Stokes-Problem

In der Fluiddynamik ist das Stokes-Problem (auch Stokes-Problem zweiten Grades oder Stokes-Grenzschicht bzw. oszillierende Grenzschicht genannt) ein Problem zur Bestimmung der Strömung an einer oszillierenden festen Oberfläche. Es ist nach Sir George Stokes benannt und gilt als eines der einfachsten instationären Probleme mit einer exakten Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Auch bei turbulenter Strömung wird die Grenzschicht als Stokes-Problem bezeichnet, jedoch sind Experimente , numerische Simulationen oder Näherungsverfahren erforderlich, um aussagekräftige Informationen über die Strömung zu gewinnen.

Quellen: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Betrachten wir eine unendlich lange Platte, die mit der Geschwindigkeit in Richtung oszilliert und sich im unendlichen Fluidbereich bei befindet , wobei die Frequenz der Schwingungen ist. Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen reduzieren sich auf ${\displaystyle U\cos \omega t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

Hierbei ist die kinematische Viskosität . Der Druckgradient spielt keine Rolle. Die anfängliche Haftbedingung an der Wand lautet: ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle u(0,t)=U\cos \omega t,\quad u(\infty ,t)=0,}$

Die zweite Randbedingung ergibt sich daraus, dass die Bewegung im Unendlichen nicht spürbar ist. Die Strömung entsteht ausschließlich durch die Bewegung der Platte; es existiert kein vorgegebener Druckgradient. ${\displaystyle y=0}$

Quellen: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Die Anfangsbedingung ist aufgrund der Periodizität nicht erforderlich. Da sowohl die Gleichung als auch die Randbedingungen linear sind, kann die Geschwindigkeit als Realteil einer komplexen Funktion geschrieben werden.

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

Weil . ${\displaystyle \cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]}$

Durch Einsetzen dieser Gleichung in die partielle Differentialgleichung reduziert sich diese auf eine gewöhnliche Differentialgleichung.

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

mit Randbedingungen

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

Die Lösung des obigen Problems lautet:

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

Die durch die oszillierende Platte erzeugte Störung breitet sich als Transversalwelle im Fluid aus, wird jedoch stark durch den Exponentialfaktor gedämpft. Die Eindringtiefe dieser Welle nimmt mit der Schwingungsfrequenz ab, aber mit der kinematischen Viskosität des Fluids zu. ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$

Die Kraft pro Flächeneinheit, die das Fluid auf die Platte ausübt, beträgt

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Zwischen der Schwingung der Platte und der erzeugten Kraft besteht eine Phasenverschiebung.

Eine wichtige Beobachtung aus Stokes' Lösung für die Strömung über der oszillierenden Wand ist, dass zwei Flüssigkeitsschichten in einem bestimmten Abstand phasengleich oszillieren. Dieser Abstand definiert eine Art Wellenlänge der Flüssigkeitsbewegung senkrecht zur Platte. Da die Geschwindigkeitsoszillationen mit zunehmendem Abstand von der Wand exponentiell abklingen, dominiert die Viskosität die Flüssigkeitsträgheit in den wandnahen Flüssigkeitsschichten. Die Längenskala dieser Grenzschicht ist gegeben durch , und sie wird als Stokes-Grenzschicht bezeichnet . ^{[ 7 ]}${\displaystyle 2\pi {\sqrt {2\nu /\omega }}}$${\displaystyle \delta _{St}\approx {\sqrt {\nu /\omega }}}$

Wirbelschwingungen sind somit auf eine dünne Grenzschicht beschränkt und nehmen mit zunehmendem Abstand von der Wand exponentiell ab. ^{[ 8 ]} Diese Beobachtung gilt auch für den Fall einer turbulenten Grenzschicht. Außerhalb der Stokes-Grenzschicht – die oft den größten Teil des Fluidvolumens ausmacht – können die Wirbelschwingungen vernachlässigt werden. In guter Näherung sind die Strömungsgeschwindigkeitsschwingungen außerhalb der Grenzschicht wirbelfrei , und die Potentialströmungstheorie kann auf den oszillatorischen Anteil der Bewegung angewendet werden. Dies vereinfacht die Lösung dieser Strömungsprobleme erheblich und findet häufig Anwendung in den wirbelfreien Strömungsbereichen von Schall- und Wasserwellen .

Wenn das Fluidgebiet durch eine obere, stationäre Wand in der Höhe begrenzt wird , ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit zu ${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

Wo . ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}}$

Angenommen, die Ausdehnung des Fluidbereichs sei mit einer freien Oberfläche gegeben. Dann lautet die Lösung, wie sie Chia-Shun Yih 1968 ^{[ 9 ] gezeigt hat:}${\displaystyle 0<y<h}$${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(W-W^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}}$

wobei und die komplex Konjugierte von ist${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle W.}$

Der Fall einer oszillierenden Fernfeldströmung bei ruhender Platte lässt sich leicht aus der vorherigen Lösung für eine oszillierende Platte mittels linearer Superposition der Lösungen ableiten. Man betrachtet eine gleichförmige Geschwindigkeitsoszillation in großem Abstand von der Platte und eine verschwindende Geschwindigkeit an der Platte . Anders als bei der ruhenden Flüssigkeit im ursprünglichen Problem muss der Druckgradient hier im Unendlichen eine harmonische Funktion der Zeit sein. Die Lösung lautet dann: ${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$${\displaystyle u(0,t)=0}$

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

Diese Größe ist an der Wand bei y = 0 null, was der Haftbedingung für eine ruhende Wand entspricht . Diese Situation tritt häufig bei Schallwellen in der Nähe einer festen Wand oder bei der Strömungsbewegung von Wasserwellen nahe dem Meeresboden auf . Die Wirbelstärke der oszillierenden Strömung in der Nähe einer ruhenden Wand ist gleich der Wirbelstärke einer oszillierenden Platte, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Betrachten wir einen unendlich langen Zylinder mit Radius r, der eine Torsionsschwingung mit der Winkelgeschwindigkeit ω ausführt, wobei ω die Frequenz ist. Dann nähert sich die Geschwindigkeit nach der anfänglichen Übergangsphase dem Wert ^{[ 10 ].}${\displaystyle a}$${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

Hierbei handelt es sich um die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art. Diese Lösung lässt sich mit reellen Argumenten ^{[ 11 ]} wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

Wo

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$und sind Kelvin-Funktionen und ist die dimensionslose oszillatorische Reynolds-Zahl, definiert als , wobei die kinematische Viskosität ist. ${\displaystyle \mathrm {ker} }$${\displaystyle R_{\omega }}$${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$${\displaystyle \nu }$

Wenn der Zylinder mit der Geschwindigkeit v in axialer Richtung schwingt , dann ist das Geschwindigkeitsfeld ${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

wobei die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art ist. ${\displaystyle K_{0}}$

Quelle: ^{[ 12 ]}

In der Couette-Strömung wird anstelle der translatorischen Bewegung einer der Platten eine Schwingung einer Ebene ausgeführt. Befindet sich die untere Wand in Ruhe bei und führt die obere Wand bei eine Schwingungsbewegung mit der Geschwindigkeit v aus , so ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld zu ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=h}$${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left\{e^{-i\omega t}{\frac {\sin ky}{\sin kh}}\right\},\quad {\text{where}}\quad k={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}.}$

Die Reibungskraft pro Flächeneinheit auf der bewegten Ebene beträgt und auf der festen Ebene beträgt . ${\displaystyle -\mu U\Re \{k\cot kh\}}$${\displaystyle \mu U\Re \{k\csc kh\}}$

• Rayleigh-Problem