Funktor

In der Mathematik , insbesondere in der Kategorientheorie , ist ein Funktor eine Abbildung zwischen Kategorien . Funktoren wurden erstmals in der algebraischen Topologie betrachtet , wo algebraische Objekte (wie die Fundamentalgruppe ) topologischen Räumen zugeordnet werden und Abbildungen zwischen diesen algebraischen Objekten stetigen Abbildungen zwischen Räumen entsprechen . Heutzutage werden Funktoren in der gesamten modernen Mathematik verwendet, um verschiedene Kategorien miteinander zu verknüpfen. Daher sind Funktoren in jedem Anwendungsgebiet der Kategorientheorie von Bedeutung .

Die Begriffe Kategorie und Funktor wurden von Mathematikern von den Philosophen Aristoteles bzw. Rudolf Carnap entlehnt . ^{[ 1 ]} Letzterer verwendete Funktor in einem linguistischen Kontext; ^{[ 2 ]} siehe Funktionswort .

Seien C und D Kategorien . Ein Funktor F von C nach D ist eine Abbildung, die : ^{[ 3 ]}

• ordnet jedem Objekt in C ein Objekt in D zu ,${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• ordnet jedem Morphismus in C einen Morphismus in D zu , sodass die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$für jedes Objekt in C${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$für alle Morphismen und in C .${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Das heißt, Funktoren müssen Identitätsmorphismen und die Komposition von Morphismen erhalten.

Es gibt viele Konstruktionen in der Mathematik, die Funktoren wären, wenn sie nicht Morphismen umkehren und Kompositionen umkehren würden. Wir definieren dann einen kontravarianten Funktor F von C nach D als eine Abbildung, die

• ordnet jedem Objekt in C ein Objekt in D zu ,${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• ordnet jedem Morphismus in C einen Morphismus in D zu , sodass die folgenden beiden Bedingungen gelten: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$für jedes Objekt in C${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$für alle Morphismen und in C .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Varianz des Funktors (zusammengesetzt) ^{​​[ 4 ]}

• Die Zusammensetzung zweier Funktoren mit gleicher Varianz:
  • ${\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {Kontravariante} \circ \mathrm {Kontravariante} \to \mathrm {Kovariante} }$
• Die Komposition zweier Funktoren mit entgegengesetzter Varianz:
  • ${\displaystyle \mathrm {Kovariante} \circ \mathrm {Kontravariante} \to \mathrm {Kontravariante} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {Kontravariante} \circ \mathrm {Kovariante} \to \mathrm {Kontravariante} }$

Beachten Sie, dass kontravariante Funktoren die Kompositionsrichtung umkehren.

Gewöhnliche Funktoren werden auch kovariante Funktoren genannt , um sie von kontravarianten zu unterscheiden. Man kann einen kontravarianten Funktor auch als kovarianten Funktor auf der entgegengesetzten Kategorie definieren . ^{[ 5 ]} Manche Autoren bevorzugen es, alle Ausdrücke kovariant zu schreiben. Anstatt also zu sagen, dass ein kontravarianter Funktor ist, schreiben sie einfach (oder manchmal ) und nennen es einen Funktor. ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Kontravariante Funktoren werden gelegentlich auch Kofunktoren genannt . ^{[ 6 ]}

Es gibt eine Konvention, die „Vektoren“ – d. h. Vektorfelder , Elemente des Schnittraums eines Tangentialbündels – als „kontravariant“ und „Kovektoren“ – d. h. 1-Formen , Elemente des Schnittraums eines Kotangentialbündels – als „kovariant“ bezeichnet. Diese Terminologie stammt aus der Physik und basiert auf der Position der Indizes („oben“ und „unten“) in Ausdrücken wie für oder für . In diesem Formalismus wird beobachtet, dass das Koordinatentransformationssymbol (das die Matrix darstellt ) auf die „Kovektorkoordinaten“ „in gleicher Weise“ wirkt wie auf die Basisvektoren: – wohingegen es auf die „Vektorkoordinaten“ „in entgegengesetzter Weise“ wirkt (aber „in gleicher Weise“ wie auf die Basiskovektoren: ). Diese Terminologie steht im Gegensatz zu der in der Kategorientheorie verwendeten, da dort im Allgemeinen Kovektoren Pullbacks aufweisen und somit kontravariant sind , während Vektoren im Allgemeinen kovariant sind , da sie vorwärts verschoben werden können . Siehe auch Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Jeder Funktor induziert den entgegengesetzten Funktor , wobei und die entgegengesetzten Kategorien zu und sind . ^{[ 7 ]} Per Definition bildet Objekte und Morphismen auf dieselbe Weise ab wie . Da nicht mit als Kategorie übereinstimmt und analog für , unterscheidet sich von . Beispielsweise sollte man bei der Komposition mit entweder oder verwenden . Beachten Sie, dass aufgrund der Eigenschaft der entgegengesetzten Kategorie gilt .${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

Ein Bifunktor (auch binärer Funktor genannt ) ist ein Funktor, dessen Definitionsbereich eine Produktkategorie ist . Beispielsweise ist der Hom-Funktor vom Typ C ^op × C → Set . Er kann als Funktor mit zwei Argumenten betrachtet werden; er ist kontravariant in einem Argument und kovariant im anderen.

Ein Multifunktor ist eine Verallgemeinerung des Funktorkonzepts auf n Variablen. So ist beispielsweise ein Bifunktor ein Multifunktor mit n = 2 .

Zwei wichtige Konsequenzen der Funktoraxiome sind :

• F transformiert jedes kommutative Diagramm in C in ein kommutatives Diagramm in D ;
• Wenn f ein Isomorphismus in C ist , dann ist F ( f ) ein Isomorphismus in D.

Funktoren lassen sich komponieren. Ist F ein Funktor von A nach B und G ein Funktor von B nach C , so kann man den zusammengesetzten Funktor G ∘ F von A nach C bilden. Die Komposition von Funktoren ist, sofern definiert, assoziativ. Der neutrale Funktor einer Komposition ist der neutrale Funktor. Dies zeigt, dass Funktoren als Morphismen in Kategorien von Kategorien, beispielsweise in der Kategorie der kleinen Kategorien , betrachtet werden können .

Eine kleine Kategorie mit nur einem Objekt entspricht einem Monoid : Die Morphismen einer solchen Kategorie können als Elemente des Monoids betrachtet werden, und die Komposition in dieser Kategorie entspricht der Monoid-Operation. Funktoren zwischen Kategorien mit nur einem Objekt entsprechen Monoid- Homomorphismen . In gewisser Weise sind Funktoren zwischen beliebigen Kategorien also eine Verallgemeinerung von Monoid-Homomorphismen auf Kategorien mit mehreren Objekten.

Diagramm

Für Kategorien C und J ist ein Diagramm vom Typ J in C ein kovarianter Funktor .${\displaystyle D\colon J\to C}$

(Kategorie theoretisch) Vorgarbe

Für Kategorien C und J ist ein J -Prägarbe auf C ein kontravarianter Funktor .${\displaystyle D\colon C\to J}$

Im Spezialfall, dass J die Kategorie der Mengen und Funktionen ist , wird D als Prägarbe auf C bezeichnet .

Prägarben (über einem topologischen Raum)

Ist X ein topologischer Raum , so bilden die offenen Mengen in X unter Inklusion eine partiell geordnete Menge Open( X ). Wie jede partiell geordnete Menge bildet Open( X ) genau dann eine kleine Kategorie, wenn ein Pfeil U → V hinzugefügt wird, falls U → V = 0. Kontravariante Funktoren auf Open( X ) heißen Prägarben auf X. Beispielsweise erhält man durch Zuordnung der assoziativen Algebra der reellwertigen stetigen Funktionen auf U zu jeder offenen Menge U eine Prägarbe von Algebren auf X.${\displaystyle U\subseteq V}$

Konstanter Funktor

Der Funktor C → D , der jedes Objekt von C auf ein festes Objekt X in D und jeden Morphismus in C auf den Identitätsmorphismus auf X abbildet , wird als konstanter oder Selektionsfunktor bezeichnet .

Endofunktor

Ein Funktor, der eine Kategorie auf dieselbe Kategorie abbildet; z. B. ein Polynomfunktor .

Identitätsfunktor

In Kategorie C , geschrieben 1 _C oder id _C , bildet der Identitätsfunktor ein Objekt auf sich selbst und einen Morphismus auf sich selbst ab. Der Identitätsfunktor ist ein Endofunktor.

Diagonalfunktor

Der Diagonalfunktor ist definiert als der Funktor von D in die Funktorkategorie DC ^, der jedes Objekt in D auf den konstanten Funktor an diesem Objekt abbildet.

Grenzwertfunktor

Für eine Kategorie J mit festem Index gilt: Besitzt jeder Funktor J → C einen Limes (etwa wenn C vollständig ist), so ordnet der Limesfunktor C ^J → C jedem Funktor seinen Limes zu. Die Existenz dieses Funktors lässt sich beweisen, indem man erkennt, dass er der Rechtsadjungierte des Diagonalfunktors ist , und den Satz von Freyd über adjungierte Funktoren anwendet . Dies erfordert eine geeignete Version des Auswahlaxioms . Ähnliche Bemerkungen gelten für den Kolimitenfunktor (der jedem Funktor seinen Kolimit zuordnet und kovariant ist).

Leistungssatzfunktor

Der Potenzmengenfunktor P  : Menge → Menge bildet jede Menge auf ihre Potenzmenge und jede Funktion auf die Abbildung ab, die auf ihr Bild abbildet . Man kann auch den kontravarianten Potenzmengenfunktor betrachten, der auf die Abbildung abbildet , welche auf ihr Urbild abbildet.${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle V\subseteq Y}$${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Wenn beispielsweise , dann . Angenommen, und . Dann ist die Funktion , die jede Teilmenge von auf ihr Bild abbildet , was in diesem Fall bedeutet , wobei die Abbildung unter bezeichnet . Dies könnte also auch als geschrieben werden . Für die anderen Werte gilt . Beachten Sie, dass folglich die triviale Topologie auf erzeugt . Beachten Sie außerdem, dass die Funktion in diesem Beispiel zwar auf die Potenzmenge von abbildet , dies aber nicht allgemein der Fall sein muss.${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$${\displaystyle f(0)=\{\}}$${\displaystyle f(1)=X}$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$${\displaystyle f(\{0,1\})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Dualer Vektorraum

Die Abbildung, die jedem Vektorraum seinen Dualraum und jeder linearen Abbildung ihren Dualraum oder ihre Transponierte zuordnet, ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie aller Vektorräume über einem festen Körper in sich selbst.

Fundamentalgruppe

Betrachten wir die Kategorie der punktierten topologischen Räume , d _{. h .} topologische Räume mit ausgezeichneten Punkten. Die Objekte sind Paare ( X , x₀ ) , wobei X ein topologischer Raum und x₀ ein Punkt in X ist . Ein Morphismus von ( X , x₀ ) nach ( Y , y₀ ₎ ist gegeben durch _eine stetige Abbildung f  : X → Y mit f ( x₀ ) = y₀ _.

Zu jedem topologischen Raum X mit ausgezeichnetem Punkt x₀ lässt sich die Fundamentalgruppe π₁(X, x₀ ) mit Basis x₀ definieren _. Dies _ist die Gruppe der Homotopieklassen _von Schleifen _mit Basis x₀ , wobei die Gruppenoperation der Verkettung gilt. Ist f :  X → Y _ein Morphismus punktierter Räume , so lässt sich jede Schleife in X mit Basis x₀ mit f zu einer Schleife in Y mit Basis y₀ verketten _. Diese Operation ist mit der Homotopieäquivalenzrelation und der Verkettung von Schleifen kompatibel , und wir erhalten einen Gruppenhomomorphismus von π( X _, x₀ ) nach π( Y, y₀ ) _{. Somit} erhalten wir einen Funktor von der Kategorie der punktierten topologischen Räume in die Kategorie der Gruppen .

In der Kategorie der topologischen Räume (ohne ausgezeichneten Punkt) betrachtet man Homotopieklassen generischer Kurven, die jedoch nur dann zusammengesetzt werden können, wenn sie einen gemeinsamen Endpunkt besitzen. Daher erhält man das Fundamentalgruppoid anstelle der Fundamentalgruppe, und diese Konstruktion ist funktoriell.

Algebra der stetigen Funktionen

Ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Räume (mit stetigen Abbildungen als Morphismen) in die Kategorie der reellen assoziativen Algebren ist gegeben, indem man jedem topologischen Raum X die Algebra C( X ) aller reellwertigen stetigen Funktionen auf diesem Raum zuordnet. Jede stetige Abbildung f  : X → Y induziert einen Algebrahomomorphismus C( f ) : C( Y ) → C( X ) nach der Regel C( f )( φ ) = φ ∘ f für jedes φ ∈ C( Y ).

Tangenten- und Kotangensbündel

Die Abbildung, die jede differenzierbare Mannigfaltigkeit auf ihr Tangentialbündel und jede glatte Abbildung auf ihre Ableitung abbildet , ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der Vektorbündel .

Die punktweise Durchführung dieser Konstruktionen liefert den Tangentialraum , einen kovarianten Funktor von der Kategorie der punktierten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der reellen Vektorräume. Analog dazu ist der Kotangentialraum ein kontravarianter Funktor, im Wesentlichen die Komposition des Tangentialraums mit dem oben genannten Dualraum .

Gruppenaktionen/Vertretungen

Jede Gruppe G kann als Kategorie mit einem einzigen Objekt betrachtet werden, dessen Morphismen die Elemente von G sind . Ein Funktor von G nach Set ist dann nichts anderes als eine Gruppenwirkung von G auf eine bestimmte Menge, also eine G -Menge. Ebenso ist ein Funktor von G in die Kategorie der Vektorräume , Vect _K , eine lineare Darstellung von G. Allgemein kann ein Funktor G → C als eine „Wirkung“ von G auf ein Objekt in der Kategorie C betrachtet werden . Ist C eine Gruppe, so ist diese Wirkung ein Gruppenhomomorphismus.

Lie-Algebren

Die Zuordnung jeder reellen (komplexen) Lie-Gruppe zu ihrer reellen (komplexen) Lie-Algebra definiert einen Funktor.

Tensorprodukte

Bezeichnet C die Kategorie der Vektorräume über einem festen Körper mit linearen Abbildungen als Morphismen, so definiert das Tensorprodukt einen Funktor C × C → C , der in beiden Argumenten kovariant ist. ^{[ 8 ]}${\displaystyle V\otimes W}$

Vergessliche Funktoren

Der Funktor U  : Grp → Set , der eine Gruppe auf ihre zugrundeliegende Menge und einen Gruppenhomomorphismus auf seine zugrundeliegende Mengenfunktion abbildet , ist ein Funktor. ^{[ 9 ]} Solche Funktoren, die eine bestimmte Struktur „vergessen“, werden als vergessliche Funktoren bezeichnet . Ein weiteres Beispiel ist der Funktor Rng → Ab , der einen Ring auf seine zugrundeliegende additive abelsche Gruppe abbildet . Morphismen in Rng ( Ringhomomorphismen ) werden zu Morphismen in Ab (abelsche Gruppenhomomorphismen).

Freie Funktoren

Das Gegenteil von vergesslichen Funktoren sind freie Funktoren. Der freie Funktor F  : Set → Grp bildet jede Menge X auf die von X erzeugte freie Gruppe ab . Funktionen werden auf Gruppenhomomorphismen zwischen freien Gruppen abgebildet. Freie Konstruktionen existieren für viele Kategorien, die auf strukturierten Mengen basieren. Siehe freies Objekt .

Homomorphismusgruppen

Jedem Paar A , B abelscher Gruppen kann die abelsche Gruppe Hom( A , B ) zugeordnet werden, die aus allen Gruppenhomomorphismen von A nach B besteht . Dies ist ein Funktor, der im ersten Argument kontravariant und im zweiten kovariant ist, d. h. ein Funktor _{Ab op ×} Ab → ^Ab ( wobei Ab die Kategorie der abelschen Gruppen _mit Gruppenhomomorphismen bezeichnet). Sind f  : A₁ → A₂ und g  : _B₁ → B₂ Morphismen in Ab , so ist _der Gruppenhomomorphismus Hom( f , g ) : Hom( A₂ , B₁ ) → Hom( A₁, B₂ ₎ gegeben _durch φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Siehe Hom-Funktor .

Repräsentierbare Funktoren

Wir können das vorherige Beispiel auf jede Kategorie C verallgemeinern . Jedem Paar X , Y von Objekten in C kann die Menge Hom( X , Y ) der Morphismen von X nach Y zugeordnet werden . Dies definiert einen Funktor nach Set , der im ersten Argument kontravariant und im zweiten kovariant ist, d. h. er ist ein Funktor _{C op ×} C ^→ Set . Sind f : X₁  → X₂ und g : Y₁  → Y₂ Morphismen in C , so _ist die Abbildung _Hom ( f , g ) : Hom( X₂ _, Y₁ ₎ → Hom( X₁ , Y₂ ) _gegeben durch φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Solche Funktoren werden als darstellbare Funktoren bezeichnet . In vielen Anwendungsbereichen ist es ein wichtiges Ziel, festzustellen, ob ein gegebener Funktor darstellbar ist.

Seien C und D Kategorien. Die Menge aller Funktoren von C nach D bildet die Objekte einer Kategorie: die Funktorkategorie . Morphismen in dieser Kategorie sind natürliche Transformationen zwischen Funktoren.

Funktoren werden oft durch universelle Eigenschaften definiert ; Beispiele hierfür sind das Tensorprodukt , die direkte Summe und das direkte Produkt von Gruppen oder Vektorräumen, die Konstruktion freier Gruppen und Moduln sowie direkte und inverse Limiten. Die Begriffe Limit und Kolimes verallgemeinern einige der oben genannten.

Universelle Konstruktionen führen oft zu Paaren von adjungierten Funktoren .

Funktoren kommen gelegentlich in der funktionalen Programmierung vor . Beispielsweise besitzt die Programmiersprache Haskell eine KlasseFunctor , in der fmapes sich um eine polytypische Funktion handelt, die dazu dient, Funktionen ( Morphismen auf Hask , der Kategorie der Haskell-Typen) ^{[ 10 ]} zwischen bestehenden Typen auf Funktionen zwischen neuen Typen abzubilden . ^{[ 11 ]}

• Anafunktor
• Professor
• Funktorkategorie
• Kan-Erweiterung
• Pseudofunktor

• Jacobson, Nathan (2009), Grundlegende Algebra , Bd. 2 (2. Aufl.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7Die
• Simmons, Harold (2011), „Funktoren und natürliche Transformationen“, Einführung in die Kategorientheorie , S.  72–107 , doi : 10.1017/CBO9780511863226.004 , ISBN 978-1-107-01087-1

• "Funktor" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Siehe functor im n Lab und die dort diskutierten und verlinkten Variationen.
• André Joyal , CatLab , ein Wiki-Projekt zur Darstellung der kategorialen Mathematik
• Hillman, Chris (2001). „A Categorical Primer“ . CiteSeerX  10.1.1.24.3264 . Archiviert vom Original am 03.05.1997.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstrakte und konkrete Kategorien – Die Freude an Katzen (Archiviert am 21.04.2015 in der Wayback Machine)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ Kategorientheorie “ – von Jean-Pierre Marquis. Umfangreiche Bibliographie.
• Liste akademischer Konferenzen zur Kategorientheorie
• Baez, John, 1996, „ Die Geschichte der n -Kategorien“. Eine informelle Einführung in Kategorien höherer Ordnung.
• WildCats ist ein Kategorientheorie- Paket für Mathematica . Manipulation und Visualisierung von Objekten, Morphismen , Kategorien, Funktoren, natürlichen Transformationen und universellen Eigenschaften .
• The catsters , ein YouTube-Kanal über Kategorientheorie.
• Videoarchiv mit Aufzeichnungen von Vorträgen zu Kategorien, Logik und den Grundlagen der Physik.
• Interaktive Webseite , die Beispiele für kategoriale Konstruktionen in der Kategorie der endlichen Mengen generiert.