Hauptpaket

Im mathematischen Gebiet der Topologie ist ein Hauptbündel ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ein mathematisches Objekt, das einige der wesentlichen Eigenschaften des kartesischen Produkts eines topologischen Raums mit einer Gruppe formalisiert, ohne jedoch eine Produktstruktur zu erfordern. Analog zum kartesischen Produkt ist ein Hauptbündel mit einer Struktur versehen, die die Eigenschaften des kartesischen Produkts beschreibt.${\displaystyle X\times G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$

1. Eine Aktion von auf , analog zu für einen Produktraum (wobei ein Element von und das Gruppenelement aus ist ; die Gruppenaktion ist üblicherweise eine Rechtsaktion).${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$${\displaystyle (x,g)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G}$
2. Eine Projektion auf . Für einen Produktraum ist dies einfach die Projektion auf den ersten Faktor, .${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

Sofern es sich nicht um den Produktraum handelt , besitzt ein Hauptbündel keine bevorzugte Wahl des Identitätsquerschnitts; es hat kein bevorzugtes Analogon zu . Ebenso gibt es im Allgemeinen keine Projektion auf , die die Projektion auf den zweiten Faktor verallgemeinert, welche für das kartesische Produkt existiert. Es kann auch eine komplizierte Topologie aufweisen , die seine Realisierung als Produktraum verhindert. ${\displaystyle X\times G}$${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\times G\to G}$

Ein gängiges Beispiel für ein Hauptbündel ist das Rahmenbündel eines Vektorbündels , welches aus allen geordneten Basen des Vektorraums besteht, die jedem Punkt zugeordnet sind. Die Gruppe ist in diesem Fall die allgemeine lineare Gruppe , die wie üblich von rechts wirkt : durch Basiswechsel . Da es keine natürliche Möglichkeit gibt, eine geordnete Basis eines Vektorraums zu wählen, besitzt ein Rahmenbündel keine kanonische Wahl des neutralen Querschnitts. ${\displaystyle F(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G,}$

Hauptbündel finden wichtige Anwendungen in der Topologie , der Differentialgeometrie und der mathematischen Eichtheorie . Auch in der Physik sind sie von Bedeutung und bilden einen wesentlichen Bestandteil des physikalischen Eichtheorie- Rahmens . Wichtige Beispiele sind Haupt-U(1)-Bündel und Haupt-SU(2)-Bündel .

Ein Hauptbündel , wobei eine beliebige topologische Gruppe bezeichnet , ist ein Faserbündel zusammen mit einer stetigen Rechtswirkung , die die Fasern von erhält (d. h. wenn , dann für alle ) und frei und transitiv (d. h. jede Faser ist ein G-Torsor ) auf ihnen wirkt, sodass für jedes und die Abbildung auf ein Homöomorphismus ist. Insbesondere ist jede Faser des Bündels homöomorph zur Gruppe selbst. Häufig wird gefordert, dass der Basisraum Hausdorffsch und gegebenenfalls parakompakt ist . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle P\times G\to P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle y\in P_{x}}$${\displaystyle yg\in P_{x}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in P_{x}}$${\displaystyle G\to P_{x}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle yg}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

Da die Gruppenwirkung die Fasern von erhält und transitiv wirkt, sind die Bahnen der -Wirkung genau diese Fasern, und der Bahnraum ist homöomorph zum Basisraum . Da die Wirkung frei und transitiv ist, besitzen die Fasern die Struktur von G-Torsoren. Ein -Torsor ist ein Raum, der homöomorph zu ist , aber keine Gruppenstruktur besitzt, da es keine bevorzugte Wahl eines neutralen Elements gibt . ${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P/G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Eine äquivalente Definition eines Hauptbündels ist die eines Bündels mit Faser , auf der die Strukturgruppe durch Linksmultiplikation wirkt. Da die Rechtsmultiplikation mit auf der Faser mit der Wirkung der Strukturgruppe kommutiert, existiert ein invarianter Begriff der Rechtsmultiplikation mit auf . Die Fasern von werden dann zu Rechtstorsoren für diese Wirkung. ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$

Die obigen Definitionen gelten für beliebige topologische Räume. Man kann Hauptbündel auch in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten definieren . Hierbei muss eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten sein, eine Lie-Gruppe , und die zugehörige Wirkung auf muss glatt sein. ${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$

Über einer offenen Kugel , oder , mit induzierten Koordinaten ist jedes Hauptbündel isomorph zu einem trivialen Bündel${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

und ein glatter Abschnitt wird äquivalent durch eine (glatte) Funktion gegeben, da${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

für eine glatte Funktion. Wenn beispielsweise die Lie-Gruppe unitärer Matrizen ist , dann kann ein Schnitt konstruiert werden, indem man vier reellwertige Funktionen betrachtet.${\displaystyle G=U(2)}$${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

und deren Anwendung auf die Parametrisierung

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$Dieses Verfahren ist gültig, indem man eine Parametrisierung einer Sammlung von Matrizen nimmt, die eine Lie-Gruppe definieren, und indem man die Menge der Funktionen von einem Teil des Basisraums betrachtet und diese in die Parametrisierung einfügt. ${\displaystyle G}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Das prototypische Beispiel eines glatten Hauptbündels ist das Rahmenbündel einer glatten Mannigfaltigkeit , oft mit oder bezeichnet . Hierbei ist die Faser über einem Punkt die Menge aller Rahmen (d. h. geordneten Basen) des Tangentialraums . Die allgemeine lineare Gruppe operiert frei und transitiv auf diesen Rahmen. Diese Fasern lassen sich auf natürliche Weise zu einem Hauptbündel über zusammenfügen .${\displaystyle M}$${\displaystyle FM}$${\displaystyle GL(M)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M}$
• Variationen des obigen Beispiels umfassen das orthonormale Rahmenbündel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit . Hierbei müssen die Rahmen bezüglich der Metrik orthonormal sein . Die Strukturgruppe ist die orthogonale Gruppe . Das Beispiel funktioniert auch für andere Bündel als das Tangentialbündel; ist ein Vektorbündel vom Rang über , so ist das Rahmenbündel von ein Hauptbündel , manchmal auch mit bezeichnet .${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle F(E)}$
• Ein normaler (regulärer) Überdeckungsraum ist ein Hauptbündel, in dem die Strukturgruppe${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

wirkt auf die Fasern von mittels der Monodromiewirkung . Insbesondere ist die universelle Überlagerung von ein Hauptbündel über mit Strukturgruppe (da die universelle Überlagerung einfach zusammenhängend und somit trivial ist).${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• Sei eine Lie-Gruppe und sei eine abgeschlossene Untergruppe (nicht notwendigerweise normal ). Dann ist ein Hauptbündel über dem (Links-) Nebenklassenraum . Die Wirkung von auf ist hier genau die Rechtsmultiplikation. Die Fasern sind die Linksnebenklassen von (in diesem Fall gibt es eine ausgezeichnete Faser, diejenige, die das neutrale Element enthält und natürlich isomorph zu ist ).${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$
• Betrachten wir die durch gegebene Projektion . Dieses Hauptbündel ist das zugehörige Bündel des Möbiusstreifens . Neben dem trivialen Bündel ist dies das einzige Hauptbündel über .${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S^{1}}$
• Projektive Räume liefern weitere interessante Beispiele für Hauptbündel. Die -Sphäre ist bekanntlich ein zweifacher Überlagerungsraum des reellen projektiven Raums . Die natürliche Wirkung von auf verleiht ihr die Struktur eines Hauptbündels über . Ebenso ist ein Hauptbündel über dem komplexen projektiven Raum und ein Hauptbündel über dem quaternionischen projektiven Raum . Wir haben dann eine Reihe von Hauptbündeln für jedes positive :${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle O(1)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle O(1)}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S^{2n+1}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle Sp(1)}$${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Hier bezeichnet die Einheitssphäre in (ausgestattet mit der euklidischen Metrik). Für alle diese Beispiele ergeben die Fälle die sogenannten Hopf-Bündel .${\displaystyle S(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n=1}$

Eine der wichtigsten Fragen bezüglich jedes Faserbündels ist, ob es trivial ist , d. h. isomorph zu einem Produktbündel. Für Hauptbündel gibt es eine geeignete Charakterisierung der Trivialität:

Satz . Ein Prinzipalbündel ist genau dann trivial, wenn es einen globalen Schnitt zulässt .

Dies gilt im Allgemeinen nicht für andere Faserbündel. Beispielsweise besitzen Vektorbündel immer einen Nullschnitt, unabhängig davon, ob sie trivial sind oder nicht, und Kugelbündel können viele globale Schnitte zulassen, ohne trivial zu sein.

Dasselbe gilt für lokale Trivialisierungen von Hauptbündeln. Sei π  : P → X ein Haupt- G -Bündel. Eine offene Menge U in X besitzt genau dann eine lokale Trivialisierung, wenn ein lokaler Schnitt auf U existiert . Gegeben sei eine lokale Trivialisierung.

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

Man kann einen zugehörigen lokalen Abschnitt definieren.

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

wobei e das neutrale Element in G ist . Umgekehrt definiert man für einen gegebenen Schnitt s eine Trivialisierung Φ durch

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

Die einfache Transitivität der G -Wirkung auf den Fasern von P garantiert, dass diese Abbildung eine Bijektion und gleichzeitig ein Homöomorphismus ist . Die durch lokale Schnitte definierten lokalen Trivialisierungen sind im folgenden Sinne G - äquivariant : Wenn wir schreiben

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

in der Form

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

dann die Karte

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

erfüllt

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Äquivariante Trivialisierungen erhalten daher die G -Torsorstruktur der Fasern. Bezüglich des zugehörigen lokalen Schnitts s ist die Abbildung φ gegeben durch

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

Die lokale Version des Querschnittssatzes besagt dann, dass die äquivarianten lokalen Trivialisierungen eines Hauptbündels in einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit lokalen Schnitten stehen.

Gegeben eine äquivariante lokale Trivialisierung ({ U _i }, {Φ _i }) von P , so existieren lokale Schnitte s _i auf jedem U _i . Auf Überlappungen müssen diese durch die Wirkung der Strukturgruppe G miteinander verknüpft sein . Tatsächlich wird diese Verknüpfung durch die Übergangsfunktionen gegeben.

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Durch das Zusammenfügen der lokalen Trivialisierungen mithilfe dieser Übergangsfunktionen lässt sich das ursprüngliche Hauptbündel rekonstruieren. Dies ist ein Beispiel für den Faserbündelkonstruktionssatz . Für jedes x ∈ U _{_i} ∩ U _{_j} gilt:

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Ist ein glattes Hauptbündel, so wirkt frei und eigentlich auf , sodass der Orbitraum diffeomorph zum Basisraum ist . Es zeigt sich, dass diese Eigenschaften glatte Hauptbündel vollständig charakterisieren. Das heißt, ist eine glatte Mannigfaltigkeit, eine Lie-Gruppe und eine glatte, freie und eigentliche Rechtswirkung, so gilt: ${\displaystyle \pi :P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P/G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$ist ein glatter Verteiler
• Die natürliche Projektion ist ein gleichmäßiges Eintauchen , und${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$ist ein glattes Hauptbündel über .${\displaystyle G}$${\displaystyle P/G}$

Gegeben sei eine Untergruppe H von G. Man kann das Bündel betrachten , dessen Fasern homöomorph zum Nebenklassenraum sind . Besitzt das neue Bündel einen globalen Schnitt, so nennt man diesen Schnitt eine Reduktion der Strukturgruppe von nach . Der Grund für diese Bezeichnung liegt darin, dass das (faserweise) Urbild der Werte dieses Schnitts ein Unterbündel von bildet, das ein Hauptbündel ist . Ist das neutrale Element, so ist ein Schnitt von sich selbst eine Reduktion der Strukturgruppe auf das neutrale Element. Reduktionen der Strukturgruppe existieren im Allgemeinen nicht. ${\displaystyle P/H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$

Viele topologische Fragen zur Struktur einer Mannigfaltigkeit oder zur Struktur von Bündeln darüber, die einem Hauptbündel zugeordnet sind, lassen sich als Fragen nach der Zulässigkeit der Reduktion der Strukturgruppe (von nach ) umformulieren. Zum Beispiel: ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

• Eine -dimensionale reelle Mannigfaltigkeit besitzt eine fastkomplexe Struktur , wenn das Rahmenbündel auf der Mannigfaltigkeit, dessen Fasern sind , auf die Gruppe reduziert werden kann .${\displaystyle 2n}$${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• Eine -dimensionale reelle Mannigfaltigkeit besitzt ein -Ebenenfeld, wenn das Rahmenbündel auf die Strukturgruppe reduziert werden kann .${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar , wenn ihr Rahmenbündel auf die spezielle orthogonale Gruppe reduziert werden kann .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Eine Mannigfaltigkeit besitzt genau dann Spinstruktur, wenn ihr Rahmenbündel weiter von auf die Spingruppe reduziert werden kann , die als doppelte Überdeckung auf abgebildet wird.${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Man beachte außerdem: Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit besitzt genau dann Vektorfelder, die in jedem Punkt linear unabhängig sind, wenn ihr Rahmenbündel einen globalen Schnitt zulässt. In diesem Fall wird die Mannigfaltigkeit als parallelisierbar bezeichnet . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Ist ein Hauptbündel und eine lineare Darstellung von , so lässt sich ein Vektorbündel mit Faser konstruieren , als Quotient des Produkts × nach der Diagonalwirkung von . Dies ist ein Spezialfall der assoziierten Bündelkonstruktion und wird als assoziiertes Vektorbündel zu bezeichnet. Ist die Darstellung von auf treu , sodass eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL( ) ist, so ist ein -Bündel und liefert eine Reduktion der Strukturgruppe des Rahmenbündels von von nach . In diesem Sinne liefern Hauptbündel eine abstrakte Formulierung der Theorie der Rahmenbündel. ${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E=P\times _{G}V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle G}$

Jede topologische Gruppe G besitzt einen klassifizierenden Raum BG : den Quotienten eines schwach zusammenziehbaren Raums, z. B. eines topologischen Raums mit verschwindenden Homotopiegruppen , unter der Wirkung von G. Der klassifizierende Raum hat die Eigenschaft, dass jedes G -Hauptbündel über einer parakompakten Mannigfaltigkeit B isomorph zu einem Pullback des Hauptbündels EG → BG ist . ^{[ 5 ]} Tatsächlich gilt noch mehr, da die Menge der Isomorphieklassen von G- Hauptbündeln über der Basis B mit der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen B → BG übereinstimmt .

• Zugehöriges Paket
• Vektor-Bundle
• G-Struktur
• Reduktion der Strukturgruppe
• Eichtheorie
• Verbindung (Hauptbündel)
• G-Faserung

• Bleecker, David (1981). Eichtheorie und Variationsprinzipien . Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1Die
• Jost, Jürgen (2005). Riemannsche Geometrie und geometrische Analysis (4. Aufl.). New York: Springer. ISBN 3-540-25907-4Die
• Husemoller, Dale (1994). Faserbündel (3. Aufl.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8Die
• Sharpe, R. W. (1997). Differentialgeometrie: Cartans Verallgemeinerung des Erlanger Programms von Klein . New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9Die
• Steenrod, Norman (1951). Die Topologie von Faserbündeln . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6Die{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)