Teilmenge

In der Mathematik ist eine Menge A genau dann eine Teilmenge einer Menge B , wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind ; B ist dann eine Obermenge von A. A und B können gleich sein; sind sie ungleich, so ist A eine echte Teilmenge von B. Die Beziehung, dass eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, wird Inklusion (oder manchmal Enthaltensein ) genannt. „A ist eine Teilmenge von B“ kann auch als „B enthält A“ oder „A ist in B enthalten“ ausgedrückt werden . Eine k -Teilmenge ist eine Teilmenge mit k Elementen.

In quantifizierter Form wird es als ^{[ 1 ] dargestellt.}${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

Man kann die Aussage beweisen , indem man eine Beweistechnik anwendet, die als Elementargument bekannt ist ^{[ 2 ]} :${\displaystyle A\subseteq B}$

Seien A und B Mengen gegeben. Zu beweisen, dass${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. Angenommen , a ist ein bestimmtes, aber willkürlich gewähltes Element von A.
2. Zeige , dass a ein Element von B ist .

Die Gültigkeit dieser Technik lässt sich als Folge der universellen Verallgemeinerung erkennen : Die Technik zeigt für ein beliebig gewähltes Element c . Die universelle Verallgemeinerung impliziert dann , was äquivalent zu dem oben Gesagten ist. ${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

Wenn A und B Mengen sind und jedes Element von A auch Element von B ist , dann gilt:

• A ist eine Teilmenge von B , bezeichnet mit , oder äquivalent dazu,${\displaystyle A\subseteq B}$
• B ist eine Obermenge von A , bezeichnet mit${\displaystyle B\supseteq A.}$

Wenn A eine Teilmenge von B ist , aber A nicht gleich B ist (d. h. es gibt mindestens ein Element von B, das nicht in A enthalten ist ) , dann:

• A ist eine echte (oder strikte ) Teilmenge von B , bezeichnet mit , oder äquivalent dazu,${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B ist eine echte (oder strikte ) Obermenge von A , bezeichnet mit${\displaystyle B\supsetneq A.}$

Die leere Menge , geschrieben als , enthält keine Elemente und ist daher trivialerweise eine Teilmenge jeder Menge X.${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \varnothing ,}$

• Reflexivität : Gegeben sei eine beliebige Menge, ^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A}$
• Transitivität : Wennund, dann${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C}$
• Antisymmetrie : Wennund, dann.${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A=B}$

• Irreflexivität : Für jede Mengeistfalsch.${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subsetneq A}$
• Transitivität : Wennund, dann${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq C}$${\displaystyle A\subsetneq C}$
• Asymmetrie : Wenndannist es falsch.${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq A}$

Einige Autoren verwenden die Symbole und , um Teilmenge bzw. Obermenge zu bezeichnen ; das heißt, mit der gleichen Bedeutung wie und anstelle der Symbole und . ^{[ 4 ]} Zum Beispiel gilt für diese Autoren für jede Menge A , dass (eine reflexive Relation ). ${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq }$${\displaystyle A\subset A.}$

Andere Autoren bevorzugen die Verwendung der Symbole ∩ und ∩ , um echte ( auch strikte) Teilmengen bzw. echte Obermengen zu bezeichnen ; das heißt, mit derselben Bedeutung wie ∩ und ∩ anstelle der Symbole ∩ und ∩ ^{[ 5 ]} . Diese Verwendung macht ∩ und ∩ analog zu den Ungleichheitssymbolen ∩ und ∩ . Wenn beispielsweise ∩ ...${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subsetneq }$${\displaystyle \supsetneq .}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <.}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x<y,}$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A\subset B,}$

• Die Menge A = {1, 2} ist eine echte Teilmenge von B = {1, 2, 3}, daher sind beide Ausdrücke wahr .${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle A\subsetneq B}$
• Die Menge D = {1, 2, 3} ist eine Teilmenge (aber keine echte Teilmenge) von E = {1, 2, 3}, daher ist wahr und nicht wahr (falsch).${\displaystyle D\subseteq E}$${\displaystyle D\subsetneq E}$
• Die Menge { x : x ist eine Primzahl größer als 10} ist eine echte Teilmenge von { x : x ist eine ungerade Zahl größer als 10}.
• Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen ; ebenso ist die Menge der Punkte einer Strecke eine echte Teilmenge der Menge der Punkte einer Geraden . Dies sind zwei Beispiele, in denen sowohl die Teilmenge als auch die Gesamtmenge unendlich sind und die Teilmenge dieselbe Kardinalität (das Konzept, das der Größe, d. h. der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge, entspricht) wie die Gesamtmenge besitzt; solche Fälle können der anfänglichen Intuition widersprechen.
• Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen . In diesem Beispiel sind beide Mengen unendlich, aber die Menge der rationalen Zahlen hat eine größere Kardinalität (oder Potenz ) als die Menge der rationalen Zahlen.

Ein weiteres Beispiel in einem Euler-Diagramm :

• 
  A ist eine echte Teilmenge von B.
• 
  C ist eine Teilmenge, aber keine echte Teilmenge von B.

Die Menge aller Teilmengen von wird als Potenzmenge bezeichnet und mit notiert . ^{[ 6 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

Die Inklusionsrelation ist eine partielle Ordnung auf der durch definierten Menge . Wir können auch durch umgekehrte Mengeninklusion eine partielle Ordnung erreichen, indem wir definieren${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B{\text{ genau dann, wenn }}B\subseteq A.}$

Für die Potenzmenge einer Menge S ist die Inklusions-Partialordnung – bis auf einen Ordnungsisomorphismus – das kartesische Produkt von (der Kardinalität von S ) Kopien der Partialordnung auf , für die gilt. Dies lässt sich veranschaulichen, indem man aufzählt und jeder Teilmenge (d. h. jedem Element von ) das k -Tupel aus zuordnet, dessen i -te Koordinate genau dann 1 ist, wenn ein Element von T ist . ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$${\displaystyle k=|S|}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0<1.}$${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$${\displaystyle s_{i}}$

Die Menge aller -Teilmengen von wird mit bezeichnet , analog zur Notation für Binomialkoeffizienten , die die Anzahl der -Teilmengen einer -elementigen Menge angibt. In der Mengenlehre ist diese Notation ebenfalls üblich, insbesondere wenn eine transfinite Kardinalzahl ist . ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [A]^{k}}$${\displaystyle k}$

• A set A is a subset of Bif and only if their intersection is equal to A. Formally:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ genau dann, wenn }}A\cap B=A.}$

• A set A is a subset of B if and only if their union is equal to B. Formally:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ genau dann, wenn }}A\cup B=B.}$

• A finite set A is a subset of B, if and only if the cardinality of their intersection is equal to the cardinality of A. Formally:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ genau dann, wenn }}|A\cap B|=|A|.}$

• The subset relation defines a partial order on sets. In fact, the subsets of a given set form a Boolean algebra under the subset relation, in which the join and meet are given by intersection and union, and the subset relation itself is the Boolean inclusion relation.
• Inclusion is the canonical partial order, in the sense that every partially ordered set ${\displaystyle (X,\preceq )}$ is isomorphic to some collection of sets ordered by inclusion. The ordinal numbers are a simple example: if each ordinal n is identified with the set ${\displaystyle [n]}$ of all ordinals less than or equal to n, then ${\displaystyle a\leq b}$ if and only if ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• Convex subset – In geometry, set whose intersection with every line is a single line segmentSeiten mit Kurzbeschreibungen der Weiterleitungsziele
• Inclusion order – Partial order that arises as the subset-inclusion relation on some collection of objects
• Mereology – Study of parts and the wholes they form
• Region – Connected open subset of a topological spaceSeiten mit Kurzbeschreibungen der Weiterleitungsziele
• Subset sum problem – Decision problem in computer science
• Subsumptive containment – System of elements that are subordinated to each other
• Subspace – Mathematical set with some added structureSeiten mit Kurzbeschreibungen der Weiterleitungsziele
• Total subset – Vector space in functional analysis

• Jech, Thomas (2002). Mengenlehre . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2Die

• Medien zum Thema Teilmengen auf Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Subset" . MathWorld .