Freundliche Zahlen

In der Mathematik bezeichnet man als befreundete Zahlen zwei verschiedene natürliche Zahlen, die so miteinander in Beziehung stehen, dass die Summe ihrer echten Teiler gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Das heißt, s ( a ) = b und s ( b ) = a , wobei s ( n ) = σ( n ) − n der Summe der positiven Teiler von n außer n selbst entspricht (siehe auch Teilerfunktion ).

Das kleinste Paar befreundeter Zahlen ist ( 220 , 284 ). Sie sind befreundet, weil die echten Teiler von 220 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110 sind, deren Summe 284 ergibt; und die echten Teiler von 284 sind 1, 2, 4, 71 und 142, deren Summe ebenfalls 220 ergibt.

Die ersten zehn befreundeten Zahlenpaare sind: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) und (66928, 66992) (Folge A259180 in der OEIS ). Es ist unbekannt, ob es unendlich viele befreundete Zahlenpaare gibt.

Ein Paar befreundeter Zahlen bildet eine Aliquotfolge mit Periode 2. Ein verwandtes Konzept ist das der perfekten Zahl , einer Zahl, die gleich der Summe ihrer eigenen echten Teiler ist, also einer Zahl, die eine Aliquotfolge mit Periode 1 bildet. Zahlen, die Elemente einer Aliquotfolge mit Periode größer als 2 sind, werden als gesellige Zahlen bezeichnet .

Die Pythagoreer kannten befreundete Zahlen und schrieben ihnen viele mystische Eigenschaften zu. Um 850 entwickelte der irakische Mathematiker Thābit ibn Qurra (826–901) eine allgemeine Formel, mit der sich einige dieser Zahlen herleiten ließen. Weitere arabische Mathematiker, die sich mit befreundeten Zahlen befassten, waren al-Majriti (gest. 1007), al-Baghdadi (980–1037) und al-Fārisī (1260–1320). Der iranische Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi (16. Jahrhundert) entdeckte das Zahlenpaar (9363584, 9437056), obwohl dies oft Descartes zugeschrieben wird . ^{[ 1 ]} Ein Großteil der Arbeiten östlicher Mathematiker auf diesem Gebiet ist in Vergessenheit geraten.

Die Formel von Thābit ibn Qurra wurde von Fermat (1601–1665) und Descartes (1596–1650), denen sie mitunter zugeschrieben wird, wiederentdeckt und von Euler (1707–1783) erweitert. Borho erweiterte sie 1972. Fermat und Descartes entdeckten zudem Paare befreundeter Zahlen wieder, die arabischen Mathematikern bereits bekannt waren. Euler entdeckte darüber hinaus Dutzende neuer Paare. ^{[ 2 ]} Das zweitkleinste Paar, (1184, 1210), wurde 1867 von dem 16-jährigen B. Nicolò I. Paganini (nicht zu verwechseln mit dem Komponisten und Violinisten) entdeckt, nachdem es von früheren Mathematikern übersehen worden war. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Es gibt über eine Milliarde bekannte freundschaftliche Paare. ^{[ 5 ]}

Obwohl diese Regeln einige Paare befreundeter Zahlen erzeugen, sind viele andere Paare bekannt, sodass diese Regeln keinesfalls vollständig sind.

Insbesondere erzeugen die beiden untenstehenden Regeln nur gerade befreundete Paare, sodass sie für das offene Problem, befreundete Paare zu finden, die teilerfremd zu 210 = 2·3·5·7 sind, nicht von Interesse sind, während über 1000 Paare bekannt sind, die teilerfremd zu 30 = 2·3·5 sind [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Der Satz von Thābit ibn Qurrah ist eine Methode zur Entdeckung befreundeter Zahlen, die im 9. Jahrhundert von dem arabischen Mathematiker Thābit ibn Qurrah entwickelt wurde . ^{[ 6 ]}

Darin heißt es, dass wenn $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n-1}-1,\end{aligned}}}$$

Wenn n > 1 eine ganze Zahl und p, q, r Primzahlen sind , dann bilden 2^ⁿ × p × q und 2^ⁿ × r ein Paar befreundeter Zahlen. Diese Formel liefert die Paare (220, 284) für n = 2 , (17296, 18416) für n = 4 und (9363584, 9437056) für n = 7 , aber es sind keine weiteren solchen Paare bekannt. Zahlen der Form 3 × 2 ^ⁿ − 1 werden als Thabit-Zahlen bezeichnet . Damit die Formel von Ibn Qurrah ein befreundetes Paar liefert, müssen zwei aufeinanderfolgende Thabit-Zahlen Primzahlen sein; dies schränkt die möglichen Werte von n stark ein .

Um den Satz zu beweisen, bewies Thâbit ibn Qurra neun Lemmata, die in zwei Gruppen unterteilt sind. Die ersten drei Lemmata befassen sich mit der Bestimmung der Aliquotanteile einer natürlichen ganzen Zahl . Die zweite Gruppe von Lemmata befasst sich genauer mit der Bildung perfekter, abundanter und defizienter Zahlen. ^{[ 6 ]}

Die Eulersche Regel ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Thâbit ibn Qurra. Sie besagt, dass, wenn n > m > 0 ganze Zahlen und p , q, r Primzahlen sind , dann 2n ^× p × q und 2n ^× r ein Paar befreundeter Zahlen bilden .$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=(2^{nm}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{nm}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{nm}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}}$$

Beachten Sie, dass somit$${\displaystyle {\begin{aligned}pq&=r-(2^{nm}+1)(2^{n}+2^{m})+2\\pq&=r-((2^{nm}+1)(2^{n}+2^{m})-2)\\pq&=r-(p+q)\end{aligned}}}$$${\displaystyle pq+(p+q)=r}$

Der Satz von Thābit ibn Qurra entspricht dem Fall m = n − 1. Die Eulersche Regel erzeugt zusätzliche befreundete Paare für ( m , n ) = (1,8), (29,40), wobei keine weiteren bekannt sind. Euler (1747 & 1750) fand insgesamt 58 neue Paare und erhöhte damit die Anzahl der damals bekannten Paare auf 61. ^{[ 2 ] [ 7 ]}

Seien ( m , n ) zwei befreundete Zahlen mit m < n . Wir schreiben m = gM und n = gN, wobei g der größte gemeinsame Teiler von m und n ist . Sind M und N teilerfremd zu g und quadratfrei , so nennt man das Paar ( m , n ) regulär (Folge A215491 in der OEIS ); andernfalls nennt man es irregulär oder exotisch . Ist ( m , n ) regulär und besitzen M und N jeweils den Primfaktor i bzw. j , so ist ( m , n ) vom Typ ( i , j ) .

Zum Beispiel ist bei ( m , n ) = (220, 284) der größte gemeinsame Teiler 4 , also M = 55 und N = 71. Daher ist (220, 284) regulär vom Typ (2, 1) .

Ein befreundetes Paar ( m , n ) ist ein Zwillingspaar, wenn es keine ganzen Zahlen zwischen m und n gibt , die zu einem anderen befreundeten Paar gehören (Folge A273259 in der OEIS ).

In allen bekannten Fällen sind die Zahlen eines Paares entweder beide gerade oder beide ungerade. Es ist nicht bekannt, ob ein gerades und ein ungerades Paar befreundeter Zahlen existiert. Falls ja, muss die gerade Zahl entweder eine Quadratzahl oder das Doppelte von eins sein, und die ungerade Zahl muss eine Quadratzahl sein. Es existieren jedoch befreundete Zahlen, deren kleinste Primfaktoren unterschiedlich sind: Sieben solcher Paare sind bekannt. ^{[ 8 ]} Jedes bekannte Paar hat mindestens einen gemeinsamen Primfaktor . Es ist nicht bekannt, ob ein Paar teilerfremder befreundeter Zahlen existiert. Falls ja, muss das Produkt der beiden Zahlen größer als ^10⁶⁷ sein . ^{[ 9 ] [ 10 ]} Ein Paar teilerfremder befreundeter Zahlen lässt sich weder mit der Formel von Thabit (siehe oben) noch mit einer ähnlichen Formel erzeugen.

Im Jahr 1955 zeigte Paul Erdős , dass die Dichte der befreundeten Zahlen, bezogen auf die positiven ganzen Zahlen, 0 beträgt. ^{[ 11 ]}

1968 stellte Martin Gardner fest, dass die Summen der meisten geraden befreundeten Paare durch 9 teilbar sind ^{[ 12 ]} und dass eine Regel zur Charakterisierung der Ausnahmen (Sequenz A291550 in der OEIS ) hergeleitet wurde. ^{[ 13 ]}

Nach der Vermutung über die Summe der befreundeten Paare nähert sich der Prozentsatz der Summen der durch zehn teilbaren befreundeten Paare 100 %, wenn die Anzahl der befreundeten Zahlen gegen unendlich strebt (Folge A291422 in der OEIS ).

Obwohl alle befreundeten Paare bis 10.000 gerade Paare sind, steigt der Anteil der ungeraden befreundeten Paare stetig zu höheren Zahlen hin an, und vermutlich gibt es mehr von ihnen als von den geraden befreundeten Paaren (Sequenz A360054 in OEIS ).

Es gibt befreundete Paare, bei denen die Summe einer Zahl aus dem ersten Paar und einer Zahl aus dem zweiten Paar gleich der Summe der beiden übrigen Zahlen ist, z. B. 67212 = 220 + 66992 = 284 + 66928, wobei (220, 284) und (66928, 66992) zwei befreundete Paare sind (Folge A359334 in OEIS ).

Es existieren befreundete Paare ganzer Gaußscher Zahlen , ^{[ 14 ] [ 15 ]} z. B. s(8008 + 3960 i ) = 4232 − 8280 i und s(4232 − 8280 i ) = 8008 + 3960 i . ^{[ 16 ]}

Amicable Zahlen erfüllen und , was sich zusammen als schreiben lässt . Dies lässt sich auf größere Tupel, etwa , verallgemeinern , wobei wir fordern ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle \sigma (m)-m=n}$${\displaystyle \sigma (n)-n=m}$${\displaystyle \sigma (m)=\sigma (n)=m+n}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})}$

${\displaystyle \sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}}$

Beispielsweise ist (1980, 2016, 2556) ein befreundetes Tripel (Sequenz A125490 in der OEIS ) und (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) ein befreundetes Quadrupel (Sequenz A036471 in der OEIS ).

Freundliche Multimengen werden analog definiert und verallgemeinern dies noch etwas weiter (Folge A259307 in der OEIS ).

Soziale Zahlen sind die Zahlen in zyklischen Zahlenlisten (mit einer Länge größer als 2), in denen jede Zahl die Summe der echten Teiler der vorhergehenden Zahl ist. Beispielsweise sind 1/4 soziale Zahlen der Ordnung 4. ${\displaystyle 1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots }$

Die Aliquotfolge lässt sich für eine gegebene ganze Zahl als gerichteter Graph darstellen , wobei die Summe der echten Teiler von bezeichnet . ^{[ 17 ]} Zyklen in repräsentieren befreundete Zahlen im Intervall . Zwei Spezialfälle sind Schleifen, die vollkommene Zahlen repräsentieren, und Zyklen der Länge zwei, die befreundete Paare darstellen . ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle [1,n]}$

• Freundliche Zahlen werden in dem Buch „ Der Mann, der zählte “ von Malba Tahan vorgestellt .
• Freundschaftliche Zahlen spielen eine Rolle in dem Roman „ Die Haushälterin und der Professor“ von Yōko Ogawa sowie in dem darauf basierenden japanischen Film .
• Paul Austers Kurzgeschichtensammlung „ True Tales of American Life“ enthält eine Geschichte („Mathematical Aphrodisiac“ von Alex Galt), in der freundliche Zahlen eine wichtige Rolle spielen.
• Freundschaftliche Zahlen werden in dem Roman „Das fremde Haus “ von Reginald Hill kurz erwähnt .
• Freundliche Zahlen werden in dem französischen Roman „Der Satz des Papageis“ von Denis Guedj erwähnt .
• Freundliche Zahlen werden im JRPG Persona 4 Golden erwähnt .
• Freundliche Zahlen spielen eine Rolle in der Visual Novel Rewrite .
• In der 13. Folge des koreanischen Dramas Andante aus dem Jahr 2017 werden die freundlichen Zahlen 220 und 284 erwähnt .
• Freundschaftliche Nummern kommen im griechischen Film The Other Me (Film aus dem Jahr 2016) vor .
• Das Thema „Freundliche Zahlen“ wird in dem Buch „ Sind Zahlen real?“ von Brian Clegg behandelt .
• Freundliche Zahlen werden in dem 2020 erschienenen Roman Apeirogon von Colum McCann erwähnt .
• Freundliche Zahlen spielen eine Rolle in der 2022 erschienenen Visual Novel Heaven Burns Red von Key .

• Verlobte Zahlen (quasi-freundschaftliche Zahlen)
• Amicable Triple - Dreistellige Variation der Amicable-Zahlen.

• Dieser Artikel enthält Text aus einer gemeinfreien Publikation : Chisholm  , Hugh (Hrsg.) (1911). „ Amicable Numbers “. Encyclopædia Britannica (11. Aufl.). Cambridge University Press.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbuch der Zahlentheorie II . Dordrecht: Kluwer Academic. S.  32–36 . ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl  1079.11001 .
• Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group . S.  145–147 .
• Weisstein, Eric W. „Amicable Pair“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Rule“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Eulersche Regel“ . MathWorld .

• M. García; JM Pedersen; HJJ te Riele (31.07.2003). „Freundliche Paare, eine Umfrage“ (PDF) . Bericht MAS-R0307 .
• Grime, James. „220 und 284 (Freundliche Zahlen)“ . Numberphile . Brady Haran . Archiviert vom Original am 16.07.2017 . Abgerufen am 02.04.2013 .
• Grime, James. „MegaFavNumbers – Die Vermutung über gerade, kompatible Zahlen“ . YouTube . Archiviert vom Original am 23.11.2021 . Abgerufen am 09.06.2020 .
• Koutsoukou-Argyraki, Angeliki (4. August 2020). "Amicable Numbers (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)" .
• Tschernych, Sergej. „Liste der einvernehmlichen Paare“ . Abgerufen am 10.09.2023 .(Datenbank aller bekannten befreundeten Nummern)