Sternpolygon

Zwei Arten von Sternpentagonen

{5/2}	|5/2|
Ein regelmäßiges Sternpentagon { 5/2} hat fünf Ecken (seine Eckpunkte) und fünf sich schneidende Kanten, während ein konkaves Zehneck |5/2| zehn Kanten und zwei Gruppen von je fünf Ecken besitzt. Ersteres wird in Definitionen von Sternpolyedern und Sternparkettierungen verwendet , letzteres hingegen gelegentlich bei planaren Parkettierungen.
Kleines Sterndodekaeder	Parkettierung

In der Geometrie ist ein Sternpolygon eine Art nicht- konvexes Polygon . Regelmäßige Sternpolygone wurden eingehend untersucht; obwohl Sternpolygone im Allgemeinen scheinbar nicht formal definiert sind, können bestimmte bemerkenswerte Exemplare durch Abschneideoperationen an regelmäßigen einfachen oder Sternpolygonen entstehen.

Branko Grünbaum identifizierte zwei primäre Verwendungen dieser Terminologie durch Johannes Kepler : eine für die regulären Sternpolygone mit sich schneidenden Kanten , die keine neuen Eckpunkte erzeugen, und die andere für die isotoxalen konkaven einfachen Polygone . ^{[ 1 ]}

Zu den Polygrammen gehören Polygone wie das Pentagramm , aber auch zusammengesetzte Figuren wie das Hexagramm .

Eine in der Turtle-Grafik verwendete Definition eines Sternpolygons ist ein Polygon mit q ≥ 2 Windungen ( q wird als Windungszahl oder -dichte bezeichnet ), wie bei Spirolateralen . ^{[ 2 ]}

Sternpolygone setzen sich aus einem Zahlwortpräfix , wie z. B. Penta- , und dem griechischen Suffix -gramm zusammen (in diesem Fall ergibt sich das Wort Pentagramm ). Das Präfix ist üblicherweise eine griechische Kardinalzahl , es existieren aber auch Synonyme mit anderen Präfixen. So wird ein neunzackiges Polygon oder Enneagramm auch als Nonagramm bezeichnet , abgeleitet von der lateinischen Ordinalzahl Nona . Das Suffix -gramm stammt von γραμμή ( grammḗ ) und bedeutet Linie. ^{[ 3 ]} Der Name Sternpolygon spiegelt die Ähnlichkeit dieser Formen mit den Beugungsspitzen realer Sterne wider .

{5/2}

{7/2}

{7/3}

...

Ein regelmäßiges Sternpolygon ist ein sich selbst schneidendes, gleichseitiges und gleichwinkliges Polygon .

Ein regelmäßiges Sternpolygon wird durch sein Schläfli-Symbol { p / q } bezeichnet, wobei p (die Anzahl der Eckpunkte) und q (die Dichte ) teilerfremd sind (sie haben keine gemeinsamen Teiler) und q ≥ 2 gilt. Die Dichte eines Polygons kann auch als seine Drehzahl bezeichnet werden : die Summe der Drehwinkel aller Eckpunkte, geteilt durch 360°.

Die Symmetriegruppe von { p / q } ist die Diedergruppe D _p , von Ordnung 2 p , unabhängig von q .

Regelmäßige Sternpolygone wurden erstmals systematisch von Thomas Bradwardine und später von Johannes Kepler untersucht . ^{[ 4 ]}

Regelmäßige Sternpolygone entstehen, indem man einen Eckpunkt eines regelmäßigen p- seitigen Polygons mit einem anderen, nicht benachbarten Eckpunkt verbindet und diesen Vorgang fortsetzt, bis man wieder den Ausgangspunkt erreicht. ^{[ 5 ]} Alternativ kann man für ganze Zahlen p und q die Konstruktion betrachten, indem man jeden q -ten Punkt von p regelmäßig kreisförmig angeordneten Punkten verbindet. ^{[ 6 ]} Beispielsweise erhält man in einem regelmäßigen Fünfeck einen fünfzackigen Stern, indem man eine Linie vom ersten zum dritten Eckpunkt, vom dritten zum fünften, vom fünften zum zweiten, vom zweiten zum vierten und vom vierten zum ersten Eckpunkt zieht.

Wenn q ≥ p /2, dann ergibt die Konstruktion von { p / q } dasselbe Polygon wie { p /( p − q )}; das Verbinden jedes dritten Eckpunkts des Fünfecks liefert dasselbe Ergebnis wie das Verbinden jedes zweiten Eckpunkts. Die Eckpunkte werden jedoch in entgegengesetzter Richtung erreicht, was relevant ist, wenn retrograde Polygone in höherdimensionale Polytope integriert werden. Beispielsweise ergibt ein aus einem prograden Pentagramm {5/2} gebildetes Antiprisma ein pentagrammisches Antiprisma ; die analoge Konstruktion aus einem retrograden „gekreuzten Pentagramm“ {5/3} ergibt ein pentagrammisches gekreuztes Antiprisma . Ein weiteres Beispiel ist das Tetrahemihexaeder , das als „gekreuztes Dreieck“ {3/2} -Cuploid betrachtet werden kann .

Sind p und q nicht teilerfremd, entsteht ein entartetes Polygon mit zusammenfallenden Eckpunkten und Kanten. Beispielsweise erscheint {6/2} als Dreieck, kann aber mit zwei Eckpunktgruppen beschriftet werden: 1–3 und 4–6. Dies ist nicht als zwei überlappende Dreiecke zu verstehen, sondern als ein doppelt gewundenes, einzelnes unikursales Sechseck. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Alternativ lässt sich ein regelmäßiges Sternpolygon auch als Folge von Sternbildungen eines konvexen regelmäßigen Kernpolygons erzeugen . Konstruktionen auf Sternbildungsbasis ermöglichen auch die Erzeugung regelmäßiger Polygonverbindungen, wenn die Dichte q und die Anzahl p der Eckpunkte nicht teilerfremd sind. Bei der Konstruktion von Sternpolygonen aus Sternbildungen divergieren die Geraden jedoch unendlich, wenn q > p /2 gilt, und verlaufen parallel, wenn q = p /2 gilt. In beiden Fällen kommt es im euklidischen Raum zu keiner weiteren Schnittmenge. Es ist jedoch möglich, solche Polygone im sphärischen Raum ähnlich wie Monogone und Digone zu konstruieren ; diese Polygone scheinen bisher noch nicht detailliert untersucht worden zu sein.

Entfernt man die sich schneidenden Liniensegmente von einem regulären Stern -n -Eck, so ist die resultierende Figur nicht mehr regulär, sondern kann als isotoxales, konkaves , einfaches 2n - Eck mit abwechselnden Eckpunkten bei zwei verschiedenen Radien betrachtet werden. Branko Grünbaum stellt in „Tiling and patterns“ einen solchen Stern, der der Kontur eines regulären Polygramms { n / d } entspricht, als | n / d | oder allgemeiner als { nα _{} dar, was ein} isotoxales, konkaves oder konvexes, einfaches 2n - Eck mit dem äußeren Innenwinkel α bezeichnet .

• Für | n / d | ist der äußere Innenwinkel 𝛼 = 180(1 − 2 d / n ) Grad, notwendigerweise, und die inneren (neuen) Eckpunkte haben einen Außenwinkel β _ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ] Grad, notwendigerweise.
• Für { n _𝛼 } müssen die äußeren Innenwinkel und inneren Außenwinkel, ebenfalls mit 𝛼 und β _{_ext} bezeichnet , nicht mit denen eines regulären Polygramms { n / d } übereinstimmen; jedoch gilt notwendigerweise 𝛼 < 180(1 − 2/ n ) Grad und β _{_ext} < 180° (hier ist { n _𝛼 } konkav). ^{[ 1 ]}

Beispiele für isotoxale Sternpolygone

| n / d | { n 𝛼 }	|9/4| {9 20° }	{3 30° }	{6 30° }	|5/2| {5 36° }	{4 45° }	|8/3| {8 45° }	|6/2| {6 60° }	{5 72° }
𝛼	20°	30°		36°	45°		60°	72°
β ext	60°	150°	90°	108°	135°	90°	120°	144°
Isotoxal einfacher n -spitzer Stern
Verwandtes reguläres Polygramm { n / d }	{9/4}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} Sternfigur	{10/3}

Diese Polygone sind häufig in Parkettierungsmustern zu finden. Der parametrische Winkel 𝛼 (in Grad oder Radiant) kann so gewählt werden, dass er den Innenwinkeln benachbarter Polygone in einem Parkettierungsmuster entspricht. In seinem Werk „Harmonice Mundi“ von 1619 beschreibt Johannes Kepler neben periodischen Parkettierungen auch nichtperiodische, wie beispielsweise die Parkettierung mit drei regelmäßigen Fünfecken und einem regelmäßigen Sternfünfeck, die um bestimmte Eckpunkte angeordnet sind (5.5.5.5/2), welche mit den modernen Penrose-Parkettierungen verwandt ist . ^{[ 9 ]}

Beispiele für isogonale Parkettierungen mit isotoxalen einfachen Sternen ^{[ 10 ]}

Isotoxale einfache n -spitze Sterne	„Dreieckige“ Sterne ( n = 3)	"Quadratische" Sterne ( n = 4)	"Sechseckige" Sterne ( n = 6)			"Oktagonale" Sterne ( n = 8)
Bild der Kachelung
Vertex-Konfiguration.	3.3* 𝛼.3.3** 𝛼	8.4* π/4.8.4* π/4	6.6* π/3.6.6* π/3	3.6* π/3.6** π/3	3.6.6* π/3.6	nicht Kante an Kante

Das Innere eines Sternpolygons kann auf verschiedene Weisen behandelt werden. Drei solcher Behandlungen werden am Beispiel eines Pentagramms veranschaulicht. Branko Grünbaum und Geoffrey Shephard betrachten zwei davon: die eines regulären Stern -n -Ecks und die eines isotoxalen konkaven einfachen 2n - Ecks. ^{[ 9 ]}

Diese drei Behandlungen sind:

• Bei Liniensegmenten wird eine Seite als außen und die andere als innen behandelt. Dies ist in der linken Abbildung dargestellt und kommt häufig bei der computergestützten Vektorgrafikdarstellung vor .
• Die Anzahl der Umdrehungen der polygonalen Kurve um einen gegebenen Bereich bestimmt dessen Dichte . Der äußere Bereich erhält die Dichte 0, und jeder Bereich mit einer Dichte > 0 wird als innerer Bereich behandelt. Dies ist in der zentralen Abbildung dargestellt und wird häufig in der mathematischen Behandlung von Polyedern angewendet . (Bei nicht-orientierbaren Polyedern kann die Dichte jedoch nur modulo 2 betrachtet werden; daher wird in diesen Fällen aus Gründen der Konsistenz manchmal die erste Behandlungsmethode verwendet.)
• Wenn eine Strecke zwischen zwei Seiten gezeichnet wird, wird der Bereich, in dem die Strecke liegt, als innerhalb der Figur betrachtet. Dies ist in der Abbildung rechts dargestellt und kommt häufig beim Bau eines physischen Modells vor.

Bei der Berechnung der Fläche des Polygons liefert jede dieser Methoden ein anderes Ergebnis.

Sternförmige Polygone spielen in Kunst und Kultur eine wichtige Rolle. Sie können regelmäßig oder unregelmäßig sein , sind aber immer hochsymmetrisch . Beispiele hierfür sind:

• Das {5/2} Sternpentagon ( Pentagramm ) ist auch als Pentalpha oder Pentagramm bekannt und wurde historisch von vielen magischen und religiösen Kulten als okkult bedeutsam angesehen.
• Die Sternpolygone {7/2} und {7/3} ( Heptagramme ) haben ebenfalls eine okkulte Bedeutung, insbesondere in der Kabbala und in Wicca .
• Das {8/3}-Sternpolygon ( Oktagramm ) ist ein häufiges geometrisches Motiv in der islamischen Kunst und Architektur der Moguln ; das erste befindet sich auf dem Wappen Aserbaidschans .
• Auf dem Grabmal von Shah Nematollah Vali wurde ein elfzackiger Stern, das sogenannte Hendekagramm, verwendet . ^{[ 11 ]}

Ein {8/3} -Oktagramm , das in einem regelmäßigen Achteck konstruiert ist

Siegel Salomos mit Kreis und Punkten (Sternfigur)

• Fünfzackiger Stern  – Häufiges Ideogramm in der modernen Kultur
• Liste regulärer Polytope und Verbindungen § Sterne
• Magischer Stern  – Besondere Anordnung von Zahlen auf einem Stern
• Herraviischer Stern  – Weihnachtsdekoration
• Pentagramma mirificum  – 5-seitiges sternförmiges Polygon
• Regelmäßiger Stern 4-Polytop
• Rub el Hizb  – Islamisches Symbol in Form eines Oktagramms
• Stern (Graphem)  – Typografisches Symbol
• Sternpolyeder  – Polyeder mit einem bestimmten Muster der Nichtkonvexität
  • Kepler-Poinsot-Polyeder  – Eines der vier regulären Sternpolyeder
  • Gleichförmiges Sternpolyeder  – Selbstüberschneidendes gleichförmiges Polyeder
• Seestern  – Klasse der Stachelhäuter, Meerestiere

• Cromwell, P.; Polyeder , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2Taschenbuchausgabe 1999, ISBN 0-521-66405-5S. 175
• Grünbaum, B. und GC Shephard; Fliesen und Muster , New York: WH Freeman & Co. (1987), ISBN 0-7167-1193-1Die
• Grünbaum, B. ; Polyeder mit hohlen Flächen, Proc der NATO-ASI-Konferenz über Polytope ... etc. (Toronto, 1993) , hrsg. von T. Bisztriczky et al. , Kluwer Academic (1994), S. 43–70.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Die Symmetrien der Dinge , 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Kapitel 26, S. 404: Reguläre Sternpolytope Dimension 2)
• Branko Grünbaum , Metamorphosen von Polygonen , veröffentlicht in: Die leichtere Seite der Mathematik: Proceedings der Eugène-Strens-Gedächtniskonferenz über Freizeitmathematik und ihre Geschichte (1994)

Hart, Vi (2015). „Kritzeln im Mathematikunterricht: Sterne“ . Vimeo .