 %6,06 %4,636 %2,166 %5,614 %6,695 %3,65 %6,2800%
P1,929 %2,521 %0,670 %2,510 %2,523 %3,056 %0,886 %1,839 %3,101 %1,57 %1,756 %0,789 %1,842 %1,906 %0,48 %0,8187 %
Q0,095 %1,362 %0,018 %0,877 %1,204 %0,505 %00,020 %0,003 %0,009 %0,007 %00,013 %0,001 %~0%0,0039 %
R5,987 %6,693 %7,003 %6,871 %6,530 %6,367 %6,722 %8,431 %4,571 %6,41 %8,956 %8,581 %2,872 %4,799 %2,65 %7,0851 %
S6,327 %7,948 %7,270 %7,977 %6,805 %4,981 %3,014 %6,590 %4,263 %3,73 %5,805 %5,630 %7,862 %5,212 %6,99 %2,8538 %
T9,056 %7,244 %6,154 %4,632 %4,336 %5,623 %3,314 %7,691 %3,966 %6,79 %6,862 %4,953 %8,750 %5,727 %6,96 %1,8422 %
u2,758 %6,311 %4,166 %3,927 %3,639 %2,813 %3,235 %1,919 %2,347 %1,99 %1,979 %4,562 %5,008 %2,160 %0,392 %2,7233 %
v0,978 %1,838 %0,846 %1,138 %1,575 %2,097 %0,959 %2,415 %0,034 %2,85 %2,332 %2,437 %2,250 %5,344 %2,31 %0,0520 %
w2,360 %0,049 %1,921 %0,027 %0,037 %0,033 %00,142 %4,549 %1,52 %0,069 %00,094 %0,016 %~0%4,6418 %
X0,150 %0,427 %0,034 %0,515 %0,453 %0,008 %00,159 %0,019 %0,036 %0,028 %0,046 %0,031 %0,027 %~0%0,0399 %
y1,974 %0,708 %0,039 %1,433 %0,006 %0,020 %3,336 %0,708 %3,857 %0,035 %0,698 %0,900 %1,745 %1,043 %2,56 %8,9710 %
z0,074 %0,326 %1,134 %0,467 %0,470 %1,181 %1,500 %0,070 %5,620 %1,39 %0,034 %00,051 %1,599 %4,3 %0,0086 %
A~0%0,486 %0~0%0,072 %0,635 %0000000000
A~0%0,051 %000,562 %~0%~0%000000000,1465 %
A~0%000,502 %0,118 %0000001,799 %00,867 %3,44 %0,0002 %
A~0%0000001,34 %001,190 %~0%0,003 %000
A~0%00,578 %00001,80 %00003,577 %000,0010%
A00000,733 %00000000000
A000000001,021 %0000000
æ~0%0000000000,872 %0,867 %0000
œ~0%0,018 %00000000000000
C~0%0,085 %0~0%0,530 %01,156 %0000~0%0000
C000000000,448 %0000000
C~0%0000000000000,462 %00
ch0000000000000000,9488 %
D00000000000000,015 %00
dd0000000000000002,9274 %
D000000000004,393 %0000
è~0%0,271 %0~0%00,263 %0000000000,0005 %
é~0%1,504 %00,433 %0,337 %000~0%000,647 %00,633 %4,25 %0,0001 %
ê00,218 %000,450 %~0%0000000000,0256 %
ë~0%0,008 %00000000000000,0016 %
ę000000001,131 %0000000
ě00000000000001,222 %00
ff0000000000000000,3822 %
G0000001,125 %000000000
ng0000000000000000,3658 %
ich00,045 %000~0%~0%000000000,0077 %
ich00000(0,030%)0000000000,0001 %
ich0000,725 %0,132 %0,030 %000001,570 %01,643 %0,47 %~0%
ich~0%0,005 %00000000000000,0077 %
ich0000005,114 %*000000000
ł000000001,746 %0000000
ľ0000000000000~0%00
ll0000000000000001,0311 %
N~0%000,311 %000000000000
N000000000,185 %0000000
N00000000000000,007 %00
O000000,002 %0000000000,0002 %
O~0%00,443 %0000,777 %1,31 %0000,777 %0,444 %00,784 %0,0023 %
O~0%0,023 %000,635 %~0%0000000000,1010%
O0000,827 %0,296 %~0%000,823 %000,994 %00,024 %0,597 %0,0002 %
O000000000000000,823 %0
O00000,040 %00000000000
O~0%0000000000,939 %00000
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rh0000000000000000,3983 %
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ß000,307 %0000000000000
T00000000000000,006 %00
þ000000000001,455 %0000
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ú0000,168 %0,207 %0,166 %000000,613 %00,045 %0,098 %~0%
û~0%0,060 %000~0%~0%000000000,0027 %
ü~0%00,995 %0,012 %0,026 %01,854 %00000000,617 %0,0019 %
ű000000000000000,117 %0
ů00000000000000,204 %00
ẃ000000000000000~0%
ẁ000000000000000~0%
ŵ0000000000000000,0326 %
ẅ0000000000000000,0006 %
ỳ000000000000000~0%
ý000~0%00000000,228 %00,995 %0~0%
ŷ000000000000000~0%
ÿ0~0%00000000000000,0005 %
ź000000000,061 %0000000
ż000000000,885 %0000000
ž000000000000~0%0,721 %00

*Siehe İ und punktloses I .

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Häufigkeitsverteilung der 26 häufigsten lateinischen Buchstaben in einigen Sprachen. Alle diese Sprachen verwenden ein ähnliches Alphabet mit mindestens 25 Zeichen.

Basierend auf diesen Tabellen lautet das Äquivalent von ' etaoin shrdlu ' für jede Sprache wie folgt:

  • Französisch: 'esaitn ruoldc'; (Indogermanisch: Romanisch; traditionell wird 'esartinulop' verwendet, unter anderem wegen seiner einfacheren Aussprache [ 36 ] )
  • Spanisch: 'eaosrn idltcm'; (Indogermanisch: Romanisch)
  • Portugiesisch: 'aeosri dmntcu' (Indogermanisch: Romanisch)
  • Italienisch: 'eaionl rtscdu'; (Indogermanisch: Romanisch)
  • Deutsch: 'ensria tdhulg'; (Indogermanisch: Germanisch)
  • Schwedisch: 'eanrts ildomk'; (Indogermanisch: Germanisch)
  • Türkisch: 'aeinrl ıdkmyt'; (Turkisch: Oghuz)
  • Niederländisch: 'enatir odslgv'; (Indogermanisch: Germanisch) [ 30 ]
  • Polnisch: 'aioezn rwstcy'; (Indogermanisch: Slawisch)
  • Dänisch: 'erntai dslogk'; (Indogermanisch: Germanisch)
  • Isländisch: 'arnies tulðgm'; (Indogermanisch: Germanisch)
  • Finnisch: 'aintes loukäm'; (Uralisch: Finnisch)
  • Tschechisch: 'aeonit vsrldk'; (Indogermanisch: Slawisch)
  • Ungarisch: „eatlsn kizroá“; (Uralisch: Ugrisch)
  • Walisisch: 'ayneir odwgldd; (Indogermanisch: Keltisch)

Siehe auch

Erläuterungen

  1. Der amerikanische Morsecode wurde in den 1830er Jahren von Alfred Vail auf Grundlage der Häufigkeit englischer Buchstaben entwickelt, um die häufigsten Buchstaben mit den kürzesten Symbolen zu kodieren. In der heute gebräuchlichen, reformierten Version, dem Internationalen Morsecode, ging jedoch etwas Effizienz verloren.

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Nützliche Tabellen

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