Schwarzschildradius

Der Schwarzschildradius ist ein Parameter der Schwarzschild-Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen. Er entspricht dem Radius einer Kugel im flachen Raum, deren Oberfläche der des Ereignishorizonts eines Schwarzschild- Schwarzen Lochs gegebener Masse entspricht. Er ist eine charakteristische Größe, die jeder beliebigen Masse zugeordnet werden kann. Benannt wurde der Schwarzschildradius nach dem deutschen Astronomen Karl Schwarzschild , der diese Lösung für die allgemeine Relativitätstheorie im Jahr 1916 berechnete .

Der Schwarzschildradius ist gegeben durch, wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante , M die Masse des Objekts und c die Lichtgeschwindigkeit ist . ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$$

1916 erhielt Karl Schwarzschild eine exakte Lösung ^{[ 3 ] [ 4 ]} der Einsteinschen Feldgleichungen für das Gravitationsfeld außerhalb eines nichtrotierenden, sphärisch symmetrischen Körpers mit Masse (siehe Schwarzschild-Metrik ). Die Lösung enthielt Terme der Form , die Singularitäten bei und aufweisen . Der Parameter wurde als Schwarzschild-Radius bekannt . Die physikalische Bedeutung dieser Singularitäten wurde jahrzehntelang diskutiert. Es stellte sich heraus, dass die Singularität bei eine Koordinatensingularität ist , also ein Artefakt des verwendeten Koordinatensystems; die Singularität bei hingegen ist eine Raumzeitsingularität und kann nicht beseitigt werden. ^{[ 5 ]} Der Schwarzschild-Radius ist dennoch eine physikalisch relevante Größe, wie oben und unten erläutert. ${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}},}$$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$${\displaystyle r_{\text{s}}}$${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$${\displaystyle r=0}$

Der Schwarzschildradius eines Objekts ist proportional zu seiner Masse. Demnach hat die Sonne einen Schwarzschildradius von etwa 3,0 km (1,9 Meilen) ^{[ 6 ]} , die Erde etwa 9 mm (0,35 Zoll) ^{[ 6 ]} und der Mond etwa 0,1 mm (0,004 Zoll).

Tabelle mit Beispiel-Schwarzschild-Radien

Objekt	Masse${\textstyle M}$	Schwarzschildradius${\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}}$	Tatsächlicher Radius${\textstyle r}$	Schwarzschilddichte oder${\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}}$${\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}$
Milchstraße	1,6 × 10 42  kg	2,4 × 10 15  m (0,25  ly )	5 × 10 20  m (52.900 Lichtjahre  ) ​	0,000 029  kg/m 3
SMBH in Phoenix A (eines der größten bekannten Schwarzen Löcher )	2 × 10 41  kg	3 × 10 14  m (~2000  AE )		0,0018 kg/ m³
Tonne 618	1,3 × 10 41  kg	1,9 × 10 14  m (~1300  AE )		0,0045 kg/ m³
SMBH in NGC 4889	4,2 × 10 40  kg	6,2 × 10 13  m (~410  AE )		0,042 kg/ m³
SMBH in Messier 87 [ 7 ]	1,3 × 10 40  kg	1,9 × 10 13  m (~130  AE )		0,44 kg/ m³
SMBH in der Andromeda-Galaxie [ 8 ]	3,4 × 10 38  kg	5,0 × 10 11  m (3,3  AE )		640 kg/ m³
Sagittarius A* (SMBH in der Milchstraße) [ 9 ]	8,26 × 10 36  kg	1,23 × 10 10  m (0,08  AE )		1,068 × 10⁶ kg  / m³
SMBH in NGC 4395 [ 10 ]	7,1568 × 10 35  kg	1,062 × 10⁹  m ( 1,53  R☉ )​		1,4230 × 10 8  kg/m 3
Potenzielles intermediäres Schwarzes Loch in HCN-0,009-0,044 [ 11 ] [ 12 ]	6,3616 × 10 34  kg	9,44 × 10⁷  m (  14,8 R⊕ )​		1,8011 × 10 10  kg/m 3
Entstandenes intermediäres Schwarzes Loch aus der Verschmelzung von GW190521 [ 13 ]	2,823 × 10³²  kg​	4,189 × 10⁵  m ( 0,066  R⊕ )​		9,125 × 10 14  kg/m 3
Sonne	1,99 × 10 30  kg	2,95 × 10³  m​	7,0 × 10⁸  m​	1,84 × 10 19  kg/m 3
Jupiter	1,90 × 10 27  kg	2,82 m	7,0 × 10⁷  m​	2,02 × 10 25  kg/m 3
Saturn	5,683 × 10 26  kg	8,42 × 10 −1  m	6,03 × 10⁷  m​	2,27 × 10 26  kg/m 3
Neptun	1,024 × 10²⁶  kg​	1,52 × 10 −1  m	2,47 × 10⁷  m​	6,97 × 10 27  kg/m 3
Uranus	8,681 × 10²⁵  kg​	1,29 × 10 −1  m	2,56 × 10⁷  m​	9,68 × 10 27  kg/m 3
Erde	5,97 × 10²⁴  kg​	8,87 × 10−3  m​	6,37 × 10⁶  m​	2,04 × 10 30  kg/m 3
Venus	4,867 × 10²⁴  kg​	7,21 × 10 −3  m	6,05 × 10⁶  m​	3,10 × 10 30  kg/m 3
Mars	6,39 × 10²³  kg​	9,47 × 10−4  m​	3,39 × 10⁶  m​	1,80 × 10 32  kg/m 3
Quecksilber	3,285 × 10²³  kg​	4,87 × 10−4  m​	2,44 × 10⁶  m​	6,79 × 10³² kg  / m³
Mond	7,35 × 10 22  kg	1,09 × 10 −4  m	1,74 × 10⁶  m​	1,35 × 10 34  kg/m 3
Menschlich	70 kg	1,04 × 10 −25  m	~5 × 10 −1  m	1,49 × 10 76  kg/m 3
Planck-Masse	2,18 × 10 −8  kg	3,23 × 10 −35  m (2  l P )		1,54 × 10 95  kg/m 3

Jedes Objekt, dessen Radius kleiner als sein Schwarzschildradius ist, wird als Schwarzes Loch bezeichnet . ^{[ 14 ] : 410} Die Oberfläche am Schwarzschildradius wirkt in einem nichtrotierenden Körper als Ereignishorizont (ein rotierendes Schwarzes Loch funktioniert etwas anders). Weder Licht noch Teilchen können durch diese Oberfläche aus dem Inneren entkommen, daher der Name „Schwarzes Loch“.

Schwarze Löcher lassen sich anhand ihres Schwarzschildradius oder, äquivalent dazu, anhand ihrer Dichte klassifizieren. Die Dichte ist definiert als die Masse eines Schwarzen Lochs geteilt durch das Volumen seiner Schwarzschildsphäre. Da der Schwarzschildradius linear mit der Masse zusammenhängt, das eingeschlossene Volumen jedoch der dritten Potenz des Radius entspricht, sind kleine Schwarze Löcher deutlich dichter als große. Das Volumen innerhalb des Ereignishorizonts der massereichsten Schwarzen Löcher weist eine durchschnittliche Dichte auf, die geringer ist als die von Hauptreihensternen.

Ein supermassereiches Schwarzes Loch (SMBH) ist die größte Art von Schwarzen Löchern, obwohl es nur wenige offizielle Kriterien gibt, nach denen ein solches Objekt als solches eingestuft wird. Seine Masse liegt in der Größenordnung von Hunderttausenden bis Milliarden Sonnenmassen. (Supermassereiche Schwarze Löcher mit bis zu 21 Milliarden (2,1 × 10¹⁰ ₎ ^Sonnenmassen wurden  bereits nachgewiesen, beispielsweise NGC 4889. ) ^{[ 15 ]} Im Gegensatz zu Schwarzen Löchern mit Sternenmasse weisen supermassereiche Schwarze Löcher vergleichsweise geringe durchschnittliche Dichten auf. (Ein (nicht rotierendes) Schwarzes Loch ist eine kugelförmige Region im Raum, die die Singularität in seinem Zentrum umgibt; es ist nicht die Singularität selbst.) Daher kann die durchschnittliche Dichte eines supermassereichen Schwarzen Lochs geringer sein als die Dichte von Wasser.

Der Schwarzschildradius eines Körpers ist proportional zu seiner Masse und somit auch zu seinem Volumen, vorausgesetzt, der Körper besitzt eine konstante Massendichte. ^{[ 16 ]} Im Gegensatz dazu ist der physikalische Radius des Körpers proportional zur dritten Wurzel seines Volumens. Wenn sich also Materie mit einer bestimmten Dichte im Körper ansammelt (in diesem Beispiel …), …Bei einer Dichte von 997  kg/m³ ⁽ der Dichte von Wasser) wächst der Schwarzschildradius schneller als der physikalische Radius. Sobald ein Körper dieser Dichte eine Masse von etwa 136 Millionen Sonnenmassen (1,36 × 10⁸ M☉) erreicht hat ^,  wird _sein physikalischer Radius vom Schwarzschildradius übertroffen, und er bildet ein supermassereiches Schwarzes Loch.

Man geht davon aus, dass supermassereiche Schwarze Löcher wie diese nicht unmittelbar durch den singulären Kollaps eines Sternhaufens entstehen. Stattdessen könnten sie als kleinere, sterngroße Schwarze Löcher beginnen und durch die Akkretion von Materie oder sogar anderer Schwarzer Löcher anwachsen. ^{[ 17 ]}

Der Schwarzschildradius des supermassereichen Schwarzen Lochs im galaktischen Zentrum der Milchstraße beträgt ungefähr 12 Millionen Kilometer. ^{[ 9 ]} Seine Masse beträgt ungefähr 4,1 Millionen  M _☉ .

Stellare Schwarze Löcher besitzen deutlich höhere durchschnittliche Dichten als supermassereiche Schwarze Löcher. Würde man Materie mit Kerndichte (der Dichte des Atomkerns, etwa 10^¹⁸ kg/m ^³ _; Neutronensterne erreichen diese Dichte ebenfalls) ansammeln, läge diese Ansammlung innerhalb ihres Schwarzschildradius bei etwa 3  Sonnenmassen und wäre somit ein stellares Schwarzes Loch .

Eine kleine Masse hat einen extrem kleinen Schwarzschildradius. Ein Schwarzes Loch mit einer Masse ähnlich der des ^Mount Everest [ ^{18 ]}6,3715 × 10¹⁴  kg hätte einen Schwarzschildradius, der viel kleiner als ein ^Nanometer wäre . Der Schwarzschildradius wäre 2 ×6,6738 × 10−11  m³ ^{⋅kg − 1} ⋅s − ² ×6,3715 × 10 ¹⁴  kg / (299 792 458  m⋅s ⁻¹ ) ² =9,46 × 10 ⁻¹³  m =9,46 × 10⁻⁴  nm . Seine durchschnittliche Dichte bei dieser Größe wäre so hoch, dass kein bekannter Mechanismus solch extrem kompakte Objekte erzeugen könnte. Solche Schwarzen Löcher könnten in einem frühen Stadium der Entwicklung des Universums, kurz nach dem Urknall, entstanden sein, ^als die Materiedichte extrem hoch war. Daher werden diese hypothetischen Miniatur-Schwarzen Löcher als primordiale Schwarze Löcher bezeichnet .

Die gravitative Zeitdilatation in der Nähe eines großen, langsam rotierenden, nahezu kugelförmigen Körpers, wie der Erde oder der Sonne, kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden: ^{[ 19 ]} wobei: $${\displaystyle {\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}$$

• t _r ist die für einen Beobachter an der radialen Koordinate r innerhalb des Gravitationsfeldes verstrichene Zeit ;
• t ist die verstrichene Zeit für einen Beobachter, der sich in großer Entfernung von dem massereichen Objekt befindet (und sich daher außerhalb des Gravitationsfeldes befindet);
• r ist die radiale Koordinate des Beobachters (die analog zum klassischen Abstand vom Mittelpunkt des Objekts ist);
• r_{_s} ist der Schwarzschildradius.

Die reduzierte Compton-Wellenlänge λ _r ist eine charakteristische Länge, die Bereiche trennt, in denen klassische Theorien gültig sind ${\displaystyle \hbar /Mc}$, von solchen, in denen Quanteneffekte auftreten. Der Schwarzschildradius ( r_B${\displaystyle 2GM/c^{2}}$ ) einer gegebenen Masse m${\displaystyle M}$ entspricht dem Doppelten ihrer reduzierten Compton-Wellenlänge, wenn m${\displaystyle M}$ gleich einer Planck-Masse ( m_P ) ist;${\textstyle M={\sqrt {\hbar c/G}}}$ beide entsprechen dann der Planck-Länge ( l_{P ${\textstyle {\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}$} ). Die Extrapolation der Compton- und Schwarzschild-Beziehungen auf ihren Schnittpunkt erfordert wahrscheinlich Korrekturen aufgrund der Quantengravitation . ^{[ 20 ]}

Die Schwarzschild-Radiusgleichung lässt sich so umformen, dass man einen Ausdruck erhält, der den größtmöglichen Radius für eine Eingangsdichte angibt, die kein Schwarzes Loch bildet. Sei ρ die Eingangsdichte . $${\displaystyle r_{\text{s}}={\sqrt {\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho }}}.}$$

Die Dichte von Wasser beträgt beispielsweise1000 kg/m³ ^. Das bedeutet, die größte Wassermenge, die man haben kann, ohne dass sich ein Schwarzes Loch bildet, hätte einen Radius von400 920 754  km (ca. 2,67  AE ).

Der Begriff Gravitationsradius wird manchmal ^{[ 21 ]} synonym mit dem Schwarzschildradius verwendet und bezeichnet manchmal ^{[ 22 ]} eine halb so große Konstante . Daher wird dieser Begriff im Bildungsbereich vermieden. ^{[ 23 ] : 2–21} ${\displaystyle R_{\textrm {G}}=GM/c^{2}}$

• Schwarzes Loch , ein allgemeiner Überblick
• Chandrasekhar-Grenze , eine zweite Voraussetzung für die Entstehung Schwarzer Löcher
• John Michell

Klassifizierung von Schwarzen Löchern nach Typ:

• Statisches oder Schwarzschild-Schwarzes Loch
• Rotierendes oder Kerr-Schwarzes Loch
• Geladenes Schwarzes Loch oder Newman-Schwarzes Loch und Kerr-Newman-Schwarzes Loch

Eine Klassifizierung von Schwarzen Löchern nach ihrer Masse:

• Mikro-Schwarzes Loch und extradimensionales Schwarzes Loch
• Planck-Länge
• Urzeitliches Schwarzes Loch , ein hypothetischer Überrest des Urknalls
• Stellares Schwarzes Loch , das entweder ein statisches oder ein rotierendes Schwarzes Loch sein kann
• Supermassives Schwarzes Loch , das entweder ein statisches oder ein rotierendes Schwarzes Loch sein kann
• Das sichtbare Universum , wenn seine Dichte die kritische Dichte aufweist , als hypothetisches Schwarzes Loch
• Virtuelles Schwarzes Loch