Sekantenlinie

In der Geometrie ist eine Sekante eine Gerade , die eine Kurve in mindestens zwei verschiedenen Punkten schneidet . ^{[ 1 ]} Das Wort Sekante stammt vom lateinischen Wort „secare “ ab , was „schneiden“ bedeutet . ^{[ 2 ]} Im Falle eines Kreises schneidet eine Sekante den Kreis in genau zwei Punkten. Die Sehne ist die Strecke, die durch diese beiden Punkte bestimmt wird, also das Intervall auf der Sekante, dessen Endpunkte die beiden Punkte sind. ^{[ 3 ]}

Eine Gerade kann einen Kreis in null, einem oder zwei Punkten schneiden. Eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante , in einem Punkt Tangente und in keinem Punkt äußere Gerade . Eine Sehne ist die Strecke, die zwei verschiedene Punkte eines Kreises verbindet. Jede Sehne ist daher in genau einer Sekante enthalten, und jede Sekante definiert genau eine Sehne.

In strengen modernen Darstellungen der ebenen Geometrie werden üblicherweise Ergebnisse bewiesen, die offensichtlich erscheinen und von Euklid in seiner Abhandlung (ohne Angabe) vorausgesetzt wurden .

Zum Beispiel Satz (Elementare Kreisstetigkeit) : ^{[ 4 ]} Wenn ein Kreis ist und eine Gerade, die einen Punkt A enthält , der innerhalb von liegt, und einen Punkt B , der außerhalb von liegt, dann ist eine Sekante für . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

In manchen Situationen kann die Formulierung von Ergebnissen mithilfe von Sekanten anstelle von Akkorden zur Vereinheitlichung von Aussagen beitragen. Betrachten wir beispielsweise das Ergebnis: ^{[ 5 ]}

Wenn zwei Sekanten die Sehnen AB und CD in einem Kreis enthalten und sich in einem Punkt P schneiden , der nicht auf dem Kreis liegt, dann gilt für die Längen der Sehnensegmente AP ⋅ PB = CP ⋅ PD .

Liegt der Punkt P innerhalb des Kreises, entspricht dies Euklid III.35; liegt er jedoch außerhalb des Kreises, ist das Ergebnis nicht in den Elementen enthalten. Robert Simson bewies dieses Ergebnis, das manchmal auch als Schnittmengensektensatz bezeichnet wird, jedoch in Anlehnung an Christopher Clavius ​​in seinen Euklid-Kommentaren. ^{[ 6 ]}

Bei Kurven, die komplexer als einfache Kreise sind, besteht die Möglichkeit, dass eine Gerade die Kurve in mehr als zwei verschiedenen Punkten schneidet. Manche Autoren definieren eine Sekante als eine Gerade, die die Kurve in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Diese Definition lässt die Möglichkeit offen, dass die Gerade weitere Schnittpunkte mit der Kurve haben kann. So formuliert, sind die Definitionen einer Sekante für Kreise und Kurven identisch, und die Möglichkeit zusätzlicher Schnittpunkte ist bei einem Kreis ausgeschlossen.

Sekanten können verwendet werden, um die Tangente an eine Kurve in einem Punkt P anzunähern , sofern dieser existiert. Eine Sekante an eine Kurve wird durch zwei Punkte P und Q definiert , wobei P fest und Q variabel ist. Nähert sich Q entlang der Kurve P dem Punkt P, so definiert der Grenzwert der Steigung der Sekante die Steigung der Tangente in P , wenn sich ihre Steigung einem Grenzwert annähert . ^{[ 1 ]} Die Sekanten PQ sind Näherungen der Tangente. In der Analysis entspricht diese Idee der geometrischen Definition der Ableitung .

Eine Tangente an eine Kurve in einem Punkt P kann eine Sekante dieser Kurve sein, wenn sie die Kurve in mindestens einem anderen Punkt als P schneidet . Anders ausgedrückt: Die Eigenschaft, eine Tangente in einem Punkt P zu sein, ist lokal und hängt nur von der Kurve in unmittelbarer Nähe von P ab , während die Eigenschaft, eine Sekante zu sein, global ist , da der gesamte Definitionsbereich der die Kurve erzeugenden Funktion betrachtet werden muss.

Das Konzept der Sekanten lässt sich auch auf allgemeinere Bereiche als den euklidischen Raum anwenden. Sei K eine endliche Menge von k Punkten in einem geometrischen Kontext. Eine Gerade heißt n -Sekante von K , wenn sie genau n Punkte von K enthält . ^{[ 7 ]} Besteht K beispielsweise aus 50 Punkten auf einem Kreis in der euklidischen Ebene, so ist die Verbindungsgerade zweier dieser Punkte eine 2-Sekante (oder Bisekante ), und die Gerade, die genau durch einen dieser Punkte verläuft, ist eine 1-Sekante (oder Unisekante ). Eine Unisekante muss in diesem Beispiel keine Tangente an den Kreis sein.

Diese Terminologie findet häufig Verwendung in der Inzidenzgeometrie und der diskreten Geometrie . Beispielsweise besagt der Satz von Sylvester-Gallai in der Inzidenzgeometrie, dass, wenn n Punkte der euklidischen Geometrie nicht auf einer Geraden liegen , eine 2-Sekante von ihnen existieren muss. Und das ursprüngliche Problem der Obstgartenpflanzung in der diskreten Geometrie fragt nach einer Schranke für die Anzahl der 3-Sekanten einer endlichen Punktmenge.

Die Endlichkeit der Punktmenge ist für diese Definition nicht wesentlich, solange jede Gerade die Punktmenge nur in einer endlichen Anzahl von Punkten schneidet.

• Elliptische Kurve , eine Kurve, bei der jede Sekante einen dritten Schnittpunkt hat, aus der der größte Teil eines Gruppengesetzes definiert werden kann
• Der Mittelwertsatz besagt , dass jede Sekante des Graphen einer glatten Funktion eine parallele Tangente besitzt.
• Quadrisecant , eine Gerade, die vier Punkte einer Kurve (üblicherweise einer Raumkurve) schneidet
• Sekantenebene , das dreidimensionale Äquivalent einer Sekantenlinie
• Sekantenvarietät , die Vereinigung von Sekanten und Tangenten an eine gegebene projektive Varietät
• Tangenten-Sekanten-Satz , der die Beziehung zwischen Strecken beschreibt, die von einer Sekante und einer Tangente erzeugt werden

• Weisstein, Eric W. „Sekantenlinie“ . MathWorld .