Pro-Unit-System

In der Netzanalyse der Elektrotechnik bezeichnet man als Per-Unit-System die Angabe von Systemgrößen als Bruchteile einer definierten Basiseinheit. Berechnungen werden vereinfacht, da sich die als Per-Unit ausgedrückten Größen nicht ändern, wenn sie von einer Seite eines Transformators auf die andere übertragen werden. Dies ist insbesondere bei Netzanalysen mit einer großen Anzahl von Transformatoren von großem Vorteil. Darüber hinaus liegen die Impedanzen ähnlicher Geräte, ausgedrückt als Per-Unit-Bruchteil der Nennleistung, in einem engen numerischen Bereich, selbst wenn die Gerätegröße stark variiert. Die Umrechnung von Per-Unit-Größen in Volt, Ohm oder Ampere erfordert die Kenntnis der Basiseinheit, auf die sich die Per-Unit-Größen beziehen. Das Per-Unit-System wird unter anderem für Lastflussberechnungen , Kurzschlussanalysen und Anlaufstudien von Motoren verwendet.

Die Grundidee eines Systems mit relativen Einheiten besteht darin, große Unterschiede in den Absolutwerten in Basisbeziehungen zu überführen. Dadurch werden die Darstellungen der Elemente im System mit relativen Einheitenwerten einheitlicher.

Ein Per-Unit-System stellt Einheiten für Leistung , Spannung , Strom , Impedanz und Admittanz bereit . Mit Ausnahme von Impedanz und Admittanz sind je zwei Einheiten unabhängig und können als Basiswerte gewählt werden; typischerweise werden Leistung und Spannung gewählt. Alle Größen werden als Vielfache der gewählten Basiswerte angegeben. Beispielsweise könnte die Basisleistung die Nennleistung eines Transformators sein oder eine willkürlich gewählte Leistung, die die Berechnung der Leistungsgrößen im System vereinfacht. Die Basisspannung könnte die Nennspannung eines Sammelschienensystems sein . Unterschiedliche Größenarten werden mit demselben Symbol ( pu ) gekennzeichnet; es sollte eindeutig sein, ob es sich um eine Spannung, einen Strom oder eine andere Maßeinheit handelt.

Es gibt mehrere Gründe für die Verwendung eines pro Einheit berechneten Systems:

• Ähnliche Geräte (Generatoren, Transformatoren, Leitungen) weisen unabhängig von ihrer absoluten Größe ähnliche relative Impedanzen und Verluste auf, die auf ihre Nennleistung bezogen sind. Daher lassen sich relative Daten schnell auf grobe Fehler überprüfen. Ein relativer Wert außerhalb des normalen Bereichs sollte auf mögliche Fehler untersucht werden.
• Die Hersteller geben die Impedanz von Geräten üblicherweise in relativen Einheiten an.
• Die Verwendung der Konstante wird bei Dreiphasenberechnungen reduziert.${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3}}}$
• Die relativen Größen sind auf beiden Seiten eines Transformators gleich, unabhängig vom Spannungspegel.
• Durch die Normalisierung der Größen auf eine gemeinsame Basis werden sowohl manuelle als auch automatische Berechnungen vereinfacht.
• Es verbessert die numerische Stabilität automatischer Berechnungsverfahren.
• Die Darstellung von Daten pro Einheit liefert wichtige Informationen über relative Größenordnungen.

Das Per-Unit-System wurde entwickelt, um die manuelle Analyse von Stromversorgungssystemen zu vereinfachen. Obwohl die Analyse von Stromversorgungssystemen heute computergestützt erfolgt, werden die Ergebnisse häufig als Per-Unit-Werte auf einer praktischen, systemweiten Basis angegeben.

Im Allgemeinen werden Basiswerte für Leistung und Spannung gewählt. Die Basisleistung kann die Nennleistung eines einzelnen Geräts wie eines Motors oder Generators sein. Bei der Untersuchung eines Systems wird die Basisleistung üblicherweise als gerundeter Wert wie 10 MVA oder 100 MVA gewählt. Die Basisspannung entspricht der Nennspannung des Systems. Alle anderen Basisgrößen werden von diesen beiden Basisgrößen abgeleitet. Sobald Basisleistung und Basisspannung festgelegt sind, werden Basisstrom und Basisimpedanz anhand der Gesetze elektrischer Schaltungen bestimmt. Der Basiswert ist lediglich ein Betrag, während der relative Wert ein Zeiger ist. Die Phasenwinkel von komplexer Leistung, Spannung, Strom, Impedanz usw. bleiben durch die Umrechnung in relative Werte unverändert.

Der Zweck der Verwendung eines relativen Einheitensystems (Per-Unit-System) besteht darin, die Umrechnung zwischen verschiedenen Transformatoren zu vereinfachen. Daher ist es sinnvoll, die Schritte zur Ermittlung relativer Einheitenwerte für Spannung und Impedanz zu veranschaulichen. Zunächst wird die Basisleistung ( S _{_Basis} ) an beiden Enden eines Transformators gleichgesetzt. Sobald alle S auf denselben Wert festgelegt sind, lassen sich Basisspannung und Basisimpedanz für jeden Transformator leicht bestimmen. Anschließend können die realen Werte für Impedanz und Spannung in die Berechnungsformel für das Per-Unit-System eingesetzt werden, um die Ergebnisse für das Per-Unit-System zu erhalten. Sind die relativen Einheitenwerte bekannt, lassen sich die realen Werte durch Multiplikation mit den Basiswerten berechnen.

Konventionsgemäß gelten für Basisgrößen die folgenden zwei Regeln:

• Der Grundleistungswert ist für das gesamte betrachtete Stromversorgungssystem gleich.
• Das Verhältnis der Spannungsbasen auf beiden Seiten eines Transformators wird so gewählt, dass es dem Verhältnis der Nennspannungen des Transformators entspricht.

Mit diesen beiden Regeln bleibt die relative Impedanz unverändert, wenn sie von einer Seite eines Transformators auf die andere bezogen wird. Dadurch kann der ideale Transformator aus einem Transformatormodell entfernt werden.

Das Verhältnis der Einheiten in einem pro-Einheit-System hängt davon ab, ob es sich um ein einphasiges oder dreiphasiges System handelt .

Unter der Annahme, dass die unabhängigen Basisgrößen Leistung und Spannung sind, gilt:

${\displaystyle P_{\text{base}}=1{\text{ pu}}}$

${\displaystyle V_{\text{base}}=1{\text{ pu}}}$

Alternativ kann der Basiswert für die Leistung auch als Blindleistung oder Scheinleistung angegeben werden ; in diesem Fall gilt jeweils:

${\displaystyle Q_{\text{base}}=1{\text{ pu}}}$

oder

${\displaystyle S_{\text{base}}=1{\text{ pu}}}$

Die übrigen Einheiten lassen sich aus Leistung und Spannung mithilfe der Gleichungen , , und ( Ohmsches Gesetz ) ableiten und werden durch dargestellt . Wir haben: ${\displaystyle S=IV}$${\displaystyle P=S\cos(\phi )}$${\displaystyle Q=S\sin(\phi )}$${\displaystyle {\underline {V}}={\underline {I}}{\underline {Z}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\underline {Z}}=R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )}$

${\displaystyle I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}}$

${\displaystyle Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}}$

${\displaystyle Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}}$

Leistung und Spannung werden wie in Einphasensystemen angegeben. Aufgrund der unterschiedlichen Bedeutungen dieser Größen in Dreiphasensystemen unterscheiden sich jedoch die Beziehungen für die abgeleiteten Einheiten. Konkret wird die Leistung als Gesamtleistung (nicht pro Phase) und die Spannung als Leiterspannung angegeben. In Dreiphasensystemen gelten die Gleichungen ebenfalls . Die Scheinleistung entspricht nun …${\displaystyle P=S\cos(\phi )}$${\displaystyle Q=S\sin(\phi )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text{base}}}$

${\displaystyle I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}}$

${\displaystyle Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}}$

${\displaystyle Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}}$

Um die Verwendung der relativen Einheit zu veranschaulichen, betrachten wir ein dreiphasiges Energieübertragungssystem, das Leistungen in der Größenordnung von 500 MW überträgt und eine Nennspannung von 138 kV verwendet. Wir wählen willkürlich und verwenden die Nennspannung von 138 kV als Basisspannung . Daraus ergibt sich: ${\displaystyle S_{\mathrm {Basis} }=500\,\mathrm {MVA} }$${\displaystyle V_{\mathrm {base} }}$

${\displaystyle I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=2.09\,\mathrm {kA} }$

${\displaystyle Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=38.1\,\Omega }$

${\displaystyle Y_{\mathrm {Basis} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {Basis} }}}=26,3\,\mathrm {mS} }$

Wenn beispielsweise die tatsächliche Spannung an einem der Busse mit 136 kV gemessen wird, ergibt sich Folgendes:

${\displaystyle V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {Basis} }}}={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0,9855\,\mathrm {pu} }$

Die folgende Tabelle mit Formeln für das System pro Einheit ist dem Beeman's Industrial Power Systems Handbook entnommen .

Gleichung
Basisnummernauswahl
	Man wählt willkürlich die beiden Basiswerte aus dem Ohmschen Gesetz: Basisspannung und Basisstrom.
1	$Wir haben Z = (E/I)$
2	${\displaystyle {\text{Basiswiderstand in Ohm}}={\frac {\text{Basisspannung}}{\text{Basisstrom in Ampere}}}}$
3	${\displaystyle {\text{Per-unit volt}}={\frac {\text{volt}}{\text{base volt}}}}$
4	${\displaystyle {\text{Ampere pro Einheit}}={\frac {\text{Ampere}}{\text{Basisampere}}}}$
5	${\displaystyle {\text{Pro-Unit ohms}}={\frac {\text{ohms}}{\text{base ohms}}}}$
	Alternativ, bei Wahl von Basisvolt- und BasiskVA-Werten, erhalten wir:
	in einphasigen Systemen:
6	${\displaystyle {\text{Basisampere }}={\frac {{\text{BasiskVA}}\cdot 1000}{\text{Basisvolt}}}}$
7	${\displaystyle {\text{Basis Ampere }}={\frac {\text{Basis kVA}}{{\text{Basis kV}}_{LL}}}}$
8	${\displaystyle {\text{Basiswiderstand in Ohm }}={\frac {\text{Basisspannung}}{\text{Basisstrom in Ampere}}}}$
	und in Dreiphasensystemen:
9	${\displaystyle {\text{Base amperes }}={\frac {{\text{base kva}}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base volts}}}}}$
10	${\displaystyle {\text{Base amperes }}={\frac {\text{base kva}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base kv}}_{L-L}}}}$
11	${\displaystyle {\text{Base ohms }}={\frac {\text{base volts}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base amperes}}}}}$
	Um die Berechnung des Widerstands pro Ohm-Einheit zu vereinfachen, haben wir Folgendes:
	für Einphasen- und Dreiphasensysteme:
12	${\displaystyle {\text{Base ohms }}={\frac {{\text{ohms}}\cdot {\text{base kva}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}}$
Kurzschlussberechnungsformeln
	Ohm-Umrechnungen:
13	${\displaystyle {\text{Per-unit ohms reactance}}={\frac {{\text{ohms reactance}}\cdot {\text{kva base}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}}$
14	${\displaystyle {\text{Ohms reactance}}={\frac {\%{\text{ reactance}}\cdot kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{kva base}}}}$
15	${\displaystyle {\text{Per-unit ohms reactance}}={\frac {\text{per cent ohms reactance}}{100}}}$
	Änderung des Ohm-Werts von einer kVA-Basis auf eine andere:
16	${\displaystyle \%{\text{ ohms reactance on kva base}}_{2}={\frac {{\text{kva base}}_{2}}{{\text{kva base}}_{1}}}\cdot \%{\text{ ohms reactance on base}}_{1}}$
17	${\displaystyle {\text{0/1 ohms reactance on kva base}}_{2}={\frac {{\text{kva base}}_{2}}{{\text{kva base}}_{1}}}\cdot 0/1{\text{ ohms reactance on base}}_{1}}$
	Änderung der eingehenden Systemreaktanz:
	a. Wenn die Systemreaktanz in Prozent angegeben ist, verwenden Sie Gl. 16, um von einer kVA-Basis in eine andere umzurechnen.
	b. Wenn die Systemreaktanz in symmetrischer Kurzschluss-Effektivleistung (kVA) oder als Kurzschlussstrom angegeben ist, rechnen Sie wie folgt in relativen Einheiten um:
18	${\displaystyle {\text{0/1 reactance}}={\frac {\text{kva base used in reactance in studied calculation}}{\text{system short-circuit kva}}}}$
19	${\displaystyle {\text{0/1 reactance}}={\frac {\text{kva base used in reactance in studied calculation}}{{\text{system short-circuit current}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{system kv}}_{L-L}}}}$
	Berechnung der ungefähren kVA-Basis des Motors:
	a. Für Induktionsmotoren und Synchronmotoren mit einem Leistungsfaktor von 0,8
20	${\displaystyle {\text{kva base}}\approx {\text{ horsepower rating}}}$
	b. Für Synchronmotoren mit einem Leistungsfaktor von eins
21	${\displaystyle {\text{kva base}}0.8\cdot \approx {\text{horsepower rating}}}$
	Umrechnung von Ohm von einer Spannung in eine andere:
22	${\displaystyle {\text{Ohms on basis of voltage}}_{1}=\left({\frac {{\text{voltage}}_{1}}{{\text{voltage}}_{2}}}\right)^{2}\cdot {\text{ohms on basis of voltage}}_{2}}$
	Kurzschluss-kVA- und Stromberechnungen
	Symmetrische Kurzschlussleistung (kVA):
23	${\displaystyle =100\cdot {\frac {\text{kva base}}{\%{\text{ X}}}}}$
24	${\displaystyle ={\frac {\text{kva base}}{\text{0/1 X}}}}$
25	${\displaystyle =3\cdot {\frac {{\text{Voltage}}_{L-N}^{2}}{{\text{ohms reactance}}\cdot 1000}}}$
26	${\displaystyle ={\frac {{\text{kv}}_{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{ohms reactance}}}}$
	Symmetrischer Kurzschlussstrom:
27	${\displaystyle =100\cdot {\frac {\text{kva base}}{\%{\text{ X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}_{L-L}}}}$
28	${\displaystyle ={\frac {\text{kva base}}{{\text{0/1 X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}_{L-L}}}}$
29	${\displaystyle ={\frac {{\text{kv}}_{L-L}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{ohms reactance}}}}}$
	Asymmetrischer Kurzschlussstrom und kVA:
30	${\displaystyle {\text{Asymmetrical short-circuit current = symmetrical current}}\cdot {\text{X/R factor}}}$
31	${\displaystyle {\text{Asymmetrical short-circuit kva = symmetrical kva}}\cdot {\text{X/R factor}}}$

Es lässt sich zeigen, dass Spannungen, Ströme und Impedanzen in einem System mit relativen Einheiten dieselben Werte aufweisen, unabhängig davon, ob sie sich auf die Primär- oder Sekundärseite eines Transformators beziehen . ^{[ 1 ] : 85}

Beispielsweise lässt sich für die Spannung beweisen, dass die relativen Spannungen der beiden Seiten des Transformators, Seite 1 und Seite 2, gleich sind. Hierbei betragen die relativen Spannungen der beiden Seiten E _{_1pu} bzw. E _{_2pu}.

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}}$

(Quelle: Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley)

E₁ _und E₂ sind die Spannungen an Seite 1 bzw. Seite 2 in Volt. N₁ _ist die Windungszahl der Spule auf Seite 1. _N₂ ist die Windungszahl der Spule auf Seite 2. V _{_Basis1} und V _{_Basis2 sind} die Basisspannungen an Seite 1 bzw. Seite 2.

${\displaystyle V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}$

Für den Strom können wir unten beweisen, dass die relativen Ströme der beiden Seiten gleich sind.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}}$

(Quelle: Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley)

wobei I₁ _,pu und I₂ _,pu die relativen Ströme der Seiten 1 bzw. 2 sind. Dabei verhalten sich die Basisströme I _{_Basis1} und I _{_Basis2} umgekehrt zueinander wie V _{_Basis1} und V _{_Basis2}.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}}$

Der Grund für diese Beziehung liegt in der Energieeinsparung.

S _{Basis 1} = S _{Basis 2}

Die Kupferverluste eines Transformators bei Volllast entsprechen, ausgedrückt in relativen Einheiten, dem relativen Wert seines Widerstands:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load copper loss}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}}$

Daher kann es sinnvoller sein, den Widerstand in relativen Einheiten anzugeben, da dies auch den Kupferverlust bei Volllast darstellt. ^{[ 1 ] : 86}

Wie bereits erwähnt, bietet das Per-Unit-System zwei Freiheitsgrade, die es dem Ingenieur ermöglichen, jedes beliebige Per-Unit-System zu spezifizieren. Diese Freiheitsgrade sind die Wahl der Basisspannung ( V _{_Basis} ) und der Basisleistung ( S _{_Basis} ). Üblicherweise wird für beide Seiten des Transformators eine einheitliche Basisleistung ( S _{_Basis}) gewählt, deren Wert der Nennleistung des Transformators entspricht. Tatsächlich werden üblicherweise zwei verschiedene Basisspannungen gewählt, V _{_Basis1} und V _{_Basis2} , die jeweils der Nennspannung der entsprechenden Transformatorseite entsprechen. Durch die Wahl der Basisgrößen auf diese Weise kann der Transformator, wie oben beschrieben, effektiv aus dem Stromkreis entfernt werden. Zum Beispiel:

Betrachten wir einen Transformator mit einer Nennleistung von 10 kVA und einer Nennspannung von 240/100 V. Die Sekundärseite hat eine Impedanz von 1∠0° Ω. Die Basisimpedanz auf der Sekundärseite beträgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}}$

Das bedeutet, dass die Impedanz pro Einheit auf der Sekundärseite 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu beträgt. Bezieht man diese Impedanz auf die andere Seite, ergibt sich folgende Impedanz:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}}$

Die Basisimpedanz der Primärseite wird auf die gleiche Weise berechnet wie die der Sekundärseite:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}}$

Dies bedeutet, dass die Impedanz pro Einheit 5,76∠0° Ω / 5,76 Ω = 1∠0° pu beträgt, was dem Wert entspricht, der von der anderen Seite des Transformators berechnet wird, wie zu erwarten war.

Ein weiteres nützliches Werkzeug zur Analyse von Transformatoren ist die Basisumrechnungsformel. Sie ermöglicht es dem Ingenieur, von einer Basisimpedanz bei einem bestimmten Satz von Basisspannung und Basisleistung auf eine andere Basisimpedanz bei einem anderen Satz von Basisspannung und Basisleistung umzurechnen. Dies ist besonders in praktischen Anwendungen hilfreich, beispielsweise wenn ein Transformator mit einer Sekundärspannung von 1,2 kV an die Primärseite eines anderen Transformators mit einer Nennspannung von 1 kV angeschlossen wird. Die Formel ist unten dargestellt.

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}}$

• Beeman, Donald (1955). „Verfahren zur Berechnung des Kurzschlussstroms“ . In: Beeman, Donald (Hrsg.). Handbuch der industriellen Energiesysteme . McGraw-Hill. S. siehe insbesondere S. 38–41, 52–55 . ISBN 9780070043015Die{{cite conference}}: ISBN / Date incompatibility (help)
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