Nichtnegative Matrix

In der Mathematik ist eine nichtnegative Matrix , geschrieben

${\displaystyle \mathbf {X} \geq 0,}$

ist eine Matrix, in der alle Elemente gleich oder größer als null sind, d.h.

${\displaystyle x_{ij}\geq 0\qquad \forall {i,j}.}$

Eine positive Matrix ist eine Matrix, deren Elemente alle größer als null sind. Die Menge der positiven Matrizen ist das Innere der Menge aller nichtnegativen Matrizen. Obwohl solche Matrizen häufig vorkommen, wird der Begriff „positive Matrix“ aufgrund der möglichen Verwechslung mit positiv definiten Matrizen , die sich davon unterscheiden, nur gelegentlich verwendet. Eine Matrix, die sowohl nichtnegativ als auch positiv semidefinit ist, wird als doppelt nichtnegative Matrix bezeichnet .

Eine rechteckige nichtnegative Matrix kann durch eine Zerlegung in zwei andere nichtnegative Matrizen mittels nichtnegativer Matrixfaktorisierung approximiert werden .

Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer positiver Matrizen werden durch den Satz von Perron-Frobenius beschrieben .

• Die Spur und die Summe/das Produkt jeder Zeile und Spalte einer nichtnegativen Matrix ist nichtnegativ.

Die Inverse einer beliebigen nichtsingulären M-Matrix ist eine nichtnegative Matrix. Ist die nichtsinguläre M-Matrix zudem symmetrisch, so wird sie als Stieltjes-Matrix bezeichnet .

Die Inverse einer nichtnegativen Matrix ist üblicherweise nicht nichtnegativ. Eine Ausnahme bilden nichtnegative Monommatrizen : Eine nichtnegative Matrix besitzt genau dann eine nichtnegative Inverse, wenn sie eine (nichtnegative) Monommatrix ist. Daher ist die Inverse einer positiven Matrix für Dimension n > 1 weder positiv noch nichtnegativ, da positive Matrizen keine Monome sind .

Es gibt eine Reihe von Matrizengruppen, die Spezialisierungen nichtnegativer Matrizen darstellen, z. B. die stochastische Matrix , die doppelt stochastische Matrix und die symmetrische nichtnegative Matrix.

• Metzler-Matrix