Paschens Gesetz

Das Paschen-Gesetz ist eine Gleichung, die die Durchschlagspannung – die Spannung, die zum Zünden einer Entladung oder eines Lichtbogens erforderlich ist – zwischen zwei Elektroden in einem Gas als Funktion des Drucks und des Elektrodenabstands angibt. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Es ist nach Friedrich Paschen benannt , der es 1889 empirisch entdeckte. ^{[ 4 ]}

Paschen untersuchte die Durchschlagspannung verschiedener Gase zwischen parallelen Metallplatten in Abhängigkeit vom Gasdruck und Plattenabstand :

• Bei konstanter Spaltlänge sank die für einen Lichtbogen über den Spalt notwendige Spannung mit abnehmendem Druck und stieg dann allmählich wieder an, bis sie ihren ursprünglichen Wert überschritt.
• Bei konstantem Druck sank die zur Erzeugung eines Lichtbogens benötigte Spannung mit abnehmendem Spaltabstand, jedoch nur bis zu einem gewissen Punkt. Bei weiterer Verringerung des Spaltabstands stieg die zur Erzeugung eines Lichtbogens benötigte Spannung wieder an und überschritt schließlich ihren ursprünglichen Wert.

Bei einem gegebenen Gas ist die Spannung ausschließlich eine Funktion des Produkts aus Druck und Spaltlänge. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Die von ihm ermittelte Kurve der Spannung in Abhängigkeit vom Produkt aus Druck und Spaltlänge (rechts) wird als Paschen-Kurve bezeichnet . Er fand eine Gleichung, die diese Kurven beschreibt; diese ist heute als Paschen-Gesetz bekannt. ^{[ 3 ]}

Bei höheren Drücken und größeren Elektrodenabständen ist die Durchschlagspannung annähernd proportional zum Produkt aus Druck und Elektrodenabstand. Diese vereinfachte Beziehung wird mitunter als Paschen-Gesetz bezeichnet. ^{[ 5 ]} Dies trifft jedoch nur näherungsweise und über einen begrenzten Bereich der Kennlinie zu.

Frühe Experimentatoren im Vakuum beobachteten ein überraschendes Verhalten. Der Lichtbogen bildete sich mitunter auf einem langen, unregelmäßigen Pfad anstatt im minimalen Elektrodenabstand. Beispielsweise beträgt in Luft bei einem Druck von einer Atmosphäre der Abstand für die minimale Durchschlagspannung etwa 7,5 μm. Die für einen Lichtbogen über diese Distanz benötigte Spannung beträgt 327 V, was für größere oder kleinere Abstände nicht ausreicht. Bei einem Abstand von 3,5 μm beträgt die benötigte Spannung 533 V, also fast das Doppelte. Würde man 500 V anlegen, wäre dies für einen Lichtbogen bei einem Abstand von 2,85 μm nicht ausreichend, wohl aber bei 7,5 μm.

Paschen stellte fest, dass die Durchbruchspannung durch die Gleichung ^{[ 1 ] beschrieben wird.}

${\displaystyle V_{\text{B}}={\frac {Bpd}{\ln(Apd)-\ln \left[\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma _{\text{se}}}}\right)\right]}}}$

Dabei ist die Durchbruchspannung in Volt , der Druck in Pascal , der Elektrodenabstand in Metern , der Sekundärelektronenemissionskoeffizient (die Anzahl der Sekundärelektronen, die pro einfallendem positiven Ion erzeugt werden), die Sättigungsionisation im Gas bei einem bestimmten ( elektrischen Feld /Druck) und steht in Zusammenhang mit der Anregungs- und Ionisationsenergie. ${\displaystyle V_{\text{B}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \gamma _{\text{se}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle B}$

Die Konstanten interpolieren den ersten Townsend-Koeffizienten . Sie werden experimentell bestimmt und sind für jedes Gas in einem begrenzten Bereich annähernd konstant. Beispielsweise gilt für Luft mit einem Wert im Bereich von 450 bis 7500 V/(kPa·cm):  = 112,50 (kPa·cm) ^⁻¹ und = 2737,50 V/(kPa·cm). ^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha =Ape^{-Bp/E}}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle E/p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Der Graph dieser Gleichung ist die Paschen-Kurve. Durch Differenzieren nach und Nullsetzen der Ableitung lässt sich die minimale Spannung ermitteln. Dies ergibt ${\displaystyle pd}$

${\displaystyle pd={\frac {e\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{{\mathit {\gamma }}_{se}}}\right)}{A}}}$

und sagt das Auftreten einer minimalen Durchbruchspannung für  = 7,5×10 ⁻⁶  m·atm voraus. Dies entspricht 327 V in Luft bei Standardatmosphärendruck und einem Abstand von 7,5 μm. ${\displaystyle pd}$

Die Zusammensetzung des Gases bestimmt sowohl die minimale Lichtbogenspannung als auch den Abstand, in dem sie auftritt. Bei Argon beträgt die minimale Lichtbogenspannung 137 V bei einem größeren Abstand von 12 μm. Bei Schwefeldioxid beträgt die minimale Lichtbogenspannung 457 V bei nur 4,4 μm.

Bei Standardbedingungen für Temperatur und Druck (STP) beträgt die Spannung, die zum Überspringen eines Lichtbogens über eine Strecke von 1 Meter benötigt wird, etwa 3,4 MV. ^{[ 7 ]} Die elektrische Feldstärke für diese Strecke beträgt daher 3,4 MV/m.

Das für einen Lichtbogen über die minimale Spannungsstrecke benötigte elektrische Feld ist wesentlich größer als das für einen Lichtbogen über eine Strecke von einem Meter. Bei großen Strecken (oder großen Potenzialdifferenzen) ist das Paschen-Gesetz bekanntermaßen nicht mehr gültig. Für große Strecken wird üblicherweise das Meek-Kriterium für den Durchschlag verwendet. ^{[ 8 ]} Es berücksichtigt die Inhomogenität des elektrischen Feldes und die Bildung von Streamern aufgrund der Ladungsansammlung innerhalb der Strecke, die über große Entfernungen auftreten kann. Für eine Strecke von 7,5 μm beträgt die Lichtbogenspannung 327 V, was 43 MV/m entspricht. Dies ist etwa 14-mal größer als die Feldstärke für die 1,5 Meter lange Strecke. Das Phänomen ist experimentell gut belegt und wird als Paschen-Minimum bezeichnet.

Die Gleichung verliert bei Spaltbreiten unter etwa 10 μm in Luft bei Normaldruck ^{[ 9 ]} an Genauigkeit und sagt fälschlicherweise eine unendliche Lichtbogenspannung bei einer Spaltbreite von etwa 2,7 μm voraus. Die Durchschlagspannung kann auch bei sehr kleinen Elektrodenabständen von der Vorhersage der Paschen-Kurve abweichen, wenn die Feldemission von der Kathodenoberfläche relevant wird.

Die mittlere freie Weglänge eines Moleküls in einem Gas ist der mittlere Abstand zwischen seinen Kollisionen mit anderen Molekülen. Bei konstanter Temperatur ist sie umgekehrt proportional zum Gasdruck. In Luft unter Normalbedingungen (STP) beträgt die mittlere freie Weglänge von Molekülen etwa 96 nm. Da Elektronen wesentlich kleiner sind, ist ihr mittlerer Abstand zwischen Kollisionen mit Molekülen etwa 5,6-mal größer, also etwa 0,5 μm. Dies entspricht einem erheblichen Anteil des Elektrodenabstands von 7,5 μm, der für eine minimale Lichtbogenspannung erforderlich ist. Befindet sich das Elektron in einem elektrischen Feld von 43 MV/m, wird es beschleunigt und nimmt  auf einer Strecke von 0,5 μm in Feldrichtung eine Energie von 21,5 eV auf. Die erste Ionisierungsenergie, die benötigt wird, um ein Elektron aus einem Stickstoffmolekül herauszulösen, beträgt etwa 15,6 eV. Das beschleunigte Elektron erhält mehr als genug Energie, um ein Stickstoffmolekül zu ionisieren. Dieses freigesetzte Elektron wird wiederum beschleunigt, was zu einer weiteren Kollision führt. Eine Kettenreaktion führt dann zum Lawinenzusammenbruch , und durch die Kaskade freigesetzter Elektronen entsteht ein Lichtbogen. ^{[ 10 ]}

In einem Gas mit höherem Druck kommt es zwischen den Elektroden zu mehr Kollisionen des Elektrons. Bei einem hohen Druck-Luftspalt-Produkt kollidiert das Elektron auf seinem Weg von der Kathode zur Anode mit vielen verschiedenen Gasmolekülen. Jede dieser Kollisionen verändert die Flugrichtung des Elektrons, sodass es nicht immer vom elektrischen Feld beschleunigt wird – manchmal bewegt es sich zurück zur Kathode und wird dort abgebremst. ${\displaystyle pd}$

Kollisionen verringern die Energie der Elektronen und erschweren die Ionisierung von Molekülen. Energieverluste durch eine größere Anzahl von Kollisionen erfordern höhere Spannungen, damit die Elektronen genügend Energie aufnehmen können, um viele Gasmoleküle zu ionisieren, was für einen Lawinendurchbruch notwendig ist .

Links vom Paschen-Minimum ist das Produkt klein. Die mittlere freie Weglänge der Elektronen kann im Vergleich zum Elektrodenabstand groß werden. In diesem Fall können die Elektronen zwar große Energiemengen aufnehmen, erfahren aber weniger ionisierende Stöße. Daher ist eine höhere Spannung erforderlich, um genügend Gasmoleküle zu ionisieren und so eine Lawine auszulösen. ${\displaystyle pd}$

Zur Berechnung der Durchbruchspannung wird ein homogenes elektrisches Feld angenommen. Dies ist bei einem Plattenkondensator der Fall . Die Elektroden haben beispielsweise den Abstand . Die Kathode befindet sich am Punkt . ${\displaystyle d}$${\displaystyle x=0}$

Um Stoßionisation zu erreichen , muss die Elektronenenergie größer sein als die Ionisierungsenergie der Gasatome zwischen den Platten. Pro Weglänge findet eine bestimmte Anzahl von Ionisationen statt. ist als erster Townsend-Koeffizient bekannt, da er von Townsend eingeführt wurde. ^{[ 11 ]} Die Zunahme des Elektronenstroms kann für die angenommene Anordnung wie folgt beschrieben werden: ${\displaystyle E_{e}}$${\displaystyle E_{\text{I}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Gamma _{e}}$

${\displaystyle \Gamma _{e}(x=d)=\Gamma _{e}(x=0)\,e^{\alpha d}.}$

1

(Die Anzahl der freien Elektronen an der Anode entspricht also der Anzahl der freien Elektronen an der Kathode, die durch Stoßionisation multipliziert wurde. Je größer und/oder , desto mehr freie Elektronen werden erzeugt.) ${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha }$

Die Anzahl der erzeugten Elektronen beträgt

${\displaystyle \Gamma _{e}(d)-\Gamma _{e}(0)=\Gamma _{e}(0)\left(e^{\alpha d}-1\right).}$

2

Vernachlässigt man mögliche Mehrfachionisationen desselben Atoms, so ist die Anzahl der erzeugten Ionen gleich der Anzahl der erzeugten Elektronen:

${\displaystyle \Gamma _{i}(0)-\Gamma _{i}(d)=\Gamma _{e}(0)\left(e^{\alpha d}-1\right).}$

3

${\displaystyle \Gamma _{i}}$ist der Ionenstrom. Um die Entladung aufrechtzuerhalten, müssen an der Kathodenoberfläche freie Elektronen erzeugt werden. Dies ist möglich, da die auf die Kathode auftreffenden Ionen beim Aufprall Sekundärelektronen freisetzen. (Bei sehr hohen angelegten Spannungen kann auch Feldemission auftreten.) Ohne Feldemission können wir schreiben:

${\displaystyle \Gamma _{e}(0)=\gamma \Gamma _{i}(0),}$

4

Dabei ist die mittlere Anzahl der erzeugten Sekundärelektronen pro Ion. Dies ist auch als zweiter Townsend-Koeffizient bekannt. Unter der Annahme, dass , erhält man die Beziehung zwischen den Townsend-Koeffizienten, indem man ( 4 ) in ( 3 ) einsetzt und umformt: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma _{i}(d)=0}$

${\displaystyle \alpha d=\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma }}\right).}$

5

Wie hoch ist die Ionisierungsrate ? Die Ionisierungsrate hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, dass ein Elektron auf ein Gasmolekül trifft. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Verhältnis der Querschnittsfläche einer Kollision zwischen Elektron und Ion zur Gesamtfläche, die dem Elektron zum Durchfliegen zur Verfügung steht. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle P={\frac {N\sigma }{A}}={\frac {x}{\lambda }}}$

6

Wie der zweite Teil der Gleichung ausdrückt, ist es auch möglich, die Wahrscheinlichkeit als Verhältnis der vom Elektron zurückgelegten Strecke zur mittleren freien Weglänge (Abstand, bei dem eine weitere Kollision erfolgt) auszudrücken. ${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle N}$Die Anzahl der Moleküle, die von Elektronen getroffen werden können, wird als λ bezeichnet. Sie lässt sich mithilfe der Zustandsgleichung des idealen Gases berechnen.

${\displaystyle pV=Nk_{B}T}$

7

( : Druck, : Volumen, : Boltzmann-Konstante , : Temperatur)${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$

Die nebenstehende Skizze veranschaulicht dies . Da der Radius eines Elektrons im Vergleich zum Radius eines Ions vernachlässigbar ist, vereinfacht sich die Gleichung zu . Setzt man diese Beziehung ein, so erhält man durch Einsetzen von ( 7 ) in ( 6 ) und anschließende Umformung .${\displaystyle \sigma =\pi (r_{a}+r_{b})^{2}}$${\displaystyle r_{I}}$${\displaystyle \sigma =\pi r_{I}^{2}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ={\frac {k_{B}T}{p\pi r_{I}^{2}}}={\frac {1}{L\cdot p}}}$

8

wobei der Faktor nur zur besseren Übersicht eingeführt wurde. ${\displaystyle L}$

Die Änderung des Stroms noch nicht kollidierter Elektronen an jedem Punkt des Pfades kann wie folgt ausgedrückt werden: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma _{e}(x)=-\Gamma _{e}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\lambda _{e}}}}$

9

Diese Differentialgleichung lässt sich leicht lösen:

${\displaystyle \Gamma _{e}(x)=\Gamma _{e}(0)\,\exp {\left(-{\frac {x}{\lambda _{e}}}\right)}}$

10

Die Wahrscheinlichkeit, dass (dass es an dem Punkt noch keine Kollision gegeben hat ), beträgt ${\displaystyle \lambda >x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(\lambda >x)={\frac {\Gamma _{e}(x)}{\Gamma _{e}(0)}}=\exp {\left(-{\frac {x}{\lambda _{e}}}\right)}}$

11

Gemäß seiner Definition ist es die Anzahl der Ionisationen pro Weglänge und somit das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit, dass es in der mittleren freien Weglänge der Ionen zu keiner Kollision kam, zur mittleren freien Weglänge der Elektronen: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {P(\lambda >\lambda _{I})}{\lambda _{e}}}={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {\lambda _{I}}{\lambda _{e}}}\right)={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {E_{I}}{E_{e}}}\right)}$

12

Hierbei wurde berücksichtigt, dass die Energie , die ein geladenes Teilchen zwischen zwei Stößen aufnehmen kann, von der elektrischen Feldstärke und der Ladung abhängt : ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle E=\lambda Q{\mathcal {E}}}$

13

Für den Plattenkondensator gilt , wobei die angelegte Spannung ist. Da eine einfache Ionisation angenommen wurde, ist die Elementarladung . Wir können nun ( 13 ) und ( 8 ) in ( 12 ) einsetzen und erhalten ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {U}{d}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle \alpha =L\cdot p\,\exp \left(-{\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{eU}}\right)}$

14

Setzt man dies in (5) ein und transformiert es um, erhält man das Paschen-Gesetz für die Durchbruchspannung , das zuerst von Paschen in ^{[ 4 ]} untersucht wurde und dessen Formel zuerst von Townsend in ^{[ 12 ] abgeleitet wurde.}${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{\mathrm {breakdown} }}$

${\displaystyle U_{\text{breakdown}}={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\left(\ln(L\cdot p\cdot d)-\ln \left(\ln \left(1+\gamma ^{-1}\right)\right)\right)}}\qquad \qquad (15)}$

15

mit${\textstyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{B}T}}}$

Die Plasmazündung im Sinne der Townsend-Definition ( Townsend-Entladung ) ist eine selbsterhaltende Entladung, die unabhängig von einer externen Quelle freier Elektronen ist. Das bedeutet, dass Elektronen von der Kathode die Anode erreichen und dabei mindestens ein Atom ionisieren können. Gemäß der Definition muss daher folgende Beziehung erfüllt sein: ${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha d\geq 1}$

16

Wird anstelle von ( 5 ) verwendet, erhält man für die Durchbruchspannung ${\displaystyle \alpha d=1}$

${\displaystyle U_{\mathrm {breakdown\,Townsend} }={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{I}}{e\cdot \ln(L\cdot p\cdot d)}}={\frac {d\cdot E_{I}}{e\cdot \lambda _{e}\,\ln \left({\frac {d}{\lambda _{e}}}\right)}}}$

17

Das Paschen-Gesetz verlangt Folgendes:

• An der Kathode befinden sich bereits freie Elektronen ( ), die beschleunigt werden können, um Stoßionisation auszulösen. Solche sogenannten Startelektronen können durch Ionisation mittels natürlicher Radioaktivität oder kosmischer Strahlung erzeugt werden.${\displaystyle \Gamma _{e}(x=0)\neq 0}$
• Die Erzeugung weiterer freier Elektronen erfolgt ausschließlich durch Stoßionisation. Daher ist das Paschen-Gesetz bei Vorhandensein externer Elektronenquellen nicht gültig. Dies kann beispielsweise eine Lichtquelle sein, die durch den photoelektrischen Effekt Sekundärelektronen erzeugt . Dies muss in Experimenten berücksichtigt werden.
• Jedes ionisierte Atom führt zu nur einem freien Elektron. In der Praxis treten jedoch stets Mehrfachionisationen auf.
• Durch die auftreffenden Ionen entstehen freie Elektronen an der Kathodenoberfläche. Das Problem besteht darin, dass die Anzahl der so erzeugten Elektronen stark vom Kathodenmaterial, seiner Oberfläche ( Rauheit , Verunreinigungen) und den Umgebungsbedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit usw.) abhängt. Eine experimentelle, reproduzierbare Bestimmung dieses Faktors ist daher nahezu unmöglich.${\displaystyle \gamma }$
• Das elektrische Feld ist homogen.

Verschiedene Gase weisen unterschiedliche mittlere freie Weglängen für Moleküle und Elektronen auf. Dies liegt daran, dass verschiedene Moleküle unterschiedliche Ionisierungsquerschnitte, also unterschiedliche effektive Durchmesser, besitzen. Edelgase wie Helium und Argon sind einatomig , wodurch sie schwerer zu ionisieren sind und tendenziell kleinere effektive Durchmesser aufweisen. Dies führt zu größeren mittleren freien Weglängen.

Die Ionisationspotentiale unterscheiden sich zwischen Molekülen, ebenso wie die Geschwindigkeit, mit der sie Elektronen wieder einfangen, nachdem diese aus ihrer Umlaufbahn herausgeschlagen wurden. Alle drei Effekte beeinflussen die Anzahl der Kollisionen, die für ein exponentielles Wachstum der freien Elektronen erforderlich sind. Diese freien Elektronen sind notwendig, um einen Lichtbogen zu erzeugen.

• Durchschlagsfestigkeit

• Elektrische Durchschlagsfestigkeitsgrenzen für MEMS (Archiviert am 27.09.2011 im Internet Archive)
• Handbuch für Hochspannungsexperimentatoren ( Archiviert am 16.10.2011 im Internet Archive)
• Paschen-Gesetz-Rechner
• Durchschlagspannung vs. Druck (Internetarchiv, 16.04.2023)
• Elektrischer Durchschlag von Niederdruckgasen
• Elektrische Entladungen
• Druckabhängigkeit der Plasmastruktur beim Mikrowellen-Gasdurchschlag bei 110 GHz