Bott-Periodizitätssatz

In der Mathematik beschreibt der Bottsche Periodizitätssatz eine Periodizität in den Homotopiegruppen klassischer Gruppen . Er wurde von Raoul Bott  ( 1957 , 1959 ) entdeckt und erwies sich als grundlegend für viele weitere Forschungen, insbesondere in der K-Theorie stabiler komplexer Vektorbündel sowie der stabilen Homotopiegruppen von Sphären . Die Bottsche Periodizität lässt sich auf verschiedene Weisen formulieren, wobei sie in der Theorie der unitären Gruppe stets als Periode-2-Phänomen bezüglich der Dimension auftritt. Siehe beispielsweise die topologische K-Theorie .

Es gibt entsprechende Perioden-8-Phänomene für die Matching-Theorien ( reelle ) KO-Theorie und ( quaternionische ) KSp-Theorie , die der reellen orthogonalen Gruppe bzw. der quaternionischen symplektischen Gruppe zugeordnet sind . Der J-Homomorphismus ist ein Homomorphismus von den Homotopiegruppen orthogonaler Gruppen zu stabilen Homotopiegruppen von Sphären , der die Periode-8-Bott-Periodizität in den stabilen Homotopiegruppen von Sphären sichtbar macht.

Bott zeigte, dass, wenn als direkter Limes der unitären Gruppen definiert ist , ihre Homotopiegruppen periodisch mit Periode 2 sind: ^{[ 1 ].}${\displaystyle U(\infty )}$${\displaystyle U(n)}$

${\displaystyle \pi _{i}(U(\infty ))\simeq \pi _{i+2}(U(\infty ))}$

für und seine ersten beiden Homotopiegruppen lauten wie folgt: ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(U(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{1}(U(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

Die „reelle“ oder „orthogonale“ Version des Bottschen Periodizitätstheorems über den direkten Grenzwert der orthogonalen Gruppen besagt, dass ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \pi _{i}(O(\infty ))\simeq \pi _{i+8}(O(\infty ))}$

für und seine ersten 8 Homotopiegruppen lauten wie folgt: ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Der Kontext der Bott-Periodizität liegt darin, dass die Homotopiegruppen von Sphären , von denen man aufgrund der Analogie zur Homologietheorie erwarten würde, dass sie eine grundlegende Rolle in der algebraischen Topologie spielen , sich als schwer fassbar erwiesen haben (und die Theorie kompliziert ist). Die stabile Homotopietheorie wurde als Vereinfachung konzipiert, indem die Suspensionsoperation ( das Produkt mit einem Kreis ) eingeführt wurde und untersucht wurde, was (grob gesagt) von der Homotopietheorie übrig blieb, nachdem man beide Seiten einer Gleichung beliebig oft suspendieren durfte. Die stabile Theorie war in der Praxis jedoch immer noch schwer zu berechnen.

Die Bott-Periodizität ermöglichte einen Einblick in einige hochgradig nicht-triviale Räume, die aufgrund des Zusammenhangs ihrer Kohomologie mit charakteristischen Klassen eine zentrale Bedeutung in der Topologie besitzen , da sich für diese alle ( instabilen ) Homotopiegruppen berechnen lassen. Diese Räume sind die (unendlichen oder stabilen ) unitären, orthogonalen und symplektischen Gruppen U , O und Sp. In diesem Kontext bedeutet „ stabil“ die Vereinigung (auch bekannt als direkter Limes ) der Folge der Inklusionen.

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

Gleiches gilt für O und Sp. Man beachte, dass Botts Verwendung des Wortes „stabil“ im Titel seiner bahnbrechenden Arbeit sich auf diese stabilen klassischen Gruppen und nicht auf stabile Homotopiegruppen bezieht.

Der wichtige Zusammenhang zwischen der Bott-Periodizität und den stabilen Homotopiegruppen von Sphären ergibt sich aus dem sogenannten stabilen J- Homomorphismus von den (instabilen) Homotopiegruppen der (stabilen) klassischen Gruppen auf diese stabilen Homotopiegruppen . Ursprünglich von George W. Whitehead beschrieben , wurde er Gegenstand der berühmten Adams-Vermutung (1963), die schließlich von Daniel Quillen (1971) bejaht wurde .${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$

Botts ursprüngliche Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Folgerung: Die (instabilen) Homotopiegruppen der (unendlichen) klassischen Gruppen sind periodisch:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Anmerkung: Der zweite und dritte dieser Isomorphismen verflechten sich und ergeben die 8-fache Periodizität:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

In der Theorie der unendlichen unitären Gruppe U ist der Raum BU der klassifizierende Raum für stabile komplexe Vektorbündel (eine Grassmann-Mannigfaltigkeit in unendlichen Dimensionen). Eine Formulierung der Bott-Periodizität beschreibt den zweifachen Schleifenraum von BU . Hierbei ist der Schleifenraumfunktor , rechtsadjungiert zur Suspension und linksadjungiert zur Konstruktion des klassifizierenden Raums . Die Bott-Periodizität besagt , dass dieser doppelte Schleifenraum im Wesentlichen wieder BU ist ; genauer gesagt ist er im Wesentlichen (d. h. homotopieäquivalent zu) die Vereinigung einer abzählbaren Anzahl von Kopien von BU . Eine äquivalente Formulierung ist ${\displaystyle \Omega ^{2}BU}$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$$$${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$$

Beide Ansätze zeigen unmittelbar, warum die (komplexe) topologische K -Theorie eine zweifach periodische Theorie ist.

In der entsprechenden Theorie für die unendliche orthogonale Gruppe O ist der Raum BO der klassifizierende Raum für stabile reelle Vektorbündel . In diesem Fall besagt die Bott-Periodizität, dass für den 8-fachen Schleifenraum, oder äquivalent dazu, $${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO}$$$${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$$

Daraus folgt, dass die KO -Theorie eine achtfach periodische Theorie ist. Außerdem ist für die unendliche symplektische Gruppe Sp der Raum BSp der klassifizierende Raum für stabile quaternionische Vektorbündel , und die Bott-Periodizität besagt, dass oder äquivalent dazu $${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$$$${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$$

Somit sind sowohl die topologische reelle K -Theorie (auch bekannt als KO -Theorie) als auch die topologische quaternionische K- Theorie (auch bekannt als KSp-Theorie) 8-fach periodische Theorien.

Eine elegante Formulierung der Bott-Periodizität nutzt die Beobachtung, dass es natürliche Einbettungen (als abgeschlossene Untergruppen) zwischen den klassischen Gruppen gibt. Die Schleifenräume in der Bott-Periodizität sind dann homotopieäquivalent zu den symmetrischen Räumen sukzessiver Quotienten mit zusätzlichen diskreten Faktoren von Z.

Über die komplexen Zahlen :

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

Über die reellen Zahlen und Quaternionen:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Diese Folgen entsprechen Folgen in Clifford-Algebren – siehe Klassifizierung der Clifford-Algebren ; über den komplexen Zahlen:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

Über die reellen Zahlen und Quaternionen:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

wobei die Divisionsalgebren "Matrizen über dieser Algebra" bezeichnen.

Da sie 2-periodisch/8-periodisch sind, können sie in einem Kreis angeordnet werden, wo sie als Bott-Periodizitätsuhr und Clifford-Algebra-Uhr bezeichnet werden .

Die Ergebnisse der Bott-Periodizität verfeinern sich dann zu einer Folge von Homotopieäquivalenzen :

Für die komplexe K -Theorie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (\mathbb {Z} \times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Für reelle und quaternionische KO- und KSp-Theorien:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Die resultierenden Räume sind homotopieäquivalent zu den klassischen reduktiven symmetrischen Räumen und stellen die sukzessiven Quotienten der Terme der Bottschen Periodizitätsuhr dar. Aus diesen Äquivalenzen ergeben sich unmittelbar die Bottschen Periodizitätssätze.

Die spezifischen Räume sind, ^{[ Anmerkung 1 ]} (bei Gruppen ist auch der prinzipielle homogene Raum aufgeführt):

Schleifenraum	Quotient	Cartans Label	Beschreibung
${\displaystyle \Omega ^{0}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times O/(O\times O)}$	BDI	Echter Grassmannianer
${\displaystyle \Omega ^{1}}$	${\displaystyle O=(O\times O)/O}$		Orthogonale Gruppe (reelle Stiefel-Mannigfaltigkeit )
${\displaystyle \Omega ^{2}}$	${\displaystyle O/U}$	DIII	Raum komplexer Strukturen, die mit einer gegebenen orthogonalen Struktur kompatibel sind
${\displaystyle \Omega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	AII	Raum der quaternionischen Strukturen, die mit einer gegebenen komplexen Struktur kompatibel sind
${\displaystyle \Omega ^{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )}$	CII	Quaternionisch Grassmannsch
${\displaystyle \Omega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp} }$		Symplektische Gruppe (quaternionische Stiefel-Mannigfaltigkeit )
${\displaystyle \Omega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	CI	Komplexes Lagrange-Grassmann ...
${\displaystyle \Omega ^{7}}$	${\displaystyle U/O}$	KI	Lagrangesche Grassmannsche

Botts ursprünglicher Beweis ( Bott 1959 ) nutzte die Morse-Theorie , die Bott (1956) bereits zuvor zur Untersuchung der Homologie von Lie-Gruppen verwendet hatte . Es wurden viele verschiedene Beweise vorgelegt.

• Bott, Raoul (1956), „Eine Anwendung der Morse-Theorie auf die Topologie von Lie-Gruppen“, Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281 , doi : 10.24033/bsmf.1472 , ISSN  0037-9484 , MR  0087035
• Bott, Raoul (1957), „Die stabile Homotopie der klassischen Gruppen“, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 43 (10): 933–935 , Bibcode : 1957PNAS...43..933B , doi : 10.1073/pnas.43.10.933 , JSTOR  89403 , MR  0102802 , PMC  528555 , PMID  16590113
• Bott, Raoul (1959), „Die stabile Homotopie der klassischen Gruppen“, Annals of Mathematics , Zweite Serie, 70 (2): 313–337 , doi : 10.2307/1970106 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970106 , MR  0110104
• Bott, Raoul (1970), „Der Periodizitätssatz für die klassischen Gruppen und einige seiner Anwendungen“, Advances in Mathematics , 4 (3): 353–411 , doi : 10.1016/0001-8708(70)90030-7Eine erläuternde Darstellung des Theorems und der dazugehörigen Mathematik.
• Giffen, CH (1996), „Bott periodicity and the Q-construction“ , in Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (Hrsg.), Algebraic K-Theory , Contemporary Mathematics, vol. 199, American Mathematical Society, S.  107–124 , ISBN 978-0-8218-0511-4, MR  1409620
• Milnor, J. (1969). Morse-Theorie . Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9Die
• Baez, John (21. Juni 1997). „Woche 105“ . Entdeckungen dieser Woche in der mathematischen Physik .