Spearmans Rangkorrelationskoeffizient

In der Statistik ist der Spearman - Rangkorrelationskoeffizient ( Spearman- ρ) eine Zahl zwischen -1 und 1, die angibt, wie stark zwei Ranglisten korreliert sind. Er kann beispielsweise verwendet werden, wenn nur Rangdaten vorliegen, wie etwa die Anzahl der Gold-, Silber- und Bronzemedaillen. Möchte ein Statistiker beispielsweise herausfinden, ob Spitzenläufer im Sprint auch im Langstreckenlauf Spitzenplätze belegen, verwendet er den Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten.

Der nach Charles Spearman ^{[ 1 ]} benannte Koeffizient wird häufig mit dem griechischen Buchstaben Rho (ρ) bezeichnet . Er ist ein nichtparametrisches Maß für die Rangkorrelation ( statistische Abhängigkeit zwischen den Rangfolgen zweier Variablen ). Er bewertet, wie gut sich die Beziehung zwischen zwei Variablen durch eine monotone Funktion beschreiben lässt . ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r_{s}}$

Die Spearman-Korrelation zwischen zwei Variablen entspricht der Pearson-Korrelation zwischen den Rangwerten dieser beiden Variablen. Während die Pearson-Korrelation lineare Zusammenhänge erfasst, untersucht die Spearman-Korrelation monotone Zusammenhänge (unabhängig davon, ob diese linear sind oder nicht). Bei fehlenden Datenwiederholungen ergibt sich eine perfekte Spearman-Korrelation von +1 oder −1, wenn jede der Variablen eine perfekte monotone Funktion der anderen ist.

Intuitiv betrachtet ist die Spearman-Korrelation zwischen zwei Variablen hoch, wenn die Beobachtungen einen ähnlichen (oder bei einer Korrelation von 1 identischen) Rang (d. h. relative Positionsbezeichnung der Beobachtungen innerhalb der Variablen: 1., 2., 3. usw.) zwischen den beiden Variablen aufweisen, und niedrig, wenn die Beobachtungen einen unähnlichen (oder bei einer Korrelation von −1 völlig gegensätzlichen) Rang zwischen den beiden Variablen aufweisen.

Der Spearman-Koeffizient eignet sich sowohl für stetige als auch für diskrete Ordinalvariablen . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sowohl der Spearman- als auch der Kendall-Koeffizient können als Spezialfälle eines allgemeineren Korrelationskoeffizienten formuliert werden . ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau }$

Der Koeffizient kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie gut Daten zu einem Modell passen, ^{[ 4 ]} beispielsweise bei der Bestimmung der Ähnlichkeit von Textdokumenten. ^{[ 5 ]}

Der Spearman-Korrelationskoeffizient ist definiert als der Pearson-Korrelationskoeffizient zwischen den Rangvariablen . ^{[ 6 ]}

Bei einer Stichprobe der Größe werden die Paare von Rohwerten in Ränge umgewandelt und wie folgt berechnet: ${\displaystyle \ n\ ,}$${\displaystyle \ n\ }$${\displaystyle \ \left(X_{i},Y_{i}\right)\ }$${\displaystyle \ \operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\ ,}$${\displaystyle \ r_{s}\ }$

${\displaystyle r_{s}=\operatorname {\rho } {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}={\frac {\ \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }{\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }},}$

Wo

${\displaystyle \operatorname {\rho } \ }$bezeichnet den herkömmlichen Pearson-Korrelationskoeffizientenoperator , angewendet auf Rangvariablen.

${\displaystyle \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }$ist die Kovarianz der Rangvariablen,

${\displaystyle \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ }$und sind die Standardabweichungen der Rangvariablen.${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }$

Nur wenn alle Ränge unterschiedliche ganze Zahlen sind (keine Gleichstände), kann sie mit der gängigen Formel berechnet werden. ${\displaystyle \ n\ }$

${\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}\ ,}$

Wo

${\displaystyle d_{i}\equiv \operatorname {R} [X_{i}]-\operatorname {R} [Y_{i}]\ }$ist die Differenz zwischen den beiden Rängen jeder Beobachtung.

${\displaystyle \ n\ }$ist die Anzahl der Beobachtungen.

Identischen Werten werden üblicherweise ^{[ 7 ]} jeweils Bruchteilsränge zugewiesen , die dem Durchschnitt ihrer Positionen in der aufsteigenden Reihenfolge der Werte entsprechen, was gleichbedeutend ist mit der Mittelung über alle möglichen Permutationen.

Sind Bindungen im Datensatz vorhanden, liefert die obige vereinfachte Formel falsche Ergebnisse: Nur wenn in beiden Variablen alle Ränge verschieden sind, dann (berechnet anhand der verzerrten Varianz). Die erste Gleichung – die mit der Standardabweichung normalisiert – kann auch dann verwendet werden, wenn die Ränge auf [0, 1] normalisiert sind („relative Ränge“), da sie unempfindlich gegenüber Translation und linearer Skalierung ist. ${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}}$${\displaystyle {}=\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X]\ {\bigr ]}}$${\displaystyle =\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}}$${\displaystyle ={\tfrac {\ 1\ }{12}}(n^{2}-1)\ }$

Die vereinfachte Methode sollte auch nicht angewendet werden, wenn der Datensatz abgeschnitten ist; das heißt, wenn der Spearman-Korrelationskoeffizient für die obersten X Datensätze (sei es nach Rang vor oder nach der Änderung oder nach beiden) benötigt wird, sollte der Benutzer die oben angegebene Formel für den Pearson-Korrelationskoeffizienten verwenden. ^{[ 8 ]}

Es gibt verschiedene weitere numerische Maße, die das Ausmaß der statistischen Abhängigkeit zwischen Beobachtungspaaren quantifizieren. Das gebräuchlichste ist der Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient . Dieser ist ein ähnliches Korrelationsverfahren wie der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient und misst die „linearen“ Beziehungen zwischen den Rohdaten und nicht zwischen ihren Rängen.

Eine alternative Bezeichnung für die Spearman -Rangkorrelation ist „Gradkorrelation“ ^{[ 9 ]} . Hierbei wird der „Rang“ einer Beobachtung durch den „Grad“ ersetzt. In stetigen Verteilungen ist der Grad einer Beobachtung per Konvention immer um die Hälfte kleiner als der Rang, weshalb Grad- und Rangkorrelation in diesem Fall identisch sind. Allgemeiner ausgedrückt: Der „Grad“ einer Beobachtung ist proportional zu einer Schätzung des Anteils einer Population, der kleiner als ein bestimmter Wert ist, wobei die beobachteten Werte um die Hälfte reduziert werden. Dies entspricht einer möglichen Behandlung von Rangbindungen. Obwohl ungewöhnlich, ist die Bezeichnung „Gradkorrelation“ weiterhin gebräuchlich ^{[ 10 ] .}

Positive und negative Spearman-Rangkorrelationen

Ein positiver Spearman - Korrelationskoeffizient entspricht einem steigenden monotonen Trend zwischen X und Y.

Ein negativer Spearman- Korrelationskoeffizient entspricht einem abnehmenden monotonen Trend zwischen X und Y.

Das Vorzeichen der Spearman-Korrelation gibt die Richtung des Zusammenhangs zwischen X (der unabhängigen Variable) und Y (der abhängigen Variable) an. Steigt Y tendenziell mit steigendem X , ist der Spearman-Korrelationskoeffizient positiv. Sinkt Y tendenziell mit steigendem X , ist der Spearman-Korrelationskoeffizient negativ. Eine Spearman-Korrelation von null bedeutet, dass Y weder tendenziell steigt noch fällt, wenn X steigt. Die Stärke der Spearman-Korrelation nimmt zu, je mehr sich X und Y einer perfekt monotonen Beziehung annähern. Bei einer perfekt monotonen Beziehung zwischen X und Y beträgt der Spearman-Korrelationskoeffizient 1. Eine perfekt monoton steigende Beziehung bedeutet, dass für je zwei Datenwertepaare X _{_i} , Y _{_i} und X _{_j} , Y _{_j} die Differenzen X_i − X _{_j} und Y _i ₋ Y _j stets dasselbe Vorzeichen haben. Eine perfekt monoton fallende Beziehung bedeutet, dass diese Differenzen stets unterschiedliche Vorzeichen haben.

Der Spearman-Korrelationskoeffizient wird oft als „nichtparametrisch“ bezeichnet. Dies kann zweierlei bedeuten. Erstens ergibt sich eine perfekte Spearman-Korrelation, wenn X und Y durch eine beliebige monotone Funktion verknüpft sind . Im Gegensatz dazu liefert die Pearson-Korrelation nur dann einen perfekten Wert, wenn X und Y durch eine lineare Funktion verknüpft sind . Zweitens ist die Spearman-Korrelation nichtparametrisch, da ihre exakte Stichprobenverteilung ermittelt werden kann, ohne die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y zu kennen (d. h. die Parameter) .

Die Stärke von Korrelationen ist ein wichtiger Aspekt bei der Interpretation von Korrelationsanalysen, doch die Beschreibungen der Korrelationsstärke sind nicht allgemein anerkannt. Ein kleiner Korrelationskoeffizient, der für eine sehr große Stichprobe berechnet wurde, kann statistisch signifikant sein, ohne dass ein quantitativer Zusammenhang zwischen den Variablen besteht. Umgekehrt kann ein großer Korrelationskoeffizient, der mit einer kleinen Stichprobe berechnet wurde, auf eine mögliche quantitative Beziehung zwischen den Variablen hindeuten, selbst wenn der Korrelationskoeffizient statistisch nicht signifikant ist. Akoglu (2018) ^{[ 11 ]} wies auf die Notwendigkeit einheitlicher Beschreibungen der Korrelationsstärke hin und lieferte unterschiedliche Deskriptoren und Schwellenwerte für Psychologie, Politik und Medizin. Da kein allgemeiner Konsens über die Stärke von Korrelationen besteht, definierte Granato (2014) ^{[ 12 ]} operationelle Definitionen für die Absolutwerte von Korrelationskoeffizienten: schwach (unter 0,5), mittel (0,5 bis unter 0,75), mittelstark (0,75 bis unter 0,85) und stark (0,85 bis unter 0,85). Diese Definitionen werden für hydrologische Analysen von Statistiken zur Regenwasserbehandlung verwendet. Auch Schober et al. (2018) ^{[ 13 ]} merken an, dass „…Grenzwerte willkürlich und inkonsistent sind und mit Bedacht eingesetzt werden sollten…“. Trotz dieser Warnung liefern Schober et al. (2018) eine Tabelle, die zeigt, dass Korrelationen bis einschließlich 0,1 vernachlässigbar sind; Korrelationen zwischen 0,1 und 0,39 schwach; Korrelationen zwischen 0,39 und 0,69 mittelstark. Korrelationen zwischen 0,69 und 0,89 oder höher gelten als stark; Korrelationen über 0,89 sind sehr stark. Die Stärke der Korrelation deutet auf das Potenzial für quantitative Zusammenhänge zwischen Variablen hin, doch ebenso wie die Korrelationskoeffizienten selbst, belegen diese Beschreibungen keine Kausalität.

In diesem Beispiel werden die willkürlichen Rohdaten in der folgenden Tabelle verwendet, um die Korrelation zwischen dem IQ einer Person und der Anzahl der Stunden, die sie pro Woche vor dem Fernseher verbringt, zu berechnen [fiktive Werte verwendet].

IQ​${\displaystyle X_{i}}$	Fernsehstunden pro Woche${\displaystyle Y_{i}}$
106	7
100	27
86	2
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Zunächst sollten Sie die folgenden Schritte ausführen, die in der nachstehenden Tabelle dargestellt sind. ${\displaystyle d_{i}^{2}}$

1. Sortieren Sie die Daten nach der ersten Spalte ( ). Erstellen Sie eine neue Spalte und weisen Sie ihr die Rangwerte 1, 2, 3, ..., n zu .${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$
2. Sortieren Sie anschließend die erweiterten Daten (mit ) nach der zweiten Spalte ( ). Erstellen Sie eine vierte Spalte und weisen Sie ihr analog die Rangwerte 1, 2, 3, ..., n zu .${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$
3. Erstellen Sie eine fünfte Spalte , um die Differenzen zwischen den beiden Rangspalten ( und ) zu speichern.${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$
4. Erstellen Sie eine letzte Spalte, um den quadrierten Wert der ersten Spalte zu speichern .${\displaystyle d_{i}^{2}}$${\displaystyle d_{i}}$

IQ​${\displaystyle X_{i}}$	Fernsehstunden pro Woche${\displaystyle Y_{i}}$	Rang${\displaystyle x_{i}}$	Rang${\displaystyle y_{i}}$	${\displaystyle d_{i}}$	${\displaystyle d_{i}^{2}}$
86	2	1	1	0	0
97	20	2	6	-4	16
99	28	3	8	-5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	-5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

Addiere die gefundenen Werte, um n zu erhalten . Der Wert von n ist 10. Diese Werte können nun wieder in die Gleichung eingesetzt werden. ${\displaystyle d_{i}^{2}}$${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

geben

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}$

woraus sich ρ = −29/165 = −0,175757575... mit einem p -Wert von 0,627188 (unter Verwendung der t -Verteilung ) ergibt.

Der Wert nahe null zeigt, dass die Korrelation zwischen IQ und Fernsehzeit sehr gering ist, obwohl der negative Wert nahelegt, dass längere Fernsehzeiten mit einem niedrigeren IQ einhergehen. Bei gleichen Ausgangswerten sollte diese Formel nicht verwendet werden; stattdessen ist der Pearson-Korrelationskoeffizient anhand der Ränge zu berechnen (wobei gleiche Werte wie oben beschrieben rangiert werden).

Konfidenzintervalle für Spearmans ρ lassen sich leicht mit dem Jackknife-Euklidischen-Likelihood-Ansatz von de Carvalho und Marques (2012) berechnen. ^{[ 14 ]} Das Konfidenzintervall mit dem Niveau basiert auf einem Satz von Wilks aus der genannten Arbeit und ist gegeben durch ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left\{\theta :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},}$

Dabei handelt es sich um das Quantil einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad, und die sind Jackknife-Pseudowerte. Dieser Ansatz ist im R-Paket spearmanCI implementiert . ${\displaystyle \chi _{1,\alpha }^{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Z_{i}}$

Ein Ansatz, um zu prüfen, ob ein beobachteter Wert von ρ signifikant von null abweicht ( r bleibt stets im Bereich −1 ≤ r ≤ 1 ), besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass er unter der Nullhypothese größer oder gleich dem beobachteten r ist. Hierfür wird ein Permutationstest verwendet . Ein Vorteil dieses Ansatzes ist, dass er die Anzahl der gebundenen Datenwerte in der Stichprobe und deren Behandlung bei der Berechnung der Rangkorrelation automatisch berücksichtigt.

Ein anderer Ansatz ähnelt der Verwendung der Fisher-Transformation im Fall des Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten. Das heißt, Konfidenzintervalle und Hypothesentests bezüglich des Populationswertes ρ können mithilfe der Fisher-Transformation durchgeführt werden:

${\displaystyle F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {arctanh} r.}$

Wenn F ( r ) die Fisher-Transformation von r , dem Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten der Stichprobe, und n der Stichprobenumfang ist, dann

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

ist ein z -Wert für r , der unter der Nullhypothese statistischer Unabhängigkeit ( ρ = 0 ) annähernd einer Standardnormalverteilung folgt . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Man kann auch einen Signifikanztest durchführen mit

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},}$

Diese Verteilung entspricht annähernd einer Student- t -Verteilung mit n − 2 Freiheitsgraden unter der Nullhypothese . ^{[ 17 ]} Eine Begründung für dieses Ergebnis beruht auf einem Permutationsargument. ^{[ 18 ]}

Eine Verallgemeinerung des Spearman-Korrelationskoeffizienten ist hilfreich, wenn drei oder mehr Bedingungen vorliegen, eine bestimmte Anzahl von Probanden in jeder Bedingung beobachtet wird und eine bestimmte Reihenfolge der Beobachtungen erwartet wird. Beispielsweise könnten mehrere Probanden jeweils drei Durchgänge derselben Aufgabe absolvieren, wobei eine Leistungsverbesserung von Durchgang zu Durchgang prognostiziert wird. Ein Test zur Signifikanz des Trends zwischen Bedingungen in dieser Situation wurde von E. B. Page ^{[ 19 ]} entwickelt und wird üblicherweise als Pages Trendtest für geordnete Alternativen bezeichnet.

Die klassische Korrespondenzanalyse ist eine statistische Methode, die jedem Wert zweier nominaler Variablen einen Punktwert zuweist. Dadurch wird der Pearson- Korrelationskoeffizient zwischen ihnen maximiert.

Es gibt ein Äquivalent dieser Methode, die sogenannte Gradkorrespondenzanalyse , die Spearmans ρ oder Kendalls τ maximiert . ^{[ 20 ]}

Es existieren zwei Ansätze zur Approximation des Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten aus Streaming-Daten. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Der erste Ansatz ^{[ 21 ]} beinhaltet die Vergröberung der gemeinsamen Verteilung von . Für kontinuierliche Werte werden Trennpunkte für und gewählt , wodurch diese Zufallsvariablen diskretisiert werden. Standardmäßig werden Trennpunkte bei und hinzugefügt. Anschließend wird eine Zählmatrix der Größe , bezeichnet als , erstellt, wobei die Anzahl der Beobachtungen speichert, die in die zweidimensionale Zelle mit dem Index fallen . Bei Streaming-Daten wird bei Eintreffen einer neuen Beobachtung das entsprechende Element inkrementiert. Der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient kann dann basierend auf der Zählmatrix mithilfe linearer Algebraoperationen berechnet werden (Algorithmus 2 ^{[ 21 ]} ). Für diskrete Zufallsvariablen ist keine Diskretisierung erforderlich. Diese Methode ist sowohl auf stationäre Streaming-Daten als auch auf große Datensätze anwendbar. Bei nicht-stationären Streaming-Daten, bei denen sich der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient im Zeitverlauf ändern kann, lässt sich dasselbe Verfahren anwenden, jedoch mit einem gleitenden Beobachtungsfenster. Bei Verwendung eines gleitenden Fensters steigt der Speicherbedarf linear mit der gewählten Fenstergröße. ${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle m_{1},m_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle (m_{1}+1)\times (m_{2}+1)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[i,j]}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle M[i,j]}$${\displaystyle M}$

Der zweite Ansatz zur Approximation des Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten aus Streaming-Daten verwendet Schätzer auf Basis von Hermite-Reihen. ^{[ 22 ]} Diese auf Hermite-Polynomen basierenden Schätzer ermöglichen die sequentielle Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und der kumulativen Verteilungsfunktion in univariaten und bivariaten Fällen. Bivariate Schätzer der Wahrscheinlichkeitsdichte und univariate Schätzer der kumulativen Verteilungsfunktion auf Basis von Hermite-Reihen werden in eine Version des Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten-Schätzers für große Stichproben eingesetzt, um einen sequentiellen Spearman-Korrelationsschätzer zu erhalten. Dieser Schätzer ist aus Gründen der Recheneffizienz in Form von linearen algebraischen Operationen formuliert (Gleichung (8) und Algorithmus 1 und 2 ^{[ 22 ]} ). Diese Algorithmen sind nur auf stetige Zufallsvariablen anwendbar, bieten in diesem Kontext jedoch gewisse Vorteile gegenüber dem Zählmatrix-Ansatz. Der erste Vorteil ist die höhere Genauigkeit bei großen Anzahlen von Beobachtungen. Der zweite Vorteil besteht darin, dass der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient für nicht-stationäre Datenströme ohne gleitendes Fenster berechnet werden kann. Stattdessen verwendet der auf Hermite-Reihen basierende Schätzer ein exponentielles Gewichtungsschema, um die zeitliche Variation der Spearman-Rangkorrelation aus den Streaming-Daten zu erfassen. Dieser Schätzer benötigt unabhängig von der effektiven Größe des gleitenden Fensters konstanten Speicherplatz. Eine Software-Implementierung dieser auf Hermite-Reihen basierenden Algorithmen existiert ^{[ 23 ]} und wird im Abschnitt „Software-Implementierungen“ erläutert.

• Das Basispaket `statistics` von Rcor.test(x, y, method = "spearman") implementiert den Test im Paket `stats` ( cor(x, y, method = "spearman")funktioniert ebenfalls). Das Paket `spearmanCI` berechnet Konfidenzintervalle. Das Paket `hermiter` ^{[ 23 ]} berechnet schnelle Batch-Schätzungen der Spearman-Korrelation sowie sequentielle Schätzungen (d. h. Schätzungen, die online/inkrementell aktualisiert werden, sobald neue Beobachtungen einfließen).
• Stata- Implementierung: Berechnet alle paarweisen Korrelationskoeffizienten für alle Variablen in varlist . spearman varlist
• MATLAB- Implementierung: [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman')Dabei rist der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient, pder p-Wert und xund ysind Vektoren. ^{[ 24 ]}
• In Python gibt es viele verschiedene Implementierungen der Spearman-Korrelationsstatistik: Sie kann mit der Funktion spearmanr des scipy.statsModuls, mit der DataFrame.corr(method='spearman')Methode aus der pandas -Bibliothek und mit der corr(x, y, method='spearman')Funktion aus dem Statistikpaket pingouin berechnet werden .

• Kendall-Tau-Rangkorrelationskoeffizient
• Tschebyscheffsche Summenungleichung , Umordnungsungleichung (Diese beiden Artikel könnten Aufschluss über die mathematischen Eigenschaften von Spearmans  ρ geben .)
• Distanzkorrelation
• Polychorische Korrelation

• Corder, G. W. & Foreman, D. I. (2014). Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach, Wiley. ISBN 978-1118840313Die
• Daniel, Wayne W. (1990). „Spearman-Rangkorrelationskoeffizient“ . Angewandte nichtparametrische Statistik (2. Aufl.). Boston: PWS-Kent. S.  358–365 . ISBN 978-0-534-91976-4Die
• Spearman C. (1904). „Der Beweis und die Messung der Assoziation zwischen zwei Dingen“ . American Journal of Psychology . 15 (1): 72–101 . doi : 10.2307/1412159 . JSTOR  1412159 .
• Bonett, DG; Wright, TA (2000). „Anforderungen an die Stichprobengröße für Pearson-, Kendall- und Spearman-Korrelationen“. Psychometrika . 65 : 23–28 . doi : 10.1007/bf02294183 . S2CID  120558581 .
• Kendall MG (1970). Rangkorrelationsmethoden (4. Aufl.). London: Griffin. ISBN 978-0-852-6419-96OCLC  136868 .​
• Hollander M., Wolfe DA (1973). Nichtparametrische statistische Methoden . New York: Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8OCLC  520735 .​
• Caruso JC, Cliff N. (1997). „Empirische Größe, Abdeckung und Teststärke von Konfidenzintervallen für Spearmans Rho“. Educational and Psychological Measurement . 57 (4): 637–654 . doi : 10.1177/0013164497057004009 . S2CID  120481551 .

• Tabelle der kritischen ρ- Werte für die Signifikanz bei kleinen Stichproben
• Spearmans Rangkorrelationskoeffizient – ​​Excel-Leitfaden : Beispieldaten und Formeln für Excel, entwickelt von der Royal Geographical Society .