Alexis Clairaut

Alexis Claude Clairaut ^{(/klɛərˈroʊ/; [2]} Französisch : [ alɛksi klod klɛʁo ^] ; ^13. Mai 1713 – 17. Mai 1765) war ein französischer Mathematiker, Astronom und Physiker . Als bedeutender Anhänger Newtons trug er maßgeblich zur Bestätigung der Prinzipien und Ergebnisse bei, die Sir Isaac Newton 1687 in den Principia dargelegt hatte . Clairaut war eine Schlüsselfigur der Expedition nach Lappland , die Newtons Ableitung der Erdform bestätigte . In diesem Zusammenhang leitete Clairaut das heute als Clairautsches Theorem bekannte Phänomen ab . Er befasste sich auch mit dem Gravitationsproblem des dreikörperigen Systems und erzielte als Erster ein zufriedenstellendes Ergebnis für die Apsidenpräzession der Mondbahn. In der Mathematik wird ihm außerdem der Satz von Clairaut über gemischte partielle Ableitungen, die Clairaut-Gleichung und die Clairaut-Relation in der Differentialgeometrie zugeschrieben.

Clairaut wurde in Paris als Sohn von Jean-Baptiste und Catherine Petit Clairaut geboren. Das Paar hatte 20 Kinder, von denen jedoch nur wenige die Geburt überlebten. ^{[ 3 ]} Sein Vater war Mathematiklehrer . Alexis war ein Wunderkind . Mit neun Jahren beherrschte er die euklidische Geometrie und Algebra. Im Alter von zehn Jahren studierte er Kegelschnitte und die Infinitesimalrechnung anhand von Guillaume de l'Hôpitals „ Analyse des Infiniment Petits “ (1696) . ^{[ 4 ] : ​​452} Im Alter von zwölf Jahren verfasste er eine Abhandlung über vier geometrische Kurven, und unter der Anleitung seines Vaters machte er so rasche Fortschritte auf diesem Gebiet, dass er im Alter von dreizehn Jahren vor der Académie française über die Eigenschaften der von ihm entdeckten vier Kurven referierte. ^{[ 5 ]} Bereits mit sechzehn Jahren vollendete er eine Abhandlung über gewundene Kurven , „Recherches sur les courbes à double courbure“ , die ihm nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1731 die Aufnahme in die Königliche Akademie der Wissenschaften einbrachte , obwohl er mit achtzehn Jahren noch nicht volljährig war. Er entwickelte eine bahnbrechende Formel, die sogenannte Abstandsformel, mit der sich der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten in der kartesischen oder XY-Ebene berechnen lässt.

Clairaut blieb unverheiratet und war für sein reges gesellschaftliches Leben bekannt. ^{[ 3 ]} Seine wachsende Popularität beeinträchtigte seine wissenschaftliche Arbeit: „Er konzentrierte sich“, so Bossut , „auf Essen und Abende, gepaart mit einer ausgeprägten Vorliebe für Frauen, und da er seine Vergnügungen in seine tägliche Arbeit einfließen lassen wollte, verlor er Ruhe, Gesundheit und schließlich im Alter von 52 Jahren sein Leben.“ Obwohl er ein erfülltes gesellschaftliches Leben führte, engagierte er sich stark für die Förderung junger Mathematiker.

Am 27. Oktober 1737 wurde er zum Mitglied der Royal Society of London gewählt . ^{[ 6 ]}

Clairaut starb 1765 in Paris.

Im Rahmen seiner Forschungen zur Infinitesimalrechnung entdeckte Clairaut die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen ( Satz von Clairaut ). ^{[ 7 ]} Er gab eine Bedingung an, unter der die Differentialgleichung exakt ist , nämlich : ^{[ 4 ] : 452} ${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$${\displaystyle M_{y}=N_{x}}$

Er zeigte, dass eine Differentialgleichung der Form , die heute als Clairautsche Gleichung bekannt ist , durch Einsetzen und Differenzieren beider Seiten gelöst werden kann. ^{[ 4 ] : 451} Er bewies auch die Existenz des integrierenden Faktors für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Allerdings war er bereits 1687 von Nicolas Fatio de Dullier und in einer Vorlesung für L’Hôpital von Johann Bernoulli vorweggenommen worden. ^{[ 7 ]}${\displaystyle y=xy'+f(y')}$${\displaystyle p=y'}$

1741 veröffentlichte Clairaut die „Éléments de Géométrie“ , ein Lehrbuch für Anfänger. Für Clairaut war es unerlässlich, dass die Lernenden durch aktives, erfahrungsorientiertes Lernen selbstständig Entdeckungen machten . ^{[ 8 ]} Er begann mit dem Vergleich geometrischer Formen mit Geländemessungen, einem vertrauten Thema, und behandelte Linien, geometrische Formen und sogar einige dreidimensionale Objekte. Im gesamten Buch stellte er zahlreiche Bezüge zwischen Geometrie und anderen Bereichen der Mathematik sowie der Physik und Astronomie her. Einige der darin beschriebenen Theorien und Lernmethoden werden noch heute von Lehrkräften im Geometrieunterricht und anderen Fächern verwendet. ^{[ 9 ]} Dieses Lehrbuch war so beliebt, dass es sechs Auflagen erlebte. ^{[ 4 ] : ​​458} Im 18. Jahrhundert erweiterte Carl Friedrich Gauß die Beiträge von Clairaut und Christiaan Huygens zur Geometrie, indem er den Begriff der Gaußschen Krümmung einführte . ^{[ 4 ] : ​​506}

Clairauts Éléments de Algèbre (1740) fand auch in Kontinentaleuropa großen Anklang. Die sechste Auflage erschien 1801. ^{[ 4 ] : 458}

1736 nahm er zusammen mit Pierre Louis Maupertuis an der Expedition nach Lappland teil , deren Ziel die Bestimmung des Längengrades des Meridianbogens war . ^{[ 10 ]} Die Expedition sollte die Form der Erde ermitteln und überprüfen, ob sie, wie Sir Isaac Newton in seinem Werk „Principia“ behauptet hatte , ein abgeplattetes Sphäroid oder, wie Giovanni Cassini angenommen hatte, ein längliches Gebilde war. ^{[ 7 ]} Bevor die Expedition nach Paris zurückkehrte, sandte Clairaut seine Berechnungen an die Royal Society in London . Die Gesellschaft veröffentlichte die Abhandlung später im Jahrgang 1736/37 der „Philosophical Transactions“ . ^{[ 11 ]} Clairaut widersprach zunächst Newtons Schlussfolgerung. In dem Artikel beschreibt er mehrere zentrale Probleme, die Newtons Berechnungen widerlegen, und bietet Lösungsansätze für die auftretenden Schwierigkeiten. Zu den behandelten Themen gehören die Berechnung der Gravitationsanziehung, die Rotation eines Ellipsoids um seine Achse und die Dichteunterschiede eines Ellipsoids entlang seiner Achsen. ^{[ 11 ]} Am Ende seines Briefes schrieb Clairaut:

„Offenbar war sogar Sir Isaac Newton der Ansicht, dass die Erde zum Zentrum hin dichter sein müsse, um an den Polen umso flacher zu sein; und dass aus dieser größeren Abflachung folge, dass die Schwerkraft vom Äquator zum Pol hin umso stärker zunehme.“ ^{[ 11 ]}

Dies bedeutete, dass die Erde nicht nur ein Ellipsoid ist, sondern dass sie an den Polen stärker abgeflacht und in der Mitte breiter ist, also ein abgeplattetes Sphäroid. Sein Artikel in den Philosophical Transactions löste viel Kontroverse aus, da er zwar die Probleme von Newtons Theorie ansprach, aber kaum Lösungsansätze zur Behebung der Berechnungen bot.

Nach seiner Rückkehr veröffentlichte er seine Abhandlung „Théorie de la figure de la terre “ (1743). Darin verkündete er ein Ergebnis, das heute als Satz von Clairaut bekannt ist und die Gravitation an Punkten auf der Oberfläche eines rotierenden Ellipsoids mit der Kompression und der Zentrifugalkraft am Äquator verknüpft . Seine Formel gab die Stärke des Gravitationsfeldes der Erde als Funktion der geografischen Breite an. ^{[ 7 ]} Dieses hydrostatische Modell der Erdform basierte auf einer Arbeit des schottischen Mathematikers Colin Maclaurin , der gezeigt hatte, dass eine Masse homogener Flüssigkeit, die um eine Achse durch ihren Massenschwerpunkt rotiert , unter der Anziehungskraft ihrer Teilchen die Form eines Maclaurin-Sphäroids annimmt . Unter der Annahme, dass die Erde aus konzentrischen ellipsoiden Schalen gleichmäßiger Dichte besteht, konnte Clairauts Theorem angewendet werden und ermöglichte die Berechnung der Exzentrizität (oder Abweichung von der perfekten Kugelform) der Erde anhand von Oberflächengravitationsmessungen. Dies bestätigte Newtons Berechnung. ^{[ 3 ]} 1849 zeigte George Stokes , dass Clairauts Ergebnis unabhängig von der inneren Zusammensetzung oder Dichte der Erde gültig ist, vorausgesetzt, die Oberfläche ist ein Gleichgewichtssphäroid mit geringer Exzentrizität.

Eines der umstrittensten Probleme des 18. Jahrhunderts war das Dreikörperproblem , also die Frage, wie Erde, Mond und Sonne sich gegenseitig anziehen. Mithilfe der kurz zuvor entwickelten Leibnizschen Infinitesimalrechnung konnte Clairaut das Problem mit vier Differentialgleichungen lösen. ^{[ 12 ]} Er integrierte auch Newtons Abstandsgesetz und das Newtonsche Anziehungsgesetz in seine Lösung, allerdings mit kleineren Anpassungen. Diese Gleichungen lieferten jedoch nur Näherungswerte und keine exakten Berechnungen. Ein weiteres Problem des Dreikörperproblems blieb bestehen: die Rotation des Mondes um seine Apsiden. Selbst Newton konnte nur die Hälfte der Bewegung der Apsiden erklären . ^{[ 12 ]} Dieses Problem gab Astronomen Rätsel auf. Clairaut hielt das Dilemma zunächst sogar für so unerklärlich, dass er im Begriff war, eine neue Hypothese zum Anziehungsgesetz zu veröffentlichen.

Die Frage der Apsiden war in Europa Gegenstand hitziger Debatten. Neben Clairaut wetteiferten zwei weitere Mathematiker um die erste Erklärung des Dreikörperproblems: Leonhard Euler und Jean le Rond d’Alembert . ^{[ 12 ]} Euler und d’Alembert argumentierten gegen die Anwendung der Newtonschen Gesetze zur Lösung des Dreikörperproblems. Insbesondere Euler war der Ansicht, dass das Abstandsgesetz überarbeitet werden müsse, um die Apsiden des Mondes präzise zu berechnen.

Trotz des intensiven Wettlaufs um die korrekte Lösung gelang Clairaut eine raffinierte Näherungslösung für das Dreikörperproblem. 1750 erhielt er den Preis der Petersburger Akademie für seine Abhandlung „Théorie de la lune“ (Mondtheorie). Das Team um Clairaut, Jérôme Lalande und Nicole Reine Lepaute berechnete erfolgreich das Datum der Wiederkehr des Halleyschen Kometen im Jahr 1759. ^{[ 13 ]} Die „Théorie de la lune“ ist streng Newtonsch. Sie enthält die Erklärung der Bewegung der Apsis . Clairaut kam auf die Idee, die Näherung bis zur dritten Ordnung durchzuführen, und stellte fest, dass das Ergebnis mit den Beobachtungen übereinstimmte. 1754 folgten Mondtafeln, die er mithilfe einer Form der diskreten Fouriertransformation berechnete . ^{[ 14 ]}

Die neu gefundene Lösung des Dreikörperproblems erwies sich als weitaus bedeutsamer als der Beweis der Newtonschen Gesetze. Die Lösung des Problems hatte auch praktische Bedeutung. Sie ermöglichte es Seeleuten, die Längsrichtung ihrer Schiffe zu bestimmen , was nicht nur für die Anfahrt zu einem Zielort, sondern auch für die Heimreise entscheidend war. ^{[ 12 ]} Dies hatte auch wirtschaftliche Auswirkungen, da Seeleute mithilfe der Längenmessungen Handelsziele leichter finden konnten.

In demselben Werk führte Clairaut erstmals die Potentialtheorie ein , die seit dem Aufsatz von George Green aus dem Jahr 1828 unter diesem Namen bekannt ist . ^{[ 7 ]}

Clairaut verfasste anschließend diverse Abhandlungen über die Mondbahn und die Bewegung von Kometen unter dem Einfluss der Planetenkräfte, insbesondere über die Bahn des Halleyschen Kometen . Mithilfe angewandter Mathematik untersuchte er auch die Venus und nahm präzise Messungen ihrer Größe und Entfernung zur Erde vor. Dies war die erste genaue Bestimmung der Venusgröße.

Clairaut nutzte seine eigenen Beiträge zur Himmelsmechanik und Astronomie, um Émilie du Châtelet bei ihrer Übersetzung und Kommentierung von Newtons Principia zu unterstützen . ^{[ 7 ]}

• Éléments d'algèbre , (auf Französisch), 1741.
• Theorie de la Figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique (auf Französisch). Paris: Laurent Durand. 1743.
• Théorie de la Figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique (auf Französisch). Paris: Louis Courcier. 1808.

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  1743-Kopie von „Théorie de la Figure de la Terre, tirée des Principes de l'Hydrostatique“
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  Einführung in „Théorie de la Figure de la Terre, tirée des Principes de l'Hydrostatique“
• 
  1765-Kopie von „Théorie de la Lune & Tables de la Lune“
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  Widmung an „Théorie de la Lune & Tables de la Lune“
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  Widmung an „Théorie de la Lune & Tables de la Lune“
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  Erste Seite von „Théorie de la Lune & Tables de la Lune“

• Differentialgeometrie
• Menschlicher Computer
• Liste der Wunderkinder

• Grier, David Alan, Als Computer noch Menschen waren , Princeton University Press , 2005. ISBN 0-691-09157-9Die
• Casey, J., „Clairauts Hydrostatik: Eine Vergleichsstudie“, American Journal of Physics , Bd. 60, 1992, S. 549–554.

• Chronologie de la vie de Clairaut (1713–1765)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Alexis Clairaut" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• W. W. Rouse Ball – Eine kurze Darstellung der Geschichte der Mathematik