In der sphärischen Geometrie ist ein sphärischer Mond (oder Biangle ) eine Fläche auf einer Kugel , die von zwei Halbkreisen begrenzt wird , die sich in antipodischen Punkten schneiden . [ 1 ] Er ist ein Beispiel für ein Digon {2} θ mit dem Diederwinkel θ. [ 2 ] Das Wort „Lune“ leitet sich von luna , dem lateinischen Wort für Mond, ab.
Eigenschaften
Großkreise sind die größtmöglichen Kreise (Umfänge) einer Kugel ; jeder Großkreis teilt die Kugeloberfläche in zwei gleich große Hälften. Zwei Großkreise schneiden sich stets in zwei gegenüberliegenden Punkten.
Gängige Beispiele für Großkreise sind Längengrade ( Meridiane ) auf einer Kugel, die sich am Nord- und Südpol treffen.
Eine sphärische Mondsichel besitzt zwei Symmetrieebenen. Sie kann in zwei Mondsicheln mit jeweils dem halben Winkel halbiert werden, oder sie kann durch eine Äquatoriallinie in zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke halbiert werden .
Oberfläche
Die Oberfläche einer kugelförmigen Mondsichel beträgt 2θ R 2 , wobei R der Radius der Kugel und θ der Diederwinkel in Radiant zwischen den beiden Halbkreisen ist.
Wenn dieser Winkel 2π Radiant (360°) beträgt – d. h., wenn sich der zweite halbe Großkreis um einen vollen Kreis bewegt hat und der dazwischenliegende Mond die Kugel als sphärisches Monogon bedeckt –, ergibt die Flächenformel für den sphärischen Mond 4π R 2 , die Oberfläche der Kugel .
Beispiele
Ein Hosoeder ist eine Parkettierung der Kugel durch Monde. Ein reguläres n-eckiges Hosoeder {2,n} besitzt n gleich große Monde mit π/ n Radiant. Ein n -Hosoeder hat eine Diedersymmetrie D<sub> n</sub> h , [ n ,2], (*22n ) der Ordnung 4n . Jeder einzelne Mond besitzt eine zyklische Symmetrie C <sub>2v</sub> , [2], (*22) der Ordnung 4.
Jedes Hosoeder kann mithilfe einer Äquatorialhalbierenden in zwei gleich große sphärische Dreiecke geteilt werden .
| N | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Hosohedra |  |  |  |  |  | ... |
| Bipyramidale Fliesen |  |  |  |  |  | ... |
Astronomie
Der von der Erde aus sichtbare, beleuchtete Teil des Mondes ist eine kugelförmige Mondsichel. Der erste der beiden sich schneidenden Großkreise bildet die Grenze zwischen der sonnenbeschienenen und der dunklen Hälfte des Mondes. Der zweite Großkreis ist ein terrestrischer Terminator, der die von der Erde aus sichtbare Hälfte von der unsichtbaren trennt. Der kugelförmige Mond erscheint von der Erde aus als beleuchtete Sichel .
n -Sphäre-Monde
Monde können auch auf höherdimensionalen Sphären definiert werden.
In vier Dimensionen ist eine 3-Sphäre eine verallgemeinerte Sphäre. Sie kann reguläre Digonmonde der Form {2} θ,φ enthalten , wobei θ und φ zwei Diederwinkel sind.
Ein reguläres Hosotop {2,p,q} besitzt beispielsweise zweieckige Flächen {2} 2π/p,2π/q , wobei seine Eckfigur ein sphärischer platonischer Körper {p,q} ist. Jeder Eckpunkt von {p,q} definiert eine Kante im Hosotop, und benachbarte Kantenpaare bilden Mondflächen. Genauer gesagt: Das reguläre Hosotop {2,4,3} besitzt 2 Eckpunkte, 8 Kanten mit einem Winkel von 180° in einem Würfel {4,3}, eine Eckfigur zwischen den beiden Eckpunkten, 12 Mondflächen {2} π/4,π/3 zwischen jeweils zwei benachbarten Kanten und 6 Hosoederzellen {2,p} π/3 .
Referenzen
- ^ Davis, Elwyn H. (1999). „Fläche sphärischer Dreiecke“. The Mathematics Teacher . 92 (2): 150–153 . doi : 10.5951/MT.92.2.0150 . JSTOR 27970882 .
- ^ Weisstein, Eric W. „Spherical Lune“ . MathWorld .
- Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables , 28. Aufl. Boca Raton, Florida: CRC Press, S. 130, 1987.
- Harris, JW und Stocker, H. „Sphärische Keile“. §4.8.6 in: Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, S. 108, 1998.
- Gellert, W.; Gottwald, S.; Hellwich, M.; Kästner, H.; und Künstner, H. (Hrsg.). VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2. Auflage. New York: Van Nostrand Reinhold, S. 262, 1989.
