Kapillarwelle

Eine Kapillarwelle ist eine Welle , die sich entlang der Phasengrenze eines Fluids ausbreitet und deren Dynamik und Phasengeschwindigkeit von den Auswirkungen der Oberflächenspannung dominiert werden .

Kapillarwellen sind in der Natur weit verbreitet und werden oft als Wellen bezeichnet . Die Wellenlänge von Kapillarwellen auf Wasser beträgt typischerweise weniger als einige Zentimeter, mit einer Phasengeschwindigkeit von über 0,2–0,3 Metern pro Sekunde.

Eine längere Wellenlänge an einer Flüssigkeitsoberfläche führt zu Schwere-Kapillarwellen , die sowohl von der Oberflächenspannung und der Schwerkraft als auch von der Flüssigkeitsträgheit beeinflusst werden . Gewöhnliche Schwerewellen weisen eine noch längere Wellenlänge auf.

Leichte Brisen, die auf der Wasseroberfläche solche kleinen Wellen erzeugen, werden manchmal auch als „Katzenpfotenwellen“ bezeichnet. Auf dem offenen Ozean können durch das Zusammenfließen kleiner, vom Wind verursachter Wellen viel größere Oberflächenwellen ( Seegang und Dünung ) entstehen.

Die Dispersionsrelation beschreibt den Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz bei Wellen. Man unterscheidet zwischen reinen Kapillarwellen – die vollständig von der Oberflächenspannung bestimmt werden – und Schwere-Kapillarwellen, die zusätzlich von der Schwerkraft beeinflusst werden.

Die Dispersionsrelation für Kapillarwellen lautet:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

Dabei ist die Kreisfrequenz , die Oberflächenspannung , die Dichte des schwereren Fluids , die Dichte des leichteren Fluids und die Wellenzahl . Die Wellenlänge ist . Für die Grenzfläche zwischen Fluid und Vakuum (freie Oberfläche) vereinfacht sich die Dispersionsrelation zu ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

Wenn Kapillarwellen auch wesentlich von der Schwerkraft beeinflusst werden, nennt man sie Schwere-Kapillarwellen. Ihre Dispersionsrelation lautet für Wellen an der Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten unendlicher Tiefe: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

Hierbei ist die Erdbeschleunigung , und sind die Dichten der beiden Flüssigkeiten . Der Faktor im ersten Term ist die Atwood- Zahl . ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle (\rho >\rho ')}$${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

Bei großen Wellenlängen (kleinen Werten ) ist nur der erste Term relevant, und man erhält Gravitationswellen . In diesem Grenzfall beträgt die Gruppengeschwindigkeit der Wellen die Hälfte der Phasengeschwindigkeit : Verfolgt man den Wellenberg einer einzelnen Welle in einer Gruppe, kann man beobachten, wie die Welle am hinteren Ende der Gruppe entsteht, anwächst und schließlich am vorderen Ende der Gruppe verschwindet. ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Kürzere (große ) Wellen (z. B. 2 mm an der Wasser-Luft-Grenzfläche), die echte Kapillarwellen sind, verhalten sich umgekehrt: Eine einzelne Welle entsteht am vorderen Ende der Gruppe, verstärkt sich beim Bewegen zum Zentrum der Gruppe und verschwindet schließlich am hinteren Ende der Gruppe. Die Phasengeschwindigkeit beträgt in diesem Grenzfall zwei Drittel der Gruppengeschwindigkeit. ${\displaystyle k}$

Zwischen diesen beiden Grenzwerten liegt ein Punkt, an dem sich die durch die Schwerkraft verursachte Dispersion und die durch den Kapillareffekt bedingte Dispersion aufheben. Bei einer bestimmten Wellenlänge entspricht die Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit, und es tritt keine Dispersion auf. Genau bei dieser Wellenlänge weist die Phasengeschwindigkeit von Gravitations-Kapillarwellen als Funktion der Wellenlänge (bzw. Wellenzahl) ein Minimum auf. Wellen mit Wellenlängen, die deutlich kleiner als diese kritische Wellenlänge sind, werden von der Oberflächenspannung, solche mit Wellenlängen deutlich größer von der Schwerkraft dominiert. Der Wert dieser Wellenlänge und die zugehörige minimale Phasengeschwindigkeit sind: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{und}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

Für die Luft - Wasser- Grenzfläche wurde ein Wert von 1,7 cm (0,67 Zoll) und eine Geschwindigkeit von 0,23 m/s (0,75 ft/s) ermittelt. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

Lässt man einen kleinen Stein oder Tropfen in eine Flüssigkeit fallen, breiten sich die Wellen außerhalb eines sich ausdehnenden Kreises ruhender Flüssigkeit aus; dieser Kreis ist eine Kaustik , die der minimalen Gruppengeschwindigkeit entspricht. ^{[ 3 ]}

Wie Richard Feynman es ausdrückte: „ [Wasserwellen], die für jeden leicht sichtbar sind und üblicherweise in Einführungskursen als Beispiel für Wellen verwendet werden, […] sind das denkbar schlechteste Beispiel […]; sie weisen alle Komplikationen auf, die Wellen haben können. “ ^{[ 4 ]} Die Herleitung der allgemeinen Dispersionsrelation ist daher recht komplex. ^{[ 5 ]}

Die Energie setzt sich aus drei Beiträgen zusammen: der Gravitation, der Oberflächenspannung und der Hydrodynamik . Die ersten beiden sind potenzielle Energien und bestimmen die beiden Terme in Klammern, wie aus dem Auftreten von und ersichtlich ist . Für die Gravitation wird angenommen, dass die Dichte der Flüssigkeiten konstant ist (d. h. Inkompressibilität), und analog dazu (die Wellen sind nicht hoch genug, um die Gravitation merklich zu verändern). Bei der Oberflächenspannung wird angenommen, dass die Abweichungen von der Planarität (gemessen durch Ableitungen der Oberfläche) gering sind. Für gewöhnliche Wellen sind beide Näherungen ausreichend. ${\displaystyle g}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g}$

Der dritte Beitrag betrifft die kinetischen Energien der Fluide. Er ist der komplexeste und erfordert einen hydrodynamischen Ansatz. Dabei spielt erneut die Inkompressibilität eine Rolle (die erfüllt ist, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen deutlich unter der Schallgeschwindigkeit im Medium liegt), zusammen mit der Annahme einer wirbelfreien Strömung – die Strömung ist dann eine Potentialströmung . Diese Näherungen sind typischerweise auch für gängige Situationen gut anwendbar.

Die resultierende Gleichung für das Potential (die Laplace-Gleichung ) lässt sich mit geeigneten Randbedingungen lösen. Zum einen muss die Geschwindigkeit weit unterhalb der Oberfläche verschwinden (im Fall von Tiefwasser, den wir betrachten; andernfalls ergibt sich ein komplexeres Ergebnis, siehe Meeresoberflächenwellen ). Zum anderen muss ihre Vertikalkomponente der Bewegung der Oberfläche entsprechen. Dieser Beitrag ist verantwortlich für den zusätzlichen Ausdruck außerhalb der Klammer, der dazu führt, dass alle Bereiche dispersiv sind, sowohl bei kleinen als auch bei großen Werten von (außer um den einen Wert herum, bei dem sich die beiden Dispersionen aufheben). ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Dispersionsrelation für Schwere-Kapillarwellen an einer Grenzfläche zwischen zwei halbunendlichen Flüssigkeitsdomänen

Betrachten wir zwei Fluidbereiche, die durch eine Grenzfläche mit Oberflächenspannung getrennt sind. Die mittlere Lage der Grenzfläche ist horizontal. Sie trennt das obere vom unteren Fluid, die jeweils unterschiedliche konstante Massendichten aufweisen. Das Fluid wird als reibungsfrei und inkompressibel angenommen, und die Strömung wird als wirbelfrei betrachtet . Dann handelt es sich um Potentialströmungen , und die Geschwindigkeiten in der unteren und oberen Schicht lassen sich aus den jeweiligen Potentialen bestimmen. Hierbei sind und die Geschwindigkeitspotentiale . ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \nabla \phi }$${\displaystyle \nabla \phi '}$${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ Drei Energiebeiträge wirken sich aus: die potenzielle Energie aufgrund der Schwerkraft , die potenzielle Energie aufgrund der Oberflächenspannung und die kinetische Energie der Strömung. Der Anteil aufgrund der Schwerkraft ist der einfachste: Integration der potenziellen Energiedichte aufgrund der Schwerkraft (oder ) von einer Referenzhöhe bis zur Position der Oberfläche : [ 6 ]${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle \rho gz}$${\displaystyle \rho 'gz}$${\displaystyle z=\eta (x,y,t)}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},}$ unter der Annahme, dass die mittlere Position der Schnittstelle bei . ${\displaystyle z=0}$ Eine Vergrößerung der Oberfläche führt aufgrund der Oberflächenspannung zu einer proportionalen Erhöhung der Energie: [ 7 ] ${\displaystyle V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],}$ wobei die erste Gleichheit die Fläche in dieser ( Monge'schen ) Darstellung ist und die zweite für kleine Werte der Ableitungen gilt (Oberflächen, die nicht zu rau sind). Der letzte Beitrag betrifft die kinetische Energie des Fluids: [ 8 ] ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].}$ Es wird davon ausgegangen, dass das Fluid inkompressibel und seine Strömung wirbelfrei ist (oft sinnvolle Näherungen). Folglich müssen sowohl als auch die Laplace-Gleichung erfüllen : [ 9 ]${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$   Und   ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi '=0.}$ Diese Gleichungen können mit den entsprechenden Randbedingungen gelöst werden: und müssen weit entfernt von der Oberfläche verschwinden (im Fall des „tiefen Wassers“, den wir betrachten). ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '}$ Unter Verwendung der Greenschen Identität und der Annahme, dass die Abweichungen der Oberflächenerhebung klein sind (sodass die z -Integrationen durch Integration bis anstatt bis angenähert werden können ), kann die kinetische Energie wie folgt geschrieben werden: [ 8 ]${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\eta }$ ${\displaystyle T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.}$ Zur Bestimmung der Dispersionsrelation genügt es, eine sinusförmige Welle an der Grenzfläche zu betrachten, die sich in x -Richtung ausbreitet: [ 7 ] ${\displaystyle \eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,}$ mit Amplitude und Wellenphase . Die kinematische Randbedingung an der Grenzfläche, die die Potentiale mit der Bewegung der Grenzfläche verknüpft, besagt, dass die vertikalen Geschwindigkeitskomponenten mit der Bewegung der Oberfläche übereinstimmen müssen: [ 7 ]${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta =kx-\omega t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$   und     bei .${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$${\displaystyle z=0}$ Um das Problem der Bestimmung der Potentiale anzugehen, kann man eine Trennung der Variablen versuchen , wenn sich beide Felder wie folgt ausdrücken lassen: [ 7 ] ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}}$ Dann ergeben sich die Beiträge zur Wellenenergie, horizontal integriert über eine Wellenlänge in x- Richtung und über eine Einheitsbreite in y- Richtung, zu: [ 7 ] [ 10 ]${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}}$ Die Dispersionsrelation kann nun aus der Lagrange-Funktion erhalten werden , wobei die Summe der potenziellen Energien durch Gravitation und Oberflächenspannung ist : [ 11 ].${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$ ${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .}$ Für sinusförmige Wellen und die lineare Wellentheorie hat die phasenmittlere Lagrange-Funktion stets die Form , sodass die Variation bezüglich des einzigen freien Parameters die Dispersionsrelation ergibt . [ 11 ] In unserem Fall entspricht einfach dem Ausdruck in den eckigen Klammern, sodass die Dispersionsrelation lautet: ${\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D(\omega ,k)=0}$${\displaystyle D(\omega ,k)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),}$ Dasselbe wie oben. Daraus ergibt sich die durchschnittliche Wellenenergie pro horizontaler Flächeneinheit, : ${\displaystyle (T+V)/\lambda }$ ${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.}$ Wie üblich bei linearen Wellenbewegungen sind die potenzielle und die kinetische Energie gleich ( Äquipartitionsprinzip ): . [ 12 ]${\displaystyle T=V}$

• Kapillarwirkung
• Dispersion (Wasserwellen)
• Meeresoberflächenwelle
• Thermische Kapillarwelle
• Zweiphasenströmung
• Wellenförmige Rippel

• 
  Wellen auf dem Wasser, die von Wasserläufern erzeugt werden
• 
  Eine leichte Brise kräuselt die Wasseroberfläche eines Sees
• 
  Wellen auf der Wasseroberfläche, verursacht durch eine Gasblase
• Kapillarwellen von Regentropfen

• Longuet-Higgins, MS (1963). „Die Erzeugung von Kapillarwellen durch steile Schwerewellen“. Journal of Fluid Mechanics . 16 (1): 138–159 . Bibcode : 1963JFM....16..138L . doi : 10.1017/S0022112063000641 . ISSN  1469-7645 . S2CID  119740891 .
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamik (6. Aufl.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9Die
• Phillips, O.M. (1977). Die Dynamik des oberen Ozeans (2. Aufl.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6Die
• Dingemans, MW (1997). Wasserwellenausbreitung über unebenem Meeresboden . Advanced Series on Ocean Engineering. Band 13. World Scientific, Singapur. 2 Teile, 967 Seiten. ISBN 981-02-0427-2Die
• Safran, Samuel (1994). Statistische Thermodynamik von Oberflächen, Grenzflächen und Membranen . Addison-Wesley.
• Tufillaro, NB; Ramshankar, R.; Gollub, JP (1989). „Ordnung-Unordnung-Übergang in Kapillarrippeln“ . Physical Review Letters . 62 (4): 422–425 . Bibcode : 1989PhRvL..62..422T . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.422 . PMID  10040229 .

• Eintrag zu Kapillarwellen bei sklogwiki