Gleichung für die Bodenfeuchtegeschwindigkeit

Die Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung ^{[ 1 ]} beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich Wasser unter dem Einfluss von Schwerkraft und Kapillarität vertikal durch ungesättigten Boden bewegt – ein Prozess, der als Infiltration bekannt ist ^{. Die Gleichung ist eine alternative Form der Richardson-/Richards-Gleichung [2, 3} ] . Der ^{Hauptunterschied besteht darin , dass} die abhängige Variable die Position der Benetzungsfront ist , welche eine Funktion der Zeit, des Wassergehalts und der Eigenschaften des Bodens darstellt. Die Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung besteht aus zwei Termen. Der erste, „advektionsähnliche“ Term wurde zur Simulation der Oberflächeninfiltration entwickelt ^{[ 4 ]} und auf den Grundwasserspiegel erweitert ^{[ 5 ].} Dies wurde anhand von Daten aus einem Säulenversuch verifiziert, der dem bekannten Experiment von Childs & Poulovassilis (1962) nachempfunden war ^{[ 6 ]} und mit exakten Lösungen verglichen wurde ^{[ 7 , 1 ] .}${\displaystyle z}$

Die Bodenfeuchtegeschwindigkeitsgleichung ^{[ 1 ]} oder SMVE ist eine Lagrangesche Neuinterpretation der Eulerschen Richards-Gleichung, wobei die abhängige Variable die Position z einer Benetzungsfront mit einem bestimmten Feuchtigkeitsgehalt in Abhängigkeit von der Zeit ist. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Wo:

${\displaystyle z}$ist die vertikale Koordinate [L] (positiv nach unten),

${\displaystyle \theta }$ist der Wassergehalt des Bodens an einem Punkt [-]

${\displaystyle K(\theta )}$ist die ungesättigte hydraulische Leitfähigkeit [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi (\theta )}$ist der Kapillardruckkopf [L],

${\displaystyle D(\theta )}$ist die Bodenwasserdiffusivität, die wie folgt definiert ist: , [L ² T]${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta }$

${\displaystyle t}$ist die Zeit [T].

Der erste Term auf der rechten Seite der Bodenfeuchtegleichung (SMVE) wird als „advektionsartiger“ Term, der zweite als „diffusionsartiger“ Term bezeichnet. Der advektionsartige Term der Bodenfeuchtegleichung ist besonders nützlich zur Berechnung des Vorrückens von Benetzungsfronten in einem ungesättigten porösen Medium unter dem Einfluss von Schwerkraft und Kapillarität, da er durch Vernachlässigung des diffusionsartigen Terms in eine gewöhnliche Differentialgleichung überführt werden kann ^{[ 5 ]} . Zudem umgeht er das Problem des repräsentativen Elementarvolumens durch eine feine Diskretisierung des Wassergehalts und ein entsprechendes Lösungsverfahren.

Diese Gleichung wurde mithilfe der Linienmethode ^{[ 8 ]} in ein System aus drei gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) ^{[ 5 ]} umgewandelt , indem die partiellen Ableitungen auf der rechten Seite der Gleichung in geeignete Finite-Differenzen -Formen überführt wurden. Diese drei ODE beschreiben die Dynamik von infiltrierendem Wasser, fallenden Wassermassen bzw. kapillarem Grundwasser.

Diese Herleitung der 1D Bodenfeuchtegeschwindigkeitsgleichung ^{[ 1 ]} zur Berechnung des vertikalen Wasserflusses in der ungesättigten Zone beginnt mit der Massenerhaltung für ein ungesättigtes poröses Medium ohne Quellen oder Senken: ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.}$

Als nächstes fügen wir den ungesättigten Buckingham-Darcy-Fluss ein: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),}$

Dies führt zu Richards' Gleichung ^{[ 2 ]} in gemischter Form, da sie sowohl den Wassergehalt als auch den Kapillardruck berücksichtigt : ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]}$Die

Anwendung der Kettenregel der Differentiation auf die rechte Seite der Richards-Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))}$Die

Unter der Annahme, dass die konstitutiven Gleichungen für die ungesättigte hydraulische Leitfähigkeit und die Bodenkapillarität ausschließlich Funktionen des Wassergehalts bzw. sind : ${\displaystyle K=K(\theta )}$${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}}$Die

Diese Gleichung definiert implizit eine Funktion , die die Position eines bestimmten Feuchtigkeitsgehalts im Boden mithilfe einer endlichen Feuchtigkeitsdiskretisierung beschreibt. Unter Anwendung des Satzes über implizite Funktionen , der gemäß der Kreisregel die Division beider Seiten dieser Gleichung durch erforderte, um die Variablentransformation durchzuführen, ergibt sich: ${\displaystyle Z_{R}(\theta ,t)}$${\displaystyle {-\partial \theta }/{\partial z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )}$,

was sich wie folgt schreiben lässt:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]}$Die

Einfügen der Definition der Bodenwasserdiffusivität:

${\displaystyle D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

Einsetzen in die vorherige Gleichung ergibt:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Betrachtet man die Geschwindigkeit eines bestimmten Wassergehalts , so lässt sich die Gleichung in der Form der Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung schreiben : ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Die in Form des Feuchtigkeitsgehalts geschriebene 1-D Richards-Gleichung lautet ^{[ 10 ].}

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}}$

Hierbei ist D ( θ ) [L ² /T] die „Bodenwasserdiffusivität“, wie zuvor definiert.

Bei Verwendung von als abhängiger Variable ist die physikalische Interpretation schwierig, da alle Faktoren, die die Divergenz des Flusses beeinflussen, im Bodenfeuchtediffusivitätsterm enthalten sind . Im SMVE hingegen werden die drei flussbestimmenden Faktoren in separaten Termen mit physikalischer Bedeutung dargestellt. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle D(\theta )}$

Die grundlegenden Annahmen, die der Herleitung der Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung zugrunde liegen, sind, dass sie nicht übermäßig restriktiv sind. Analytische und experimentelle Ergebnisse zeigen, dass diese Annahmen unter den meisten Bedingungen in natürlichen Böden akzeptabel sind. In diesem Fall ist die Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung äquivalent zur eindimensionalen Richards-Gleichung, allerdings mit einer Änderung der abhängigen Variablen. Diese Änderung der abhängigen Variablen ist vorteilhaft, da sie die Komplexität des Problems reduziert. Im Gegensatz zur Richards-Gleichung , die die Berechnung der Flussdivergenz erfordert, stellt die Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung eine Flussberechnung und keine Divergenzberechnung dar. Der erste Term auf der rechten Seite der Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung repräsentiert die beiden skalaren Einflussfaktoren des Flusses: die Schwerkraft und die integrierte Kapillarität der Benetzungsfront. Betrachtet man nur diesen Term, ergibt sich die Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung zu: ${\displaystyle K=K(\theta )}$${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]}$

Hierbei handelt es sich um den Kapillardruckgradienten, der den Fluss antreibt, und der verbleibende Leitfähigkeitsterm beschreibt die Fähigkeit der Schwerkraft, den Fluss durch den Boden zu leiten. Dieser Term ist verantwortlich für die tatsächliche Advektion von Wasser durch den Boden unter dem kombinierten Einfluss von Schwerkraft und Kapillarität. Daher wird er als „advektionsähnlicher“ Term bezeichnet. ${\displaystyle {\partial \psi (\theta )}/{\partial z}}$${\displaystyle K'(\theta )}$

Unter Vernachlässigung der Schwerkraft und der skalaren Benetzungsfrontkapillarität kann nur der zweite Term auf der rechten Seite der Bodenfeuchtegeschwindigkeitsgleichung betrachtet werden. In diesem Fall lautet die Bodenfeuchtegeschwindigkeitsgleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Dieser Term weist eine auffällige Ähnlichkeit mit dem zweiten Fickschen Diffusionsgesetz auf . Aus diesem Grund wird er als der „diffusionsähnliche“ Term der SMVE bezeichnet.

Dieser Term repräsentiert den durch die Form der Benetzungsfront bedingten Fluss , dividiert durch den räumlichen Gradienten des Kapillarkopfes . Betrachtet man diesen diffusionsähnlichen Term, stellt sich die Frage, wann er vernachlässigbar sein könnte. Die erste Antwort lautet: Dieser Term ist null, wenn die erste Ableitung gleich null ist, da dann auch die zweite Ableitung null ist. Ein Beispiel hierfür ist ein hydrostatisches Gleichgewichtsfeuchteprofil, bei dem z als positiv nach oben definiert ist. Dies ist ein physikalisch realistisches Ergebnis, da ein hydrostatisches Gleichgewichtsfeuchteprofil bekanntermaßen keine Flüsse erzeugt. ${\displaystyle -D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}}$${\displaystyle {\partial \psi /\partial z}}$${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C}$${\displaystyle \partial \psi /\partial z=-1}$

Ein weiterer Fall, in dem der diffusionsähnliche Term nahezu null ist, sind scharfe Benetzungsfronten, bei denen der Nenner des diffusionsähnlichen Terms gegen null tendiert , wodurch der Term verschwindet. Scharfe Benetzungsfronten sind bekanntermaßen schwer aufzulösen und mit herkömmlichen numerischen Lösern der Richards-Gleichung genau zu bestimmen. ^{[ 11 ]}${\displaystyle \partial \psi /\partial z\to \infty }$

Schließlich strebt bei trockenen Böden der Wert gegen , wodurch auch die Bodenwasserdiffusivität gegen null tendiert. In diesem Fall würde der diffusionsähnliche Term keinen Fluss erzeugen. ${\displaystyle K(\theta )}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle D(\theta )}$

Ein Vergleich mit exakten Lösungen der Richards-Gleichung für die Infiltration in idealisierte Böden, entwickelt von Ross & Parlange (1994) ^{[ 12 ],} zeigte ^{[ 1 ]} , dass die Vernachlässigung des diffusionsähnlichen Terms tatsächlich zu einer Genauigkeit von über 99 % bei der Berechnung der kumulativen Infiltration führte. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass der advektionsähnliche Term der SMVE, umgewandelt in eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) mithilfe der Linienmethode, eine genaue ODE-Lösung des Infiltrationsproblems darstellt. Dies stimmt mit dem Ergebnis von Ogden et al. ^{[ 5 ]} überein, die Fehler von 0,3 % in der simulierten kumulativen Infiltration feststellten, indem sie 263 cm tropischen Niederschlag über einen Zeitraum von acht Monaten als Grundlage für ihre Infiltrationssimulationen verwendeten und die advektionsähnliche SMVE-Lösung mit der numerischen Lösung der Richards-Gleichung verglichen.

Der advektionsartige Term der SMVE kann mithilfe der Linienmethode und einer Diskretisierung des endlichen Feuchtigkeitsgehalts gelöst werden . Diese Lösung des advektionsartigen Terms der SMVE ersetzt die eindimensionale Richards-Gleichung durch ein System aus drei gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE). Diese drei ODE lauten:

In Bezug auf Abbildung 1 kann Wasser, das in die Landoberfläche eindringt, durch den Porenraum zwischen und fließen . Die Methode der geraden Gleichungen wird verwendet , um den advektionsähnlichen Term des SMVE in eine gewöhnliche Differentialgleichung umzuwandeln. ${\displaystyle \theta _{d}}$${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Unter der Annahme, dass jede aufgestaute Wassertiefe an der Landoberfläche ist , wird die Annahme von Green und Ampt (1911) ^{[ 13 ]} verwendet. ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

stellt den Kapillardruckgradienten dar, der die Strömung in der Diskretisierung oder dem „Bin“ antreibt. Daher lautet die Gleichung für den endlichen Wassergehalt im Fall von Infiltrationsfronten: ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Nachdem der Regen aufgehört hat und das gesamte Oberflächenwasser versickert ist, löst sich das Wasser in Behältern mit Infiltrationsfronten von der Landoberfläche. Unter der Annahme, dass die Kapillarität an der Vorder- und Hinterkante dieses „fallenden Wasserstrahls“ ausgeglichen ist, sickert das Wasser mit der dem Behälter zugeordneten inkrementellen Leitfähigkeit durch das Medium. ${\displaystyle j^{\text{th}}\ \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$Die

Dieser Ansatz zur Lösung des kapillarfreien Problems ist der kinematischen Wellennäherung sehr ähnlich.

In diesem Fall erfolgt der Wasserfluss zum Behälter zwischen Behälter j und i . Daher gilt im Rahmen der Linienmethode : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

Und

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

woraus Folgendes folgt:

${\displaystyle \left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Beachten Sie die „-1“ in Klammern, die die entgegengesetzte Wirkung von Schwerkraft und Kapillarität verdeutlicht. Die Gültigkeit dieser Gleichung wurde anhand eines Säulenexperiments nach dem Vorbild von Childs und Poulovassilis (1962) [6] verifiziert [7]. ^{Die Ergebnisse dieser Validierung zeigten ,} dass die Berechnungsmethode für den Fluss in der ungesättigten Zone bei endlichem Wassergehalt vergleichbare Ergebnisse wie die numerische Lösung der Richards-Gleichung lieferte. Das Foto zeigt den Versuchsaufbau. Daten aus diesem Säulenexperiment sind über den verlinkten DOI verfügbar . Diese Daten eignen sich zur Evaluierung von Modellen der Dynamik des oberflächennahen Grundwasserspiegels.

Bemerkenswert ist, dass der advektionsähnliche Term des SMVE, der mit der Methode des endlichen Feuchtigkeitsgehalts gelöst wird, die Schätzung der spezifischen Ergiebigkeit vollständig überflüssig macht . Die Berechnung der spezifischen Ergiebigkeit bei Annäherung des Grundwasserspiegels an die Geländeoberfläche wird durch Nichtlinearitäten erschwert. Das SMVE, das mit einer Diskretisierung des endlichen Feuchtigkeitsgehalts gelöst wird, erledigt dies jedoch im Fall eines dynamischen oberflächennahen Grundwasserspiegels praktisch automatisch.

Die Arbeit zur Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung wurde bei ihrer Erstveröffentlichung vom Herausgeber der Zeitschrift „ Journal of Advanced Modeling of Earth Systems“ hervorgehoben und ist gemeinfrei. Sie kann hier von jedem kostenlos heruntergeladen werden. Die Arbeit, die die Lösung für endlichen Feuchtigkeitsgehalt des advektionsartigen Terms der Bodenfeuchte-Geschwindigkeitsgleichung beschreibt, wurde von den Nachwuchswissenschaftlern der International Association of Hydrogeologists mit dem „Coolest Paper Award 2015“ ausgezeichnet .

• Ein YouTube-Video der SMVE-basierten Lösung wurde während eines Regens verlangsamt, um das Verhalten zu verdeutlichen. Der Grundwasserspiegel lag bei 1,0 m, die Evapotranspiration aus einer 0,5 m tiefen Wurzelzone.