Nichtmonotone Logik

Eine nicht-monotone Logik ist eine formale Logik, deren Folgerungsrelation nicht monoton ist . Anders ausgedrückt: Nicht-monotone Logiken dienen dazu, widerlegbare Schlussfolgerungen zu erfassen und darzustellen , d. h. eine Art von Schlussfolgerung, bei der die Argumentierenden vorläufige Schlüsse ziehen und diese aufgrund weiterer Erkenntnisse revidieren können. ^{[ 1 ]} Die meisten untersuchten formalen Logiken besitzen eine monotone Folgerungsrelation. Das bedeutet, dass das Hinzufügen einer Formel zu den Hypothesen niemals zu einer Reduzierung der Menge der Schlussfolgerungen führt. Intuitiv bedeutet Monotonie, dass das Erlernen neuen Wissens den Wissensstand nicht verringern kann. Monotone Logiken können verschiedene Denkaufgaben nicht bewältigen, wie zum Beispiel das Schlussfolgern durch Standard (Schlussfolgerungen können nur aufgrund fehlender gegenteiliger Beweise gezogen werden), das abduktive Schließen (Schlussfolgerungen werden nur als wahrscheinlichste Erklärungen abgeleitet), einige wichtige Ansätze des Denkens über Wissen (die Unkenntnis einer Schlussfolgerung muss zurückgenommen werden, wenn die Schlussfolgerung bekannt wird) und in ähnlicher Weise die Glaubensrevision (neues Wissen kann alten Überzeugungen widersprechen).

Abduktives Schließen ist der Prozess, eine hinreichende Erklärung für bekannte Tatsachen abzuleiten. Eine abduktive Logik sollte nicht monoton sein, da die wahrscheinlichen Erklärungen nicht notwendigerweise richtig sind. Beispielsweise ist die wahrscheinliche Erklärung für nasses Gras, dass es geregnet hat; diese Erklärung muss jedoch verworfen werden, wenn man erfährt, dass die tatsächliche Ursache ein Rasensprenger war. Da die ursprüngliche Erklärung (es hat geregnet) aufgrund der neuen Information (der Rasensprenger war in Betrieb) widerlegt wird, ist jede Logik, die Erklärungen modelliert, nicht monoton.

Wenn eine Logik Formeln enthält, die bedeuten, dass etwas unbekannt ist, sollte diese Logik nicht monoton sein. Denn das Erlernen einer zuvor unbekannten Information führt zur Entfernung der Formel, die diese Information als unbekannt spezifiziert. Diese zweite Änderung (eine Entfernung aufgrund einer Hinzufügung) verletzt die Bedingung der Monotonie. Eine Logik zum Schließen über Wissen ist die autoepistemische Logik .

Glaubensrevision ist der Prozess der Veränderung von Überzeugungen, um eine neue, möglicherweise mit den alten unvereinbare Überzeugung zu integrieren. Unter der Annahme, dass die neue Überzeugung korrekt ist, müssen einige der alten Überzeugungen zurückgenommen werden, um die Konsistenz zu wahren. Diese Zurücknahme als Reaktion auf das Hinzufügen einer neuen Überzeugung führt dazu, dass jede Logik der Glaubensrevision nicht-monoton ist. Der Ansatz der Glaubensrevision stellt eine Alternative zu parakonsistenten Logiken dar , die Inkonsistenzen tolerieren, anstatt sie zu beseitigen.

Die beweistheoretische Formalisierung einer nichtmonotonen Logik beginnt mit der Annahme bestimmter nichtmonotoner Schlussregeln und legt dann Kontexte fest, in denen diese Regeln in zulässigen Schlussfolgerungen angewendet werden können. Dies geschieht typischerweise mittels Fixpunktgleichungen, die die Mengen der Prämissen und die Mengen ihrer nichtmonotonen Schlussfolgerungen verknüpfen. Default-Logik und autoepistemische Logik sind die bekanntesten Beispiele für nichtmonotone Logiken, die auf diese Weise formalisiert wurden. ^{[ 2 ]}

Die modelltheoretische Formalisierung einer nicht-monotonen Logik beginnt mit der Einschränkung der Semantik einer geeigneten monotonen Logik auf bestimmte spezielle Modelle, beispielsweise auf Minimalmodelle ^{[ 3 , 4 ].} Anschließend wird ein Satz nicht-monotoner Schlussregeln abgeleitet , gegebenenfalls mit Einschränkungen hinsichtlich der Anwendungskontexte dieser Regeln, sodass das resultierende deduktive System bezüglich der eingeschränkten Semantik korrekt und vollständig ist ^{[ 5 ]} . Im Gegensatz zu einigen beweistheoretischen Formalisierungen, die unter bekannten Paradoxien litten und deren Konsistenz mit den ihnen zugrunde liegenden Intuitionen oft schwer zu überprüfen war, sind modelltheoretische Formalisierungen paradoxfrei und lassen kaum Raum für Unklarheiten darüber ^, welche nicht-monotonen Schlussfolgerungsmuster sie abdecken. Beispiele für beweistheoretische Formalisierungen nichtmonotoner Schlussfolgerungen, die unerwünschte oder paradoxe Eigenschaften offenbarten oder die gewünschten intuitiven Erkenntnisse nicht erfassten, die erfolgreich (konsistent mit den jeweiligen intuitiven Erkenntnissen und ohne paradoxe Eigenschaften) durch modelltheoretische Mittel formalisiert wurden, sind die Zirkumskription erster Stufe , die Annahme ^einer geschlossenen Welt [ ^{5 ]} und die autoepistemische Logik ^{[ 2 ]} .

• Logikprogrammierung
• Negation als Fehlschlag
• Semantik stabiler Modelle
• Beziehung zwischen rationalen Konsequenzen

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• Nichtmonotone Logik bei PhilPapers
• Nichtmonotone Logik im Rahmen des Indiana Philosophy Ontology Project