Positionsgewichtsmatrix

Eine Positionsgewichtsmatrix (PWM) , auch bekannt als positionspezifische Gewichtsmatrix (PSWM) oder positionspezifische Bewertungsmatrix (PSSM) , ist eine häufig verwendete Darstellung von Motiven (Mustern) in biologischen Sequenzen.

PWMs werden häufig aus einer Reihe ausgerichteter Sequenzen abgeleitet, von denen angenommen wird, dass sie funktionell verwandt sind, und sind zu einem wichtigen Bestandteil vieler Software-Tools für die computergestützte Motivfindung geworden.

Eine PWM (Positionsgewichtungsmatrix) besitzt für jedes Symbol des Alphabets eine Zeile (4 Zeilen für Nukleotide in DNA- Sequenzen bzw. 20 Zeilen für Aminosäuren in Proteinsequenzen ) und für jede Position im Muster eine Spalte. Im ersten Schritt der PWM-Erstellung wird eine Basis-Positionshäufigkeitsmatrix (PFM) erstellt, indem die Häufigkeit jedes Nukleotids an jeder Position gezählt wird. Aus der PFM lässt sich nun eine Positionswahrscheinlichkeitsmatrix (PPM) erstellen, indem die zuvor ermittelte Nukleotidhäufigkeit an jeder Position durch die Anzahl der Sequenzen dividiert wird, wodurch die Werte normalisiert werden. Formal werden die Elemente der PPM M für eine Menge X von N ausgerichteten Sequenzen der Länge l wie folgt berechnet:

${\displaystyle M_{k,j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I(X_{i,j}=k),}$

wobei i (1,..., N ), j (1,..., l ), ​​k die Menge der Symbole im Alphabet ist und I(a=k) eine Indikatorfunktion ist, wobei I(a=k) 1 ist, wenn a=k, und 0 sonst. ${\displaystyle \in }$${\displaystyle \in }$

Angenommen, wir haben beispielsweise folgende DNA-Sequenzen:

GAGGTAAAC TCCGTAAGT CAGGTTGGA ACAGTCAGT TAGGTCATT TAGGTACTG ATGGTAACT CAGGTATAC TGTGTGAGT AAGGTAAGT

Das entsprechende PFM ist:

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}3&6&1&0&0&6&7&2&1\\2&2&1&0&0&2&1&1&2\\1&1&7&10&0&1&1&5&1\\4&1&1&0&10&1&1&2&6\end{bmatrix}}.}$

Daher ergibt sich folgende PPM-Zahl: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.3&0.6&0.1&0.0&0.0&0.6&0.7&0.2&0.1\\0.2&0.2&0.1&0.0&0.0&0.2&0.1&0.1&0.2\\0.1&0.1&0.7&1.0&0.0&0.1&0.1&0.5&0.1\\0.4&0.1&0.1&0.0&1.0&0.1&0.1&0.2&0.6\end{bmatrix}}.}$

Sowohl PPMs als auch PWMs setzen statistische Unabhängigkeit zwischen den Positionen im Muster voraus, da die Wahrscheinlichkeiten für jede Position unabhängig von den anderen Positionen berechnet werden. Aus der obigen Definition folgt, dass die Summe der Werte für eine bestimmte Position (d. h. die Summe über alle Symbole) gleich 1 ist. Jede Spalte kann daher als unabhängige Multinomialverteilung betrachtet werden . Dies ermöglicht die einfache Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Sequenz gegeben ein PPM durch Multiplikation der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an jeder Position. Beispielsweise lässt sich die Wahrscheinlichkeit der Sequenz S  =  GAGGTAAAC gegeben das obige PPM M wie folgt berechnen:

${\displaystyle p(S\vert M)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056.}$

Pseudocounts (oder Laplace-Schätzer ) werden häufig bei der Berechnung von PPMs auf Basis kleiner Datensätze verwendet, um zu vermeiden, dass Matrixeinträge den Wert 0 annehmen. ^{[ 2 ]} Dies entspricht der Multiplikation jeder Spalte der PPM mit einer Dirichlet-Verteilung und ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für neue Sequenzen (d. h. Sequenzen, die nicht Teil des ursprünglichen Datensatzes waren). Im obigen Beispiel hätte ohne Pseudocounts jede Sequenz, die kein G an der 4. Position oder kein T an der 5. Position aufweist, unabhängig von den anderen Positionen die Wahrscheinlichkeit 0.

Die Elemente in PWMs werden meist als Log-Odds berechnet. Das heißt, die Elemente eines PPM werden mithilfe eines Hintergrundmodells transformiert, sodass: ${\displaystyle b}$

${\displaystyle M_{k,j}=\mathrm {log_{2}} \;(M_{k,j}/b_{k}).}$

beschreibt, wie ein Element in der PWM (links) berechnet werden kann. Das einfachste Hintergrundmodell geht davon aus, dass jeder Buchstabe im Datensatz gleich häufig vorkommt. Das heißt, der Wert von für alle Symbole im Alphabet (0,25 für Nukleotide und 0,05 für Aminosäuren). Die Anwendung dieser Transformation auf die oben genannte PPM M (ohne hinzugefügte Pseudocounts) ergibt: ${\displaystyle M_{k,j}}$${\displaystyle b_{k}=1/\vert k\vert }$

${\displaystyle M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.26&1.26&-1.32&-\infty &-\infty &1.26&1.49&-0.32&-1.32\\-0.32&-0.32&-1.32&-\infty &-\infty &-0.32&-1.32&-1.32&-0.32\\-1.32&-1.32&1.49&2.0&-\infty &-1.32&-1.32&1.0&-1.32\\0.68&-1.32&-1.32&-\infty &2.0&-1.32&-1.32&-0.32&1.26\end{bmatrix}}.}$

Die Einträge in der Matrix verdeutlichen den Vorteil der Hinzunahme von Pseudocounts, insbesondere bei der Verwendung kleiner Datensätze zur Konstruktion von M. Das Hintergrundmodell muss nicht für jedes Symbol gleiche Werte aufweisen: Beispielsweise können bei der Untersuchung von Organismen mit hohem GC-Gehalt die Werte für C und G erhöht und die Werte für A und T entsprechend verringert werden . ${\displaystyle -\infty }$

Werden die PWM-Elemente mithilfe von Log-Likelihoods berechnet, lässt sich der Sequenz-Score durch Addition (statt Multiplikation) der relevanten Werte an jeder Position im PWM ermitteln. Der Sequenz-Score gibt an, wie stark sich die Sequenz von einer Zufallssequenz unterscheidet. Er ist 0, wenn die Sequenz mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine funktionelle und eine zufällige Position darstellt. Der Score ist größer als 0, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine funktionelle als für eine zufällige Position höher ist, und kleiner als 0, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine zufällige als für eine funktionelle Position höher ist. ^{[ 1 ]} Der Sequenz-Score kann auch physikalisch als Bindungsenergie der jeweiligen Sequenz interpretiert werden.

Der Informationsgehalt (IC) einer PWM ist manchmal von Interesse, da er etwas darüber aussagt, wie stark sich eine gegebene PWM von einer Gleichverteilung unterscheidet .

Die Selbstinformation, die sich aus der Beobachtung eines bestimmten Symbols an einer bestimmten Position des Motivs ergibt, ist:

${\displaystyle -\log(p_{i,j})}$

Die erwartete (durchschnittliche) Selbstinformation eines bestimmten Elements im PWM ist dann:

${\displaystyle -p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j})}$

Schließlich ist der IC des PWM die Summe der erwarteten Selbstinformation jedes Elements:

${\displaystyle \textstyle -\sum _{i,j}p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j})}$

Oft ist es sinnvoller, den Informationsgehalt anhand der Hintergrundbuchstabenhäufigkeiten der untersuchten Sequenzen zu berechnen, anstatt von gleichen Wahrscheinlichkeiten für jeden Buchstaben auszugehen (z. B. liegt der GC-Gehalt der DNA thermophiler Bakterien zwischen 65,3 und 70,8 ^{[ 3 ]} , daher enthält ein ATAT-Motiv deutlich mehr Information als ein CCGG-Motiv). Die Gleichung für den Informationsgehalt lautet somit:

${\displaystyle \textstyle -\sum _{i,j}p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j}/p_{j})}$

Hierbei handelt es sich um die Hintergrundfrequenz des Buchstabens . Dies entspricht der Kullback-Leibler-Divergenz bzw. der relativen Entropie. Es hat sich jedoch gezeigt, dass diese einheitliche Korrektur bei der Verwendung von PSSM zur Suche in genomischen Sequenzen (siehe unten) aufgrund der ungleichmäßigen Verteilung von n-Meren in realen Genomen zu einer Überschätzung der Bedeutung der verschiedenen Basen in einem Motiv führen kann, was wiederum eine deutlich höhere Anzahl falsch positiver Ergebnisse zur Folge hat. ^{[ 4 ]}${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle j}$

Es gibt verschiedene Algorithmen zum Scannen von Sequenzen nach PWM-Treffern. Ein Beispiel ist der MATCH-Algorithmus ^{[ 5 ]} , der in ModuleMaster implementiert wurde. ^{[ 6 ]} Anspruchsvollere Algorithmen für die schnelle Datenbanksuche mit Nukleotid- und Aminosäure-PWMs/PSSMs sind in der Software possumsearch implementiert. ^{[ 7 ]}

Das grundlegende PWM/PSSM kann Einfügungen und Deletionen nicht verarbeiten. Ein PSSM mit zusätzlichen Wahrscheinlichkeiten für Einfügungen und Deletionen an jeder Position kann als Hidden-Markov-Modell interpretiert werden . Dies ist der Ansatz von Pfam . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• ScerTF

• 3PFDB – eine Datenbank mit Best Representative PSSM Profiles (BRPs) von Proteinfamilien, die mithilfe eines neuartigen Data-Mining-Ansatzes generiert wurde.
• UGENE – PSS-Matrix-Design, integrierte Schnittstelle zu JASPAR-, UniPROBE- und SITECON-Datenbanken.