Unsicherheitsfortpflanzung

In der Statistik bezeichnet die Fehlerfortpflanzung den Einfluss der Unsicherheiten von Variablen auf die Unsicherheit einer auf ihnen basierenden Funktion . Handelt es sich bei den Variablen um Werte experimenteller Messungen, so weisen sie aufgrund von Messbeschränkungen (z. B. Gerätegenauigkeit ) Unsicherheiten auf, die sich durch die Kombination der Variablen in der Funktion fortpflanzen.

Die Unsicherheit u lässt sich auf verschiedene Weise ausdrücken. Sie kann durch den absoluten Fehler Δx definiert werden . Unsicherheiten lassen sich auch durch den relativen Fehler (Δx ) / x definieren , der üblicherweise in Prozent angegeben wird. Am häufigsten wird die Unsicherheit einer Größe durch die Standardabweichung σ quantifiziert , die der positiven Quadratwurzel der Varianz entspricht . Der Wert einer Größe und ihr Fehler werden dann als Intervall x ± u ausgedrückt . Die allgemeinste Art der Charakterisierung von Unsicherheit besteht jedoch in der Angabe ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung . Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variablen bekannt oder kann sie angenommen werden, lassen sich theoretisch alle ihre statistischen Kennzahlen bestimmen. Insbesondere können Konfidenzintervalle abgeleitet werden , um den Bereich zu beschreiben, in dem der wahre Wert der Variablen liegt. Beispielsweise liegen die 68%-Konfidenzgrenzen für eine eindimensionale Variable, die einer Normalverteilung angehört, ungefähr bei ± einer Standardabweichung σ vom Mittelwert x . Das bedeutet, dass der Bereich x ± σ den wahren Wert in etwa 68% der Fälle umfasst.

Sind die Unsicherheiten korreliert , muss die Kovarianz berücksichtigt werden. Korrelation kann zwei verschiedene Ursachen haben. Erstens können die Messfehler korreliert sein. Zweitens sind, wenn die zugrunde liegenden Werte innerhalb einer Population korreliert sind, auch die Unsicherheiten in den Gruppenmittelwerten korreliert. ^{[ 1 ]}

Im Allgemeinen, wenn eine nichtlineare Funktion die unsicheren Parameter (korreliert oder unkorreliert) verändert, sind die Standardwerkzeuge zur Fehlerfortpflanzung und zur Ableitung der resultierenden Wahrscheinlichkeitsverteilung/Statistik der Größen Sampling-Verfahren aus der Monte-Carlo-Methodenfamilie . ^{[ 2 ]} Bei sehr großen Datensätzen oder komplexen Funktionen kann die Berechnung der Fehlerfortpflanzung sehr aufwendig sein, sodass ein Ersatzmodell ^{[ 3 ]} oder eine Strategie des parallelen Rechnens ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} erforderlich sein kann.

In bestimmten Fällen kann die Berechnung der Unsicherheitsfortpflanzung durch einfache algebraische Verfahren erfolgen. Einige dieser Szenarien werden im Folgenden beschrieben.

Sei eine Menge von m Funktionen, die Linearkombinationen von Variablen mit Kombinationskoeffizienten sind : oder in Matrixnotation, ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$$${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

Sei außerdem die Varianz-Kovarianz-Matrix von x = ( x ₁ , ..., x _n ) mit bezeichnet und der Mittelwert mit : ist das äußere Produkt . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \otimes }$

Dann ist die Varianz-Kovarianz-Matrix von f gegeben durch ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

In Komponentenschreibweise lautet die Gleichung$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$$${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

Dies ist der allgemeinste Ausdruck für die Fehlerfortpflanzung von einem Variablensatz auf einen anderen. Sind die Fehler von x unkorreliert, vereinfacht sich der allgemeine Ausdruck zu , wobei die Varianz des k -ten Elements des Vektors x ist. Beachten Sie, dass die Fehler von f im Allgemeinen korreliert sind , selbst wenn die Fehler von x unkorreliert sind ; mit anderen Worten: Auch wenn eine Diagonalmatrix ist , ist im Allgemeinen eine vollbesetzte Matrix. $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Die allgemeinen Ausdrücke für eine skalarwertige Funktion f sind etwas einfacher (hier ist a ein Zeilenvektor ): $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

Jeder Kovarianzterm kann durch den Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden, sodass ein alternativer Ausdruck für die Varianz von f lautet ${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Falls die Variablen in x unkorreliert sind, vereinfacht sich dies weiter zu $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

Im einfachen Fall identischer Koeffizienten und Varianzen finden wir $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

Für das arithmetische Mittel ergibt sich der Standardfehler des Mittelwerts : ${\displaystyle a=1/n}$$${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

Wenn f eine nichtlineare Kombination der Variablen x ist , kann eine Intervallfortpflanzung durchgeführt werden, um Intervalle zu berechnen, die alle konsistenten Werte der Variablen enthalten. In einem probabilistischen Ansatz muss die Funktion f üblicherweise durch Approximation einer Taylorreihenentwicklung erster Ordnung linearisiert werden . In einigen Fällen lassen sich jedoch exakte Formeln ableiten, die nicht von der Entwicklung abhängen, wie beispielsweise bei der exakten Varianz von Produkten. ^{[ 7 ]} Die Taylor-Entwicklung lautet: wobei die partielle Ableitung von f_{_k} nach der i -ten Variablen bezeichnet, ausgewertet am Mittelwert aller Komponenten des Vektors x . Oder in Matrixnotation : wobei J die Jacobi-Matrix ist . Da f ^₀ eine Konstante ist, trägt sie nicht zum Fehler von f bei. Daher folgt die Fehlerfortpflanzung dem linearen Fall (siehe oben), wobei die linearen Koeffizienten A _{_ki} und A _{_kj} durch die partiellen Ableitungen und ersetzt werden . In Matrixnotation: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$$${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$$${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

Das heißt, die Jacobi-Matrix der Funktion wird verwendet, um die Zeilen und Spalten der Varianz-Kovarianz-Matrix des Arguments zu transformieren. Beachten Sie, dass dies äquivalent zum Matrixausdruck für den linearen Fall mit ist . ${\displaystyle \mathrm {J=A} }$

Vernachlässigt man Korrelationen oder nimmt man unabhängige Variablen an, so ergibt sich unter Ingenieuren und experimentellen Wissenschaftlern eine gängige Formel zur Berechnung der Fehlerfortpflanzung, die Varianzformel: ^{[ 9 ]} wobei die Standardabweichung der Funktion darstellt , die Standardabweichung von darstellt , die Standardabweichung von darstellt usw. $${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$$${\displaystyle s_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle y}$

Diese Formel basiert auf den linearen Eigenschaften des Gradienten von und ist daher eine gute Schätzung für die Standardabweichung von , solange klein genug sind. Genauer gesagt muss die lineare Approximation von in einer Umgebung mit Radius nahe bei liegen . ^{[ 10 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$

Jede nichtlineare differenzierbare Funktion f , , zweier Variablen x und y kann wie folgt entwickelt werden: Wenn wir die Varianz auf beiden Seiten bilden und die Formel ^{[ 11 ]} für die Varianz einer linearen Kombination von Variablen verwenden , erhalten wir: wobei die Standardabweichung der Funktion f , die Standardabweichung von x , die Standardabweichung von y und die Kovarianz zwischen x und y ist . ${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}$$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Im speziellen Fall, dass , , . Dann oder wobei die Korrelation zwischen und ist . ${\displaystyle f=ab}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$$${\displaystyle \rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Wenn die Variablen und unkorreliert sind, dann gilt: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$$

Fehlerschätzungen für nichtlineare Funktionen sind aufgrund der Verwendung einer abgebrochenen Reihenentwicklung verzerrt . Das Ausmaß dieser Verzerrung hängt von der Art der Funktion ab. Beispielsweise nimmt die Verzerrung des für log(1+ x ) berechneten Fehlers mit steigendem x zu , da die Entwicklung bis x nur dann eine gute Näherung darstellt, wenn x nahe null liegt.

Für stark nichtlineare Funktionen gibt es fünf Kategorien probabilistischer Ansätze zur Unsicherheitsfortpflanzung; ^{[ 12 ]} siehe Unsicherheitsquantifizierung für Details.

Im Spezialfall der inversen oder reziproken Verteilung , wobei einer Standardnormalverteilung folgt , ist die resultierende Verteilung eine reziproke Standardnormalverteilung, und es gibt keine definierbare Varianz. ^{[ 13 ]}${\displaystyle 1/B}$${\displaystyle B=N(0,1)}$

Im etwas allgemeineren Fall einer verschobenen reziproken Funktion, die einer allgemeinen Normalverteilung folgt, existieren jedoch Mittelwert- und Varianzstatistiken im Sinne von Hauptwerten , wenn die Differenz zwischen Pol und Mittelwert reellwertig ist. ^{[ 14 ]}${\displaystyle 1/(p-B)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

Verhältnisse sind ebenfalls problematisch; unter bestimmten Bedingungen existieren Normalapproximationen.

Diese Tabelle zeigt die Varianzen und Standardabweichungen einfacher Funktionen der reellen Variablen mit Standardabweichungen, Kovarianz und Korrelation. Die reellwertigen Koeffizienten werden als exakt bekannt (deterministisch) angenommen, d. h.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$${\displaystyle \rho _{AB}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

In den rechten Spalten der Tabelle sind und die Erwartungswerte , und ist der Wert der Funktion, der an diesen Stellen berechnet wird. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

Funktion	Varianz	Standardabweichung
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=A+B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=A-B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA+bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[ 15 ] [ 16 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[ 17 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[ 18 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[ 18 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[ 19 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

Bei unkorrelierten Variablen ( , ) lassen sich Ausdrücke für komplexere Funktionen durch Kombination einfacherer Funktionen herleiten. Beispielsweise ergibt die wiederholte Multiplikation, unter der Annahme, dass keine Korrelation besteht, ${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$$${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

Für diesen Fall haben wir auch Goodmans Ausdruck ^{[ 7 ]} für die exakte Varianz: Im unkorrelierten Fall lautet er und daher haben wir Der letzte Term stellt eine kleine Korrektur der üblichen Formel dar, wie man sehen kann, indem man beide Seiten durch dividiert . ${\displaystyle f=AB}$$${\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$${\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}$$

Sind A und B unkorreliert, weist ihre Differenz A − B eine größere Varianz auf als die Varianz der einzelnen Variablen. Eine zunehmende positive Korrelation ( ) verringert die Varianz der Differenz, die bei perfekt korrelierten Variablen mit gleicher Varianz gegen null konvergiert . Umgekehrt erhöht eine negative Korrelation ( ) die Varianz der Differenz im Vergleich zum unkorrelierten Fall weiter. ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

Die Selbstsubtraktion f = A − A hat beispielsweise nur dann eine Varianz von null, wenn die Variablen perfekt autokorreliert sind ( ). Sind die Variablen A unkorreliert, ist die Ausgabevarianz doppelt so groß wie die Eingabevarianz. Sind die Variablen A perfekt antikorreliert, vervierfacht sich die Eingabevarianz in der Ausgabe (siehe f = aA − aA in der obigen Tabelle). ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \rho _{A}=0,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}$${\displaystyle \rho _{A}=-1,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

Wir können die Fehlerfortpflanzung für die Arkustangensfunktion als Beispiel für die Verwendung von partiellen Ableitungen zur Fehlerfortpflanzung berechnen.

Definiere , wobei die absolute Unsicherheit unserer Messung von x ist . Die Ableitung von f ( x ) nach x ist $${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$$${\displaystyle \Delta _{x}}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$$

Daher ist unsere fortgepflanzte Unsicherheit die absolute fortgepflanzte Unsicherheit. $${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$$${\displaystyle \Delta _{f}}$

Eine praktische Anwendung ist ein Experiment , bei dem man Stromstärke I und Spannung V an einem Widerstand misst , um den Widerstand R mithilfe des Ohmschen Gesetzes R = V / I zu bestimmen .

Bei gegebenen Messgrößen mit Unsicherheiten, I ± σ _I und V ± σ _V , und unter Vernachlässigung ihrer möglichen Korrelation, beträgt die Unsicherheit der berechneten Größe, σ _R ,:

$${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$$

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Datenreduktion und Fehleranalyse für die physikalischen Wissenschaften (3. Aufl.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), Die Unsicherheit physikalischer Messungen: Eine Einführung in die Datenanalyse im physikalischen Labor , Springer, S. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Meyer, Stuart L. (1975), Datenanalyse für Naturwissenschaftler und Ingenieure , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), Fehlerfortpflanzung: Wie man Messfehler mathematisch vorhersagen kann , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Wahrscheinlichkeit, Statistik und Schätzung: Ausbreitung von Unsicherheiten bei experimentellen Messungen (PDF) (Kurzfassung)
• Taylor, JR (1997), Einführung in die Fehleranalyse: Die Untersuchung von Unsicherheiten bei physikalischen Messungen (2. Aufl.), University Science Books
• Wang, C. M.; Iyer, Hari K. (07.09.2005). „Über Korrekturen höherer Ordnung für sich fortpflanzende Unsicherheiten“. Metrologia . 42 (5): 406–410 . Bibcode : 2005Metro..42..406W . doi : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN  0026-1394 . S2CID  122841691 .

• Unsicherheitsrechner: Erstellen Sie ISO 17025-konforme Unsicherheitsbudgets ohne Tabellenkalkulationen oder Blackboxes
• Eine detaillierte Diskussion über Messungen und die Fehlerfortpflanzung, in der die Vorteile der Verwendung von Fehlerfortpflanzungsformeln und Monte-Carlo-Simulationen anstelle einfacher Signifikanzarithmetik erläutert werden.
• GUM , Leitfaden zur Angabe der Messunsicherheit
• EPFL Einführung in die Fehlerfortpflanzung , Herleitung, Bedeutung und Beispiele von Cy = Fx Cx Fx'
• Uncertainties Package , ein Programm/eine Bibliothek zur transparenten Durchführung von Berechnungen mit Unsicherheiten (und Fehlerkorrelationen).
• soerp package , a Python program/library for transparent performing *second-order* calculations with uncertaintys (and error correlations).
• Gemeinsamer Ausschuss für Leitfäden in der Metrologie (2011). JCGM 102: Auswertung von Messdaten – Ergänzung 2 zum „Leitfaden zur Angabe der Messunsicherheit“ – Erweiterung auf eine beliebige Anzahl von Ausgabegrößen (PDF) (Technischer Bericht). JCGM . Abgerufen am 13. Februar 2013 .