Émile Lemoine

Émile Michel Hyacinthe Lemoine ( französisch: [emil ləmwan] ; 22. November 1840 – 21. Februar 1912) war ein französischer Bauingenieur und Mathematiker , insbesondere Geometer . Er wurde an verschiedenen Institutionen ausgebildet, darunter die Prytanée National Militaire und vor allem die École Polytechnique . Nach seinem Abschluss an der École Polytechnique unterrichtete Lemoine kurze Zeit als Privatlehrer.

Lemoine ist vor allem für seinen Beweis der Existenz des Lemoine-Punktes (oder Symmedianenpunkts) eines Dreiecks bekannt . Zu seinen weiteren mathematischen Arbeiten gehören ein von ihm entwickeltes System namens Géométrographie und eine Methode, die algebraische Ausdrücke mit geometrischen Objekten verknüpfte. Er gilt als Mitbegründer der modernen Dreiecksgeometrie, da viele ihrer Merkmale in seinen Arbeiten wiederzufinden sind.

Lemoine war fast sein ganzes Leben lang Mathematikprofessor an der École Polytechnique. Später arbeitete er als Bauingenieur in Paris und widmete sich nebenbei der Musik . Während seiner Zeit an der École Polytechnique und als Bauingenieur veröffentlichte Lemoine mehrere mathematische Arbeiten , von denen die meisten in einem vierzehnseitigen Abschnitt in Nathan Altshiller Courts „ College Geometry“ enthalten sind . Außerdem gründete er die mathematische Fachzeitschrift „ L’Intermédiaire des Mathématiciens“ .

Lemoine wurde am 22. November 1840 in Quimper, Finistère , als Sohn eines pensionierten Hauptmanns geboren , der an den Feldzügen des Ersten Französischen Kaiserreichs nach 1807 teilgenommen hatte. Als Kind besuchte er das Militärgymnasium La Flèche dank eines Stipendiums , das seinem Vater aufgrund seiner Mitwirkung an der Gründung der Schule gewährt worden war. In dieser frühen Zeit veröffentlichte er einen Zeitschriftenartikel in den „Nouvelles annales de mathématiques“ , in dem er die Eigenschaften des Dreiecks erörterte. ^{[ 1 ]}

Lemoine wurde im Alter von zwanzig Jahren, im selben Jahr wie der Tod seines Vaters, an der École Polytechnique in Paris aufgenommen. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Als Student dort war Lemoine, ein mutmaßlicher Trompeter , ^{[ 4 ]} Mitbegründer der einflussreichen Kammermusikgesellschaft La Trompette , für die Camille Saint-Saëns mehrere Werke komponierte, darunter das Septett für Trompete, Streichquintett und Klavier. Nach seinem Abschluss 1866 erwog er eine Karriere als Jurist , ließ sich jedoch davon abbringen, da sein Eintreten für republikanische Ideologie und liberale religiöse Ansichten mit den Idealen der damaligen Regierung, des Zweiten Französischen Kaiserreichs , kollidierte . ^{[ 1 ]} Stattdessen studierte und lehrte er in dieser Zeit an verschiedenen Institutionen, unter anderem bei J. Kiœs an der École d’Architecture und der École des Mines , wo er auch Uwe Jannsen unterrichtete, sowie bei Charles-Adolphe Wurtz an der École des Beaux-Arts und der École de Médecine. ^{[ 1 ]} Lemoine hielt außerdem Vorlesungen an verschiedenen wissenschaftlichen Einrichtungen in Paris und unterrichtete eine Zeit lang als Privatlehrer, bevor er eine Professur an der École Polytechnique annahm. ^{[ 5 ]}

1870 zwang ihn eine Kehlkopferkrankung , seine Lehrtätigkeit aufzugeben. Er verbrachte einen kurzen Urlaub in Grenoble und veröffentlichte nach seiner Rückkehr nach Paris einige seiner verbliebenen mathematischen Forschungen. Außerdem beteiligte er sich an der Gründung mehrerer wissenschaftlicher Gesellschaften und Zeitschriften, darunter die Société Mathématique de France , das Journal de Physique und die Société de Physique , die alle im Jahr 1871 ins Leben gerufen wurden. ^{[ 1 ]}

Als Gründungsmitglied der Association Française pour l'Avancement des Sciences präsentierte Lemoine auf der Tagung der Vereinigung 1874 in Lille seine bekannteste Arbeit, „ Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle“ . Im Mittelpunkt dieser Arbeit stand der Punkt, der heute seinen Namen trägt. ^{[ 6 ]} Die meisten weiteren in der Arbeit diskutierten Ergebnisse betrafen verschiedene konzyklische Punkte , die sich aus dem Lemoine-Punkt konstruieren ließen. ^{[ 2 ]}

Lemoine leistete in den Jahren nach der Veröffentlichung seiner bekanntesten Aufsätze zeitweise Wehrdienst in der französischen Armee. Nach seiner Entlassung während der Pariser Kommune wurde er Bauingenieur in Paris. ^{[ 1 ]} In dieser Funktion stieg er zum Oberinspektor auf , eine Position, die er bis 1896 innehatte. Als Oberinspektor war er für die Gasversorgung der Stadt verantwortlich. ^{[ 7 ]}

Während seiner Tätigkeit als Bauingenieur verfasste Lemoine eine Abhandlung über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal mit dem Titel „ La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques“ , die er trotz der mäßigen Kritik als sein bedeutendstes Werk betrachtete. Der ursprüngliche Titel lautete „ De la mesure de la simplicité dans les sciences mathématiques“ , und die ursprüngliche Idee des Textes sah vor, Lemoines Konzepte, die die gesamte Mathematik betrafen, zu erörtern. Zeitmangel beschränkte jedoch den Umfang der Arbeit. ^{[ 1 ]} Anstelle der ursprünglichen Idee schlug Lemoine eine Vereinfachung des Konstruktionsprozesses auf einige grundlegende Operationen mit Zirkel und Lineal vor. ^{[ 8 ]} Er präsentierte diese Arbeit 1888 auf einer Tagung der Association Française in Oran , Algerien. Die Arbeit stieß jedoch bei den anwesenden Mathematikern auf wenig Begeisterung und Interesse. ^{[ 9 ]} Lemoine veröffentlichte im selben Jahr mehrere weitere Artikel über sein Konstruktionssystem, darunter Sur la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques im Comptes rendus der Académie française . Er veröffentlichte weitere Arbeiten zu diesem Thema in Mathesis (1888), Journal des mathématiques élémentaires (1889), Nouvelles annales de mathématiques (1892) und im Selbstverlag La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques , das auf der Tagung der Association Française in Pau (1892) und erneut in Besançon vorgestellt wurde (1893) und Caen (1894). ^{[ 1 ]}

Danach veröffentlichte Lemoine eine weitere Reihe von Aufsätzen, darunter eine Reihe über das, was er Transformation continue (kontinuierliche Transformation) nannte und mathematische Gleichungen mit geometrischen Objekten in Beziehung setzte. Diese Bedeutung stand getrennt von der modernen Definition der Transformation . Zu seinen Arbeiten zu diesem Thema gehörten „ Sur les transformations systématiques des formules relatives au Triangle“ (1891), „ Étude sur une nouvelle transformation continue “ (1891), „ Une règle d'analogies dans le Triangle et la spécification de bestimmte analogien à une transformation dite transformation continue“ (1893) und „ Applications au tétraèdre de la transformation continue“ (1894). ^{[ 1 ]}

1894 gründete Lemoine zusammen mit seinem Freund Charles Laisant , den er an der École Polytechnique kennengelernt hatte, die mathematische Fachzeitschrift „ L’intermédiaire des mathématiciens“ . Lemoine hatte die Gründung einer solchen Zeitschrift bereits seit Anfang 1893 geplant, befürchtete aber, aufgrund seiner vielen Verpflichtungen nicht dazu in der Lage zu sein. Bei einem Abendessen mit Laisant im März 1893 brachte er die Idee schließlich ins Spiel. Laisant überzeugte ihn, die Zeitschrift zu gründen, und so wandten sie sich an den Verlag Gauthier-Villars, der die erste Ausgabe im Januar 1894 veröffentlichte. Lemoine übernahm die Position des ersten Herausgebers und behielt sie mehrere Jahre inne. Ein Jahr nach der Erstveröffentlichung zog er sich aus der mathematischen Forschung zurück, blieb dem Fachgebiet aber weiterhin verbunden. ^{[ 6 ]} Lemoine starb am 21. Februar 1912 in seiner Heimatstadt Paris. ^{[ 2 ]}

Lemoines Werk gilt als ein Grundstein der modernen Dreiecksgeometrie . ^{[ 10 ]} Die Zeitschrift „American Mathematical Monthly“ , in der viele seiner Arbeiten veröffentlicht wurden, erklärte: „Keinem dieser [Geometer] gebührt mehr als Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine die Ehre, diese Bewegung [der modernen Dreiecksgeometrie] begründet zu haben …“ ^{[ 1 ]} Auf der Jahrestagung der Pariser Akademie der Wissenschaften im Jahr 1902 erhielt Lemoine den mit 1000 Francs dotierten Francœur-Preis, ^{[ 11 ]} den er mehrere Jahre lang innehatte. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

In seiner 1874 erschienenen Arbeit mit dem Titel „ Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle“ bewies Lemoine die Schnittmenge der Seitenhalbierenden eines Dreiecks sowie die Spiegelung der Seitenhalbierenden an den Winkelhalbierenden . Zu den weiteren Ergebnissen dieser Arbeit gehörte die Erkenntnis, dass die von einem Eckpunkt des Dreiecks ausgehende Seitenhalbierende die gegenüberliegende Seite in zwei Abschnitte teilt, deren Verhältnis dem Verhältnis der Quadrate der beiden anderen Seiten entspricht .

Lemoine also proved that if lines are drawn through the Lemoine point parallel to the sides of the triangle, then the six points of intersection of the lines and the sides of the triangle are concyclic, or that they lie on a circle.^[14] This circle is now known as the first Lemoine circle, or simply the Lemoine circle.^[2][15]

Lemoine's system of constructions, the Géométrographie, attempted to create a methodological system by which constructions could be judged. This system enabled a more direct process for simplifying existing constructions. In his description, he listed five main operations: placing a compass's end on a given point, placing it on a given line, drawing a circle with the compass placed upon the aforementioned point or line, placing a straightedge on a given line, and extending the line with the straightedge.^[14][16]

The "simplicity" of a construction could be measured by the number of its operations. In his paper, he discussed as an example the Apollonius problem originally posed by Apollonius of Perga during the Hellenistic period; the method of constructing a circle tangent to three given circles. The problem had already been solved by Joseph Diaz Gergonne in 1816 with a construction of simplicity 400, but Lemoine's presented solution had simplicity 154.^[2][17] Simpler solutions such as those by Frederick Soddy in 1936 and by David Eppstein in 2001 are now known to exist.^[18]

1894 formulierte Lemoine die heute als Lemoine-Vermutung bekannte Aussage : Jede ungerade Zahl , die größer als drei ist, lässt sich in der Form 2p + q darstellen, wobei p und q Primzahlen sind . ^{[ 19 ]} 1985 stellten John Kiltinen und Peter Young eine Erweiterung dieser Vermutung auf, die sie die „verfeinerte Lemoine-Vermutung“ nannten. Sie veröffentlichten die Vermutung in einer Zeitschrift der Mathematical Association of America : „Für jede ungerade Zahl m, die mindestens 9 ist, gibt es ungerade Primzahlen p , q , r und s sowie positive ganze Zahlen j und k, sodass m = 2p + q , 2 + pq = 2j ⁺ r und 2q + p = ^2k + s . […] Die Studie hat unsere Aufmerksamkeit auf subtilere Aspekte der additiven Theorie der Primzahlen gelenkt. Unsere Vermutung trägt dem Rechnung, indem sie sich mit Wechselwirkungen von Summen befasst, die Primzahlen enthalten, während die Vermutung von Goldbach und die Vermutung von Lemoine solche Summen nur einzeln betrachten. Diese Vermutung und die offenen Fragen zu Zahlen auf den Stufen zwei und drei sind an sich schon interessant, da sie in diesem faszinierenden und oft rätselhaften additiven Bereich der Primzahlen Fragen aufwerfen.“ ^{[ 20 ]}

Lemoine wurde von Nathan Altshiller Court als Mitbegründer (neben Henri Brocard und Joseph Neuberg ) der modernen Dreiecksgeometrie bezeichnet, ein Begriff, der unter anderem von William Gallatly verwendet wurde. ^{[ 14 ]} In diesem Kontext bezieht sich „modern“ auf die Geometrie, die sich ab dem späten 18. Jahrhundert entwickelte. ^{[ 21 ]} Diese Geometrie basiert auf der Abstraktion von Figuren in der Ebene anstelle der zuvor verwendeten analytischen Methoden, die spezifische Winkelmaße und Abstände einbeziehen . Sie konzentriert sich auf Themen wie Kollinearität , Konkurrenz und Konzyklizität , da diese die zuvor genannten Maße nicht verwenden. ^{[ 22 ]}

Lemoines Werk prägte viele der charakteristischen Merkmale dieser Bewegung. Seine Géométrographie und die Beziehung von Gleichungen zu Tetraedern und Dreiecken sowie seine Untersuchungen zu Konkurrenzen und Konzyklen trugen wesentlich zur modernen Dreiecksgeometrie jener Zeit bei. Die Definition von Dreieckspunkten wie dem Lemoine-Punkt war ebenfalls ein Grundpfeiler der Geometrie, und andere moderne Dreiecksgeometer wie Brocard und Gaston Tarry befassten sich mit ähnlichen Punkten. ^{[ 21 ]}

• Über die Eigenschaften eines bemerkenswerten Punktes des Dreiecks (1873)
• Hinweis zu den Eigentumsverhältnissen des Zentrums der antiparallelen Mittel in einem Dreieck (1874)
• Sur la mesure de la simplicité dans les tracés geométriques (1889)
• Sur les transformations systématiques des formules relative au Triangle (1891)
• Étude sur une nouvelle transformation continue (1891)
• La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques (1892)
• Eine Analogienregel im Dreieck und die Spezifikation bestimmter Analogien zu einer Transformation während der Transformation (1893)
• Applications au tétraèdre de la transformation continue (1894)
• "Note on Mr. George Peirce's Approximate Construction for π " . Bull. Amer. Math. Soc . 8 (4): 137– 148. 1902. doi : 10.1090/s0002-9904-1902-00864-1 .

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Émile Lemoine" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• Werke von oder über Émile Lemoine im Internet Archive