Stückweise konstante Bewertung

Eine stückweise konstante Bewertung ist eine Funktion, die den Nutzen eines Akteurs für eine kontinuierliche Ressource wie beispielsweise Land darstellt. Sie tritt auf, wenn die Ressource in eine endliche Anzahl von Regionen unterteilt werden kann und die Nutzendichte des Akteurs in jeder Region konstant ist. Eine stückweise uniforme Bewertung ist eine stückweise konstante Bewertung, bei der die Konstante in allen Regionen gleich ist.

Stückweise konstante und stückweise gleichförmige Bewertungen sind besonders nützlich in Algorithmen für eine faire Kuchenaufteilung . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Es gibt eine Ressource, die durch eine Menge C repräsentiert wird . Es gibt eine Bewertung der Ressource, definiert als stetiges Maß . Das Maß V kann durch eine Wertdichtefunktion dargestellt werden . Die Wertdichtefunktion ordnet jedem Punkt der Ressource einen reellen Wert zu. Das Maß V jeder Teilmenge X von C ist das Integral von V über X.${\displaystyle V:2^{C}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v:C\to \mathbb {R} }$

Eine Bewertung V heißt stückweise konstant , wenn die zugehörige Wertdichtefunktion v eine stückweise konstante Funktion ist . Anders ausgedrückt: Es gibt eine Partition der Ressource C in endlich viele Bereiche C₁ , ..., Cₖ , sodass für jedes j ∈ C₁, ..., _{Cₖ die} Funktion v innerhalb von Cⱼ gleich _einer Konstanten Uⱼ _ist .

Eine Bewertung V heißt stückweise gleichmäßig, wenn die Konstante für alle Bereiche gleich ist, das heißt, für jedes j in 1,..., k ist die Funktion v innerhalb von C _j gleich einer Konstanten U.

Eine stückweise lineare Bewertung ist eine Verallgemeinerung der stückweise konstanten Bewertung, bei der die Wertdichte in jedem Bereich j eine lineare Funktion ist, a _j x + b _j (stückweise konstant entspricht dem Spezialfall, in dem a _j =0 für alle j ).