Mathematische Visualisierung

Mathematische Phänomene lassen sich mithilfe von Visualisierung verstehen und erforschen . Klassischerweise bestand dies aus zweidimensionalen Zeichnungen oder dem Bau dreidimensionaler Modelle (insbesondere Gipsmodelle im 19. und frühen 20. Jahrhundert). Heutzutage hingegen werden meist Computer oder Taschenrechner verwendet, um statische zwei- oder dreidimensionale Zeichnungen, Animationen oder interaktive Programme zu erstellen. Die Entwicklung von Software zur Visualisierung mathematischer Phänomene ist ein Teilgebiet der algorithmischen Geometrie .

Mathematische Visualisierung findet in der gesamten Mathematik Anwendung, insbesondere in Geometrie und Analysis . Bekannte Beispiele sind ebene Kurven , Raumkurven , Polyeder , gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen (insbesondere numerische Lösungen, wie in der Fluiddynamik oder bei Minimalflächen wie Seifenfilmen ), konforme Abbildungen , Fraktale und Chaos . Visualisierungen helfen vor allem beim Verständnis eines Problems, und zahlreiche Methoden können angewendet werden, um nahezu alle Bereiche der Mathematik zu visualisieren. Visualisierungen können in der Mathematik nicht als Beweismittel dienen, werden aber häufig verwendet, um Veränderungen und Beweisschritte zu veranschaulichen.

Geometrie lässt sich als die Lehre von Formen, ihrer Größe, Winkeln, Dimensionen und Proportionen definieren. ^{[ 1 ]} Die Visualisierung geometrischer Konzepte, Probleme, Beweise, Ausdrücke usw. ist ein häufiger Bestandteil der Geometrie. Verschiedene Bereiche der Geometrie basieren auf Visualisierung. Insbesondere in der nichteuklidischen Geometrie und anderen Gebieten, in denen mathematische Ansätze nicht intuitiv verständlich sein müssen, ist Visualisierung hilfreich.

Die Visualisierung von Geometrie erfolgte lange Zeit hauptsächlich durch 2D-Zeichnungen von Hand, doch seit den 1960er Jahren haben Fortschritte in der Rechenleistung zur Entwicklung immer leistungsfähigerer geometrischer Rechner und Visualisierer geführt, deren Einsatzgebiete über die Mathematik hinausgehen und in vielen Branchen eine grundlegendere Rolle spielen.

Lineare Algebra ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit linearen Gleichungen, Ungleichungen, linearen Abbildungen usw. befasst. ^{[ 2 ]} Algebraische Konzepte werden meist grafisch dargestellt, wobei Punkte, Geraden, Flächen usw. verschiedene Parameter von Problemen repräsentieren. Grafikrechner können Ausdrücke als Eingabe verarbeiten und deren Funktionen grafisch visualisieren. Desmos ist ein browserbasierter Grafikrechner.

In der komplexen Analysis sind Funktionen der komplexen Ebene von Natur aus vierdimensional, es gibt jedoch keine natürliche geometrische Projektion in niedrigdimensionale visuelle Darstellungen. Stattdessen wird das Farbsehen genutzt, um mithilfe von Techniken wie der Bereichsfärbung Dimensionsinformationen zu erfassen .

Die Chaostheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Verständnis nichtlinearer Systeme und ihrer Anfangsbedingungen befasst; sie untersucht zufälliges und unvorhersehbares Verhalten. Visualisierungen in der Chaostheorie erfolgen hauptsächlich mithilfe von Bifurkationsdiagrammen und Phasendiagrammen . ^{[ 3 ]}

Viele Menschen besitzen eine ausgeprägte Vorstellungskraft für topologische Strukturen und deren Wechselwirkung mit der Welt. Die Unfähigkeit, sich ein klares mentales Bild zu machen, wird als Aphantasie bezeichnet ; manche Menschen hingegen verfügen über eine außergewöhnlich starke Vorstellungskraft, die Hyperphantasie genannt wird . Forscher untersuchen, wie diese beiden Phänomene durch Veränderungen in der neuronalen Verschaltung des Gehirns entstehen.

Die Visualisierung spielte eine wichtige Rolle zu Beginn der topologischen Knotentheorie, als polyedrische Zerlegungen zur Berechnung der Homologie von Überlagerungsräumen von Knoten verwendet wurden. Heegaards Dissertation von 1898 erweiterte die physikalisch unmöglichen Riemannschen Flächen, die zur Klassifizierung aller geschlossenen orientierbaren 2-Mannigfaltigkeiten dienten, auf drei Dimensionen und untersuchte ähnliche Strukturen für Funktionen zweier komplexer Variablen. Dazu betrachtete er eine imaginäre vierdimensionale Fläche im euklidischen 6-Raum (entsprechend der Funktion f = x² - y³) und projizierte sie stereografisch (mit Vielfachheiten) auf die 3-Sphäre. In den 1920er Jahren nutzten Alexander und Briggs diese Technik, um die Homologie zyklischer verzweigter Überlagerungen von Knoten mit maximal acht Kreuzungen zu berechnen und diese erfolgreich voneinander (sowie vom Unknoten) zu unterscheiden. 1932 erweiterte Reidemeister dies auf neun Kreuzungen, indem er die Verknüpfungszahlen zwischen den Verzweigungskurven nicht-zyklischer Knotenüberlagerungen verwendete. Die Tatsache, dass diese imaginären Objekte keine „reale“ Existenz besitzen, steht ihrer Nützlichkeit zum Beweis der Verschiedenheit von Knoten nicht im Wege. Sie war der Schlüssel zu Perkos Entdeckung des Duplikatknotentyps in Littles Tabelle der 10-Kreuzungsknoten von 1899 im Jahr 1973.

Permutationsgruppen bieten anschauliche Visualisierungen ihrer Elemente, die zur Erklärung ihrer Struktur beitragen – beispielsweise die rotierten und gespiegelten regulären p-Ecke, aus denen die Diedergruppe der Ordnung 2p besteht. Sie können verwendet werden, um die Beziehungen zwischen den Verschlingungszahlen von Verzweigungskurven in Diederüberdeckungsräumen von Knoten und Verschlingungen zu visualisieren. ^{[ 5 ]}

Stephen Wolframs Buch über zelluläre Automaten , „A New Kind of Science “ (2002), ist eines der visuellsten Bücher, die im Bereich der Mathematik veröffentlicht wurden. Es wurde dafür kritisiert, dass es zu stark auf Visualisierungen setzt und viele Informationen durch Bilder vermittelt, die keine formale Bedeutung haben. ^{[ 7 ]}

• Beweise ohne Worte gibt es schon seit der Antike, wie beispielsweise der Beweis des Satzes von Pythagoras im chinesischen Text Zhoubi Suanjing, der aus der Zeit von 1046 v. Chr. bis 256 v. Chr. stammt.
• Die Clebsch-Diagonalfläche veranschaulicht die 27 Geraden auf einer kubischen Fläche .

• Die Kugelumkehr – dass eine Kugel in drei Dimensionen umgestülpt werden kann, wenn man sie durch sich selbst hindurchführt, ohne dass dabei Knicke entstehen – war ein verblüffendes und kontraintuitives Ergebnis, das zunächst auf abstraktem Wege bewiesen und später grafisch, zuerst in Zeichnungen, später in Computeranimationen, demonstriert wurde.

Das Titelbild der Zeitschrift „ The Notices of the American Mathematical Society“ zeigt regelmäßig eine mathematische Visualisierung.

• Geometriezentrum
• Mathematisches Diagramm
• Parametrische Oberfläche
• Liste mathematischer Kunstsoftware

• Virtuelles Mathematikmuseum