Welle

In Mathematik und Physik bezeichnet man als Welle eine sich ausbreitende dynamische Störung (Abweichung vom Gleichgewichtszustand ) einer oder mehrerer Größen . Periodische Wellen schwingen wiederholt um einen Ruhezustand mit einer bestimmten Frequenz . Bewegt sich die gesamte Wellenform in eine Richtung, spricht man von einer Wanderwelle ; im Gegensatz dazu bildet ein Paar identischer, sich überlagernder periodischer Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, eine stehende Welle . Bei einer stehenden Welle weist die Schwingungsamplitude an bestimmten Stellen Minima auf, an denen die Wellenamplitude kleiner oder sogar null erscheint.

In der klassischen Physik werden hauptsächlich zwei Wellenarten untersucht : mechanische und elektromagnetische Wellen . Bei einer mechanischen Welle oszillieren Spannungs- und Dehnungsfelder um ein mechanisches Gleichgewicht . Eine mechanische Welle ist eine lokale Deformation (Dehnung) in einem physikalischen Medium, die sich von Teilchen zu Teilchen ausbreitet, indem sie lokale Spannungen erzeugt, die wiederum Dehnungen in benachbarten Teilchen hervorrufen. Schallwellen sind beispielsweise Variationen des lokalen Drucks und der Teilchenbewegung , die sich durch das Medium ausbreiten. Weitere Beispiele für mechanische Wellen sind seismische Wellen , Gravitationswellen , Oberflächenwellen und Saitenschwingungen . Bei einer elektromagnetischen Welle (wie Licht) ermöglicht die Kopplung zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld die Ausbreitung von Wellen, die diese Felder gemäß den Maxwell-Gleichungen beinhalten . Elektromagnetische Wellen können sich im Vakuum und durch einige dielektrische Medien ausbreiten (bei Wellenlängen, bei denen sie als transparent gelten ). Elektromagnetische Wellen haben, je nach ihrer Frequenz (oder Wellenlänge ), spezifischere Bezeichnungen wie Radiowellen , Infrarotstrahlung , Terahertz-Wellen , sichtbares Licht , ultraviolette Strahlung , Röntgenstrahlen und Gammastrahlen .

Other types of waves include gravitational waves, which are disturbances in spacetime that propagate according to general relativity; heat diffusion waves; plasma waves that combine mechanical deformations and electromagnetic fields; reaction–diffusion waves, such as in the Belousov–Zhabotinsky reaction; and many more. Mechanical and electromagnetic waves transfer energy,^[1]momentum and information. In the case of waves in a liquid medium, matter can also be transferred (see Stokes drift). In mathematics and electronics waves are studied as signals.^[2] On the other hand, some waves have envelopes which do not move at all such as standing waves (which are fundamental to music) and hydraulic jumps.

A physical wave field is almost always confined to some finite region of space, called its domain. For example, the seismic waves generated by earthquakes are significant only in the interior and surface of the planet, so they can be ignored outside it. However, waves with infinite domain, that extend over the whole space, are commonly studied in mathematics, and are very valuable tools for understanding physical waves in finite domains.

Eine ebene Welle ist eine wichtige mathematische Idealisierung, bei der die Störung entlang jeder (unendlichen) Ebene, die senkrecht zu einer bestimmten Ausbreitungsrichtung steht, identisch ist. Mathematisch gesehen ist die einfachste Welle eine sinusförmige ebene Welle, bei der das Feld an jedem Punkt eine harmonische Schwingung mit einer bestimmten Frequenz ausführt. In linearen Medien lassen sich komplexe Wellen im Allgemeinen als Summe vieler sinusförmiger ebener Wellen mit unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen und/oder unterschiedlichen Frequenzen darstellen. Eine ebene Welle wird als Transversalwelle klassifiziert , wenn die Feldstörung an jedem Punkt durch einen Vektor beschrieben wird, der senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (und damit auch zur Richtung des Energietransports) steht; andernfalls als Longitudinalwelle , wenn diese Vektoren mit der Ausbreitungsrichtung übereinstimmen. Mechanische Wellen umfassen sowohl Transversal- als auch Longitudinalwellen; elektromagnetische ebene Wellen hingegen sind ausschließlich transversal, während Schallwellen in Flüssigkeiten (wie Luft) nur longitudinal sein können. Die physikalische Richtung eines schwingenden Feldes relativ zur Ausbreitungsrichtung wird auch als Polarisation der Welle bezeichnet und kann eine wichtige Eigenschaft darstellen.

Obwohl Wellen allgegenwärtige Merkmale physikalischer Systeme sind, beschreibt keine einzelne Definition das Thema adäquat. Beispiele und Beschreibungen gemeinsamer Eigenschaften dienen als Alternative zu einer einheitlichen Definition. ^{[ 4 ] : 2} Abstrakt betrachtet sind Wellen die dynamische Manifestation der zeitabhängigen Feldtheorie , analog zur Ballistik , der dynamischen Manifestation der Teilchenmechanik . Diese Sichtweise vernachlässigt jedoch die vielen anschaulichen Beispiele von Wellen, wie etwa schwingende Saiteninstrumente oder Flüssigkeitswellen . ^{[ 5 ] : 1}

Mikroskopisch betrachtet sind Wellen Änderungen des Wertes einer physikalischen Größe an einem Punkt im Raum, die durch eine verzögerte Reaktion auf Änderungen in benachbarten Bereichen entstehen. Beispiele für solche Größen sind Druck, Temperatur, Höhe oder Gravitationskraft. Ein physikalisches Medium wie Vakuum, Luft, Wasser oder festes Gestein kann Wellen in verschiedenen Eigenschaften aufweisen, die miteinander in Zusammenhang stehen können oder nicht. Auch Eigenschaften wie die Höhe von Zuschauern bei einem Sportereignis oder der Grad der Angst unter politischen Demonstranten können als Wellen betrachtet werden, wenn die Eigenschaft von verzögerten Reaktionen auf physikalisch benachbarte Ereignisse abhängt. ^{[ 5 ] : 2}

In der Physik wird eine physikalische Größe, die an bestimmten Punkten im Raum einen Wert besitzt, als Feld bezeichnet. Eine Welle ist demnach eine Störung in einem Feld, die durch die verzögerte Reaktion auf benachbarte Störungen entsteht. Makroskopisch betrachtet ist eine Welle die dynamische Antwort eines Feldes, die durch Effekte hervorgerufen wird, welche sich nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten können. Die Rotation eines elektrischen Dipols erzeugt elektromagnetische Wellen , und die gegenseitige Rotation von Doppelsternen erzeugt Gravitationswellen , die sich jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten . ^{[ 5 ] : 7}

Periodische oder sinusförmige Wellen sind nützliche, idealisierte Beispiele. Die notwendige Wechselwirkung benachbarter Wellen mit Verzögerung führt jedoch dazu, dass sich Wellen auch in nichtlinearen, granularen oder verrauschten Medien ausbreiten können, die diese idealen Ergebnisse nicht liefern. Temperaturwellen oder Wellen chemischer Reaktionen zeigen, dass Wellen nicht zwangsläufig eine materielle Verschiebung darstellen müssen. ^{[ 5 ] : 10}

Mathematisch wird eine Welle durch eine Funktion beschrieben , die einen Punkt in Raum und Zeit auf ein Feld abbildet . Bei einem Skalarfeld ist ihr Wert eine Zahl, bei einem Vektorfeld ein Vektor ; allgemein hat ein Tensorfeld einen Tensorwert . ${\displaystyle F(x,t)}$

Der Wert von ist ein Punkt im Raum, genauer gesagt in dem Bereich, in dem die Welle definiert ist. Mathematisch gesehen ist er üblicherweise ein Vektor im kartesischen dreidimensionalen Raum . In vielen Fällen kann man jedoch eine Dimension vernachlässigen und als Punkt der kartesischen Ebene betrachten . Dies ist beispielsweise bei der Untersuchung von Schwingungen eines Trommelfells der Fall. Man kann sich sogar auf einen Punkt der kartesischen Achse beschränken – also auf die Menge der reellen Zahlen . Dies ist beispielsweise bei der Untersuchung von Schwingungen einer Geigensaite oder Blockflöte der Fall . Die Zeit hingegen wird stets als Skalar , also als reelle Zahl, angenommen. ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle t}$

The value of ${\displaystyle F(x,t)}$ can be any physical quantity of interest assigned to the point ${\displaystyle x}$ that may vary with time. For example, if ${\displaystyle F}$ represents the vibrations inside an elastic solid, the value of ${\displaystyle F(x,t)}$ is usually a vector that gives the current displacement from ${\displaystyle x}$ of the material particles that would be at the point ${\displaystyle x}$ in the absence of vibration. For an electromagnetic wave, the value of ${\displaystyle F}$ can be the electric field vector ${\displaystyle E}$, or the magnetic field vector ${\displaystyle H}$, or any related quantity, such as the Poynting vector${\displaystyle E\times H}$. In fluid dynamics, the value of ${\displaystyle F(x,t)}$ could be the velocity vector of the fluid at the point ${\displaystyle x}$, or any scalar property like pressure, temperature, or density. In a chemical reaction, ${\displaystyle F(x,t)}$ could be the concentration of some substance in the neighborhood of point ${\displaystyle x}$ of the reaction medium.

For any dimension ${\displaystyle d}$ (1, 2, or 3), the wave's domain is then a subset${\displaystyle D}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, such that the function value ${\displaystyle F(x,t)}$ is defined for any point ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle D}$. For example, when describing the motion of a drum skin, one can consider ${\displaystyle D}$ to be a disk (circle) on the plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ with center at the origin ${\displaystyle (0,0)}$, and let ${\displaystyle F(x,t)}$ be the vertical displacement of the skin at the point ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle D}$ and at time ${\displaystyle t}$.

Waves of the same type are often superposed and encountered simultaneously at a given point in space and time. The properties at that point are the sum of the properties of each component wave at that point. In general, the velocities are not the same, so the wave form will change over time and space.

A wave spectrum is a representation that describes how the energy of a sea surface (or wave field) is distributed across different wave frequencies (or wave numbers) and directions.^[6] Real ocean surfaces consist of many overlapping waves of different wavelengths, periods, amplitudes, and directions. A wave spectrum offers a statistical (spectral) description rather than tracking individual waves.^[7] The observed sea-surface elevation at a point can be thought of as the sum (superposition) of many sinusoidal wave components; the wave spectrum quantifies how much energy is associated with each component.^[8]

Manchmal interessiert man sich für eine einzelne, spezifische Welle. Häufiger jedoch muss man eine große Menge möglicher Wellen verstehen; beispielsweise alle Arten, wie ein Trommelfell nach einmaligem Anschlagen mit einem Trommelstock schwingen kann , oder alle möglichen Radarechos , die von einem sich einem Flughafen nähernden Flugzeug empfangen werden können .

In manchen dieser Situationen lässt sich eine solche Wellenschar durch eine Funktion beschreiben , die neben und von bestimmten Parametern abhängt . Durch die Wahl unterschiedlicher Werte für diese Parameter erhält man dann verschiedene Wellen – also unterschiedliche Funktionen von und . ${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$${\displaystyle A,B,\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

Beispielsweise ist der Schalldruck im Inneren einer Blockflöte , die einen „reinen“ Ton spielt, typischerweise eine stehende Welle , die sich wie folgt darstellen lässt:

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

Der Parameter definiert die Amplitude der Welle (d. h. den maximalen Schalldruck im Rohr, der mit der Lautstärke des Tons zusammenhängt); ist die Schallgeschwindigkeit; ist die Rohrlänge; und ist eine positive ganze Zahl (1, 2, 3, ...), die die Anzahl der Knoten in der stehenden Welle angibt. (Die Position sollte vom Mundstück aus gemessen werden , und die Zeit ab dem Zeitpunkt, an dem der Druck am Mundstück maximal ist. Die Größe ist die Wellenlänge des ausgesendeten Tons und ist seine Frequenz .) Viele allgemeine Eigenschaften dieser Wellen lassen sich aus dieser allgemeinen Gleichung ableiten, ohne dass spezifische Werte für die Parameter gewählt werden müssen. ${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$${\displaystyle f=c/\lambda }$

Ein weiteres Beispiel: Die Schwingungen eines Trommelfells nach einem einzelnen Schlag hängen möglicherweise nur vom Abstand zwischen Fellmitte und Schlagpunkt sowie von der Schlagstärke ab. Dann lässt sich die Schwingung für alle möglichen Schläge durch eine Funktion beschreiben . ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(r,s;x,t)}$

Manchmal besitzt die betrachtete Wellenschar unendlich viele Parameter. Beispielsweise möchte man beschreiben, was mit der Temperatur eines Metallstabs geschieht, wenn dieser an verschiedenen Punkten seiner Länge auf unterschiedliche Temperaturen erhitzt und anschließend im Vakuum abgekühlt wird. In diesem Fall müsste der Parameter anstelle eines Skalars oder Vektors eine Funktion sein, sodass die Anfangstemperatur an jedem Punkt des Stabs ist. Die Temperaturen zu späteren Zeitpunkten lassen sich dann durch eine Funktion ausdrücken , die von der Funktion abhängt (also durch einen Funktionaloperator ), sodass die Temperatur zu einem späteren Zeitpunkt gleich der Funktion ist.${\displaystyle h}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h}$${\displaystyle F(h;x,t)}$

Another way to describe and study a family of waves is to give a mathematical equation that, instead of explicitly giving the value of ${\displaystyle F(x,t)}$, only constrains how those values can change with time. Then the family of waves in question consists of all functions ${\displaystyle F}$ that satisfy those constraints – that is, all solutions of the equation.

This approach is extremely important in physics, because the constraints usually are a consequence of the physical processes that cause the wave to evolve. For example, if ${\displaystyle F(x,t)}$ is the temperature inside a block of some homogeneous and isotropic solid material, its evolution is constrained by the partial differential equation

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

where ${\displaystyle Q(x,t)}$ is the heat that is being generated per unit of volume and time in the neighborhood of ${\displaystyle x}$ at time ${\displaystyle t}$ (for example, by chemical reactions happening there); ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ are the Cartesian coordinates of the point ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \partial F/\partial t}$ is the (first) derivative of ${\displaystyle F}$ with respect to ${\displaystyle t}$; and ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$ is the second derivative of ${\displaystyle F}$ relative to ${\displaystyle x_{i}}$. (The symbol "${\displaystyle \partial }$" is meant to signify that, in the derivative with respect to some variable, all other variables must be considered fixed.)

This equation can be derived from the laws of physics that govern the diffusion of heat in solid media. For that reason, it is called the heat equation in mathematics, even though it applies to many other physical quantities besides temperatures.

For another example, we can describe all possible sounds echoing within a container of gas by a function ${\displaystyle F(x,t)}$ that gives the pressure at a point ${\displaystyle x}$ and time ${\displaystyle t}$ within that container. If the gas was initially at uniform temperature and composition, the evolution of ${\displaystyle F}$ is constrained by the formula

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

Here ${\displaystyle P(x,t)}$ is some extra compression force that is being applied to the gas near ${\displaystyle x}$ by some external process, such as a loudspeaker or piston right next to it.

This same differential equation describes the behavior of mechanical vibrations and electromagnetic fields in a homogeneous isotropic non-conducting solid. Note that this equation differs from that of heat flow only in that the left-hand side is ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$, the second derivative of ${\displaystyle F}$ with respect to time, rather than the first derivative ${\displaystyle \partial F/\partial t}$. Yet this small change makes a huge difference on the set of solutions ${\displaystyle F}$. This differential equation is called "the" wave equation in mathematics, even though it describes only one very special kind of waves.

Betrachten wir eine sich ausbreitende Transversalwelle (die ein Impuls sein kann ) auf einer Saite (dem Medium). Die Saite soll eine einzige Raumdimension besitzen. Betrachten wir diese Welle als sich ausbreitend.

• in Richtung im Raum. Beispielsweise sei die positive Richtung nach rechts und die negative Richtung nach links.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• mit konstanter Amplitude${\displaystyle u}$
• mit konstanter Geschwindigkeit , wobei ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$
  • Wellenlängenunabhängig ( keine Dispersion )
  • unabhängig von der Amplitude ( lineare Medien, nicht nichtlineare ). ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• mit konstanter Wellenform oder Form

Diese Welle kann dann durch die zweidimensionalen Funktionen beschrieben werden.

oder, allgemeiner, durch die d’Alembertsche Formel : ^{[ 11 ]} die zwei Komponentenwellenformen darstellt , die sich im Medium in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. Eine verallgemeinerte Darstellung dieser Welle kann ^{[ 12 ]} als partielle Differentialgleichung erhalten werden.$${\displaystyle u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

Allgemeine Lösungen basieren auf dem Duhamelschen Prinzip . ^{[ 13 ]}

Die Form von F in der d’Alembertschen Formel hängt vom Argument x − vt ab . Konstante Werte dieses Arguments entsprechen konstanten Werten von F , und diese konstanten Werte treten auf, wenn x im gleichen Maße wie vt zunimmt. Das heißt, eine Welle, die der Funktion F entspricht, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in positiver x -Richtung (und G breitet sich mit der gleichen Geschwindigkeit in negativer x- Richtung aus). ^{[ 14 ]}

Im Falle einer periodischen Funktion F mit Periode λ , d. h. F ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ), bedeutet die Periodizität von F im Raum, dass eine Momentaufnahme der Welle zu einem gegebenen Zeitpunkt t eine periodische räumliche Variation mit der Periode λ (der Wellenlänge der Welle) zeigt . Analog dazu impliziert diese Periodizität von F auch eine Periodizität in der Zeit: F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ), vorausgesetzt vT = λ . Daher zeigt eine Beobachtung der Welle an einem festen Ort x eine periodische zeitliche Schwingung der Welle mit der Periode T = λ / v . ^{[ 15 ]}

The amplitude of a wave may be constant (in which case the wave is a c.w. or continuous wave), or may be modulated so as to vary with time and/or position. The outline of the variation in amplitude is called the envelope of the wave. Mathematically, the modulated wave can be written in the form:^[16][17][18]$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ where ${\displaystyle A(x,\ t)}$ is the amplitude envelope of the wave, ${\displaystyle k}$ is the wavenumber and ${\displaystyle \phi }$ is the phase. If the group velocity${\displaystyle v_{g}}$ (see below) is wavelength-independent, this equation can be simplified as:^[19]$${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ showing that the envelope moves with the group velocity and retains its shape. Otherwise, in cases where the group velocity varies with wavelength, the pulse shape changes in a manner often described using an envelope equation.^[19][20]

There are two velocities that are associated with waves, the phase velocity and the group velocity.

Phase velocity is the rate at which the phase of the wave propagates in space: any given phase of the wave (for example, the crest) will appear to travel at the phase velocity. The phase velocity is given in terms of the wavelengthλ (lambda) and periodT as $${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

Group velocity is a property of waves that have a defined envelope, measuring propagation through space (that is, phase velocity) of the overall shape of the waves' amplitudes—modulation or envelope of the wave.

A sine wave, sinusoidal wave, or sinusoid (symbol: ∿) is a periodic wave whose waveform (shape) is the trigonometricsine function. In mechanics, as a linear motion over time, this is simple harmonic motion; as rotation, it corresponds to uniform circular motion. Sine waves occur often in physics, including wind waves, sound waves, and light waves, such as monochromatic radiation. In engineering, signal processing, and mathematics, Fourier analysis decomposes general functions into a sum of sine waves of various frequencies, relative phases, and magnitudes.

When any two sine waves of the same frequency (but arbitrary phase) are linearly combined, the result is another sine wave of the same frequency; this property is unique among periodic waves. Conversely, if some phase is chosen as a zero reference, a sine wave of arbitrary phase can be written as the linear combination of two sine waves with phases of zero and a quarter cycle, the sine and cosinecomponents, respectively.

A plane wave is a kind of wave whose value varies only in one spatial direction. That is, its value is constant on a plane that is perpendicular to that direction. Plane waves can be specified by a vector of unit length ${\displaystyle {\hat {n}}}$ indicating the direction that the wave varies in, and a wave profile describing how the wave varies as a function of the displacement along that direction (${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$) and time (${\displaystyle t}$). Since the wave profile only depends on the position ${\displaystyle {\vec {x}}}$ in the combination ${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$, any displacement in directions perpendicular to ${\displaystyle {\hat {n}}}$ cannot affect the value of the field.

Plane waves are often used to model electromagnetic waves far from a source. For electromagnetic plane waves, the electric and magnetic fields themselves are transverse to the direction of propagation, and also perpendicular to each other.

A standing wave, also known as a stationary wave, is a wave whose envelope remains in a constant position. This phenomenon arises as a result of interference between two waves traveling in opposite directions.

The sum of two counter-propagating waves (of equal amplitude and frequency) creates a standing wave. Standing waves commonly arise when a boundary blocks further propagation of the wave, thus causing wave reflection, and therefore introducing a counter-propagating wave. For example, when a violin string is displaced, transverse waves propagate out to where the string is held in place at the bridge and the nut, where the waves are reflected back. At the bridge and nut, the two opposed waves are in antiphase and cancel each other, producing a node. Halfway between two nodes there is an antinode, where the two counter-propagating waves enhance each other maximally. There is no net propagation of energy over time.

• 
  One-dimensional standing waves; the fundamental mode and the first 5 overtones
• 
  A two-dimensional standing wave on a disk; this is the fundamental mode.
• 
  A standing wave on a disk with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone.

A soliton or solitary wave is a self-reinforcing wave packet that maintains its shape while it propagates at a constant velocity. Solitons are caused by a cancellation of nonlinear and dispersive effects in the medium. (Dispersive effects are a property of certain systems where the speed of a wave depends on its frequency.) Solitons are the solutions of a widespread class of weakly nonlinear dispersive partial differential equations describing physical systems.

Wave propagation is any of the ways in which waves travel. With respect to the direction of the oscillation relative to the propagation direction, we can distinguish between longitudinal wave and transverse waves.

Electromagnetic waves propagate in vacuum as well as in material media. Propagation of other wave types such as sound may occur only in a transmission medium.

Die Ausbreitung und Reflexion ebener Wellen – z. B. Druckwellen ( P-Wellen ) oder Scherwellen (SH- oder SV-Wellen) – sind Phänomene, die zuerst in der klassischen Seismologie beschrieben wurden und heute als grundlegende Konzepte der modernen seismischen Tomographie gelten . Die analytische Lösung dieses Problems existiert und ist wohlbekannt. Die Lösung im Frequenzbereich erhält man, indem man zunächst die Helmholtz-Zerlegung des Verschiebungsfeldes bestimmt und diese anschließend in die Wellengleichung einsetzt . Daraus lassen sich die Eigenmoden der ebenen Welle berechnen.

Die analytische Lösung der SV-Welle im Halbraum zeigt, dass die ebene SV-Welle – Sonderfälle ausgenommen – als P- und SV-Welle in den Halbraum zurückreflektiert wird. Der Einfallswinkel der reflektierten SV-Welle ist identisch mit dem des einfallenden Strahls, während der Einfallswinkel der reflektierten P-Welle größer ist als der der SV-Welle. Bei gleicher Frequenz ist die Wellenlänge der SV-Welle kleiner als die der P-Welle. Dieser Sachverhalt wurde in der Animation dargestellt. ^{[ 21 ]}

Ähnlich wie die SV-Welle wird die P-Welle im Allgemeinen als P- und SV-Welle reflektiert. Es gibt jedoch einige Sonderfälle, in denen das Verhalten anders ist.

Die Wellengeschwindigkeit ist ein allgemeiner Begriff für verschiedene Arten von Wellengeschwindigkeiten, der die Phase und die Geschwindigkeit einer Welle im Zusammenhang mit der Energie- (und Informations-)Ausbreitung beschreibt. Die Phasengeschwindigkeit ist gegeben durch: wobei: $${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$

• v _p ist die Phasengeschwindigkeit (mit der SI-Einheit m/s).
• ω ist die Kreisfrequenz (mit der SI-Einheit rad/s).
• k ist die Wellenzahl (mit der SI-Einheit rad/m).

Die Phasengeschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich ein Punkt konstanter Phase der Welle bei einer bestimmten Frequenz ausbreitet. Die Kreisfrequenz ω kann nicht unabhängig von der Wellenzahl k gewählt werden , aber beide sind über die Dispersionsrelation miteinander verknüpft : $${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

In the special case Ω(k) = ck, with c a constant, the waves are called non-dispersive, since all frequencies travel at the same phase speed c. For instance electromagnetic waves in vacuum are non-dispersive. In case of other forms of the dispersion relation, we have dispersive waves. The dispersion relationship depends on the medium through which the waves propagate and on the type of waves (for instance electromagnetic, sound or water waves).

The speed at which a resultant wave packet from a narrow range of frequencies will travel is called the group velocity and is determined from the gradient of the dispersion relation: $${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

In almost all cases, a wave is mainly a movement of energy through a medium. Most often, the group velocity is the velocity at which the energy moves through this medium.

Waves exhibit common behaviors under a number of standard situations, for example:

Waves normally move in a straight line (that is, rectilinearly) through a transmission medium. Such media can be classified into one or more of the following categories:

• A bounded medium if it is finite in extent, otherwise an unbounded medium
• A linear medium if the amplitudes of different waves at any particular point in the medium can be added
• A uniform medium or homogeneous medium if its physical properties are unchanged at different locations in space
• An anisotropic medium if one or more of its physical properties differ in one or more directions
• An isotropic medium if its physical properties are the same in all directions

Waves are usually defined in media which allow most or all of a wave's energy to propagate without loss. However materials may be characterized as "lossy" if they remove energy from a wave, usually converting it into heat. This is termed "absorption." A material which absorbs a wave's energy, either in transmission or reflection, is characterized by a refractive index which is complex. The amount of absorption will generally depend on the frequency (wavelength) of the wave, which, for instance, explains why objects may appear colored.

Wenn eine Welle auf eine reflektierende Oberfläche trifft, ändert sie ihre Richtung, sodass der Winkel zwischen der einfallenden Welle und der Normalen zur Oberfläche gleich dem Winkel zwischen der reflektierten Welle und derselben Normalen ist.

Brechung ist das Phänomen, dass sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ändert. Mathematisch bedeutet dies, dass sich die Phasengeschwindigkeit ändert. Brechung tritt typischerweise auf, wenn eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht. Das Ausmaß der Brechung einer Welle in einem Material wird durch dessen Brechungsindex bestimmt . Die Einfallsrichtung und die Brechungsrichtung hängen gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz von den Brechungsindizes der beiden Materialien ab .

Eine Welle zeigt Beugung, wenn sie auf ein Hindernis trifft, das sie ablenkt, oder wenn sie sich nach dem Austritt aus einer Öffnung ausbreitet. Beugungseffekte sind umso stärker ausgeprägt, je größer die Größe des Hindernisses oder der Öffnung in der Größenordnung der Wellenlänge der Welle liegt.

Wenn sich Wellen in einem linearen Medium (dem Normalfall) in einem Raumbereich kreuzen, interagieren sie nicht direkt miteinander, sondern breiten sich aus, als wäre die jeweils andere Welle nicht vorhanden. An jedem Punkt dieses Bereichs addieren sich jedoch die Feldgrößen, die diese Wellen beschreiben, gemäß dem Superpositionsprinzip . Sind die Wellen gleich frequenzbehaftet und in einer festen Phasenbeziehung , so gibt es im Allgemeinen Positionen, an denen die beiden Wellen in Phase sind und sich ihre Amplituden addieren , und andere Positionen, an denen sie gegenphasig sind und sich ihre Amplituden (teilweise oder vollständig) aufheben . Dies wird als Interferenzmuster bezeichnet .

Das Phänomen der Polarisation tritt auf, wenn sich Wellen gleichzeitig in zwei orthogonalen Richtungen ausbreiten können. Transversalwellen können beispielsweise polarisiert sein. Wird der Begriff Polarisation ohne weitere Spezifizierung verwendet, bezieht er sich üblicherweise auf den speziellen, einfachen Fall der linearen Polarisation . Eine Transversalwelle ist linear polarisiert, wenn sie nur in einer Richtung oder Ebene schwingt. Bei linearer Polarisation ist es oft hilfreich, die relative Orientierung dieser Ebene, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, anzugeben, in der die Schwingung erfolgt, beispielsweise „horizontal“, wenn die Polarisationsebene parallel zum Boden verläuft. Elektromagnetische Wellen, die sich beispielsweise im freien Raum ausbreiten, sind transversal; sie können mithilfe eines Polarisationsfilters polarisiert werden .

Longitudinale Wellen, wie beispielsweise Schallwellen, weisen keine Polarisation auf. Bei diesen Wellen gibt es nur eine Schwingungsrichtung, nämlich die Ausbreitungsrichtung.

Dispersion ist die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex , eine Folge der atomaren Struktur von Materialien. ^{[ 22 ] : 67} Eine Welle zeigt Dispersion, wenn entweder die Phasengeschwindigkeit oder die Gruppengeschwindigkeit von der Wellenfrequenz abhängt. Dispersion lässt sich beobachten, indem man weißes Licht durch ein Prisma leitet ; dabei entsteht das Farbspektrum des Regenbogens. Isaac Newton erkannte als Erster, dass dies bedeutet, dass weißes Licht eine Mischung aus Licht verschiedener Farben ist. ^{[ 22 ] : 190}

Der Doppler-Effekt oder die Doppler-Verschiebung beschreibt die Frequenzänderung einer Welle in Abhängigkeit von einem Beobachter, der sich relativ zur Wellenquelle bewegt. ^{[ 23 ]} Er ist nach dem österreichischen Physiker Christian Doppler benannt , der das Phänomen 1842 beschrieb.

Eine mechanische Welle ist eine Schwingung von Materie und überträgt daher Energie durch ein Medium . ^{[ 24 ]} Wellen können sich zwar über weite Strecken ausbreiten, die Bewegung des Übertragungsmediums – des Materials – ist jedoch begrenzt. Daher bewegt sich das schwingende Material nicht weit von seiner Ausgangsposition. Mechanische Wellen können nur in Medien erzeugt werden, die Elastizität und Trägheit besitzen . Es gibt drei Arten von mechanischen Wellen: Transversalwellen , Longitudinalwellen und Oberflächenwellen .

The transverse vibration of a string is a function of tension and inertia, and is constrained by the length of the string as the ends are fixed. This constraint limits the steady state modes that are possible, and thereby the frequencies. The speed of a transverse wave traveling along a vibrating string (v) is directly proportional to the square root of the tension of the string (T) over the linear mass density (μ):

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

where the linear density μ is the mass per unit length of the string.

Acoustic or sound waves are compression waves that propagate through gases, liquids, solids and plasmas. They travel at the speed given by:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

or the square root of the adiabatic bulk modulus divided by the ambient density of the medium (see speed of sound).

Gravity waves are waves generated in a fluid medium or at the interface between two media when the force of gravity or buoyancy works to restore equilibrium. Surface waves on water are the most familiar example.

• Ripples on the surface of a pond are actually a combination of transverse and longitudinal waves; therefore, the points on the surface follow orbital paths.
• Inertial waves, which occur in rotating fluids and are restored by the Coriolis effect.
• Ocean surface waves, which are perturbations that propagate through water.

Body waves travel through the interior of the medium along paths controlled by the material properties in terms of density and modulus (stiffness). The density and modulus, in turn, vary according to temperature, composition, and material phase. This effect resembles the refraction of light waves. Two types of particle motion result in two types of body waves: Primary and Secondary waves.

Seismic waves are waves of energy that travel through the Earth's layers, and are a result of earthquakes, volcanic eruptions, magma movement, large landslides and large man-made explosions that give out low-frequency acoustic energy. They include body waves—the primary (P waves) and secondary waves (S waves)—and surface waves, such as Rayleigh waves, Love waves, and Stoneley waves.^[25]

A shock wave is a type of propagating disturbance. When a wave moves faster than the local speed of sound in a fluid, it is a shock wave. Like an ordinary wave, a shock wave carries energy and can propagate through a medium; however, it is characterized by an abrupt, nearly discontinuous change in pressure, temperature and density of the medium.^[26]

Shear waves are body waves due to shear rigidity and inertia. They can only be transmitted through solids and to a lesser extent through liquids with a sufficiently high viscosity.

Gravitational waves also travel through space. The first observation of gravitational waves was announced on 11 February 2016.^[27] Gravitational waves are disturbances in the curvature of spacetime, predicted by Einstein's theory of general relativity.

• Waves of traffic, that is, propagation of different densities of motor vehicles, and so forth, which can be modeled as kinematic waves^[28][29]
• Metachronal wave refers to the appearance of a traveling wave produced by coordinated sequential actions.

An electromagnetic wave consists of two waves that are oscillations of the electric and magnetic fields. An electromagnetic wave travels in a direction that is at right angles to the oscillation direction of both fields. In the 19th century, James Clerk Maxwell showed that, in vacuum, the electric and magnetic fields satisfy the wave equation both with speed equal to that of the speed of light. From this emerged the idea that light is an electromagnetic wave. The unification of light and electromagnetic waves was experimentally confirmed by Hertz in the end of the 1880s. Electromagnetic waves can have different frequencies (and thus wavelengths), and are classified accordingly in wavebands, such as radio waves, microwaves, infrared, visible light, ultraviolet, X-rays, and gamma rays. The range of frequencies in each of these bands is continuous, and the limits of each band are mostly arbitrary, with the exception of visible light, which must be visible to the normal human eye.

The Schrödinger equation describes the wave-like behavior of particles in quantum mechanics. Solutions of this equation are wave functions which can be used to describe the probability density of a particle.

The Dirac equation is a relativistic wave equation detailing electromagnetic interactions. Dirac waves accounted for the fine details of the hydrogen spectrum in a completely rigorous way. The wave equation also implied the existence of a new form of matter, antimatter, previously unsuspected and unobserved and which was experimentally confirmed. In the context of quantum field theory, the Dirac equation is reinterpreted to describe quantum fields corresponding to spin-1⁄2 particles.

Louis de Broglie postulated that all particles with momentum have a wavelength

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

where h is the Planck constant, and p is the magnitude of the momentum of the particle. This hypothesis was at the basis of quantum mechanics. Nowadays, this wavelength is called the de Broglie wavelength. For example, the electrons in a CRT display have a de Broglie wavelength of about 10⁻¹³ m.

A wave representing such a particle traveling in the k-direction is expressed by the wave function as follows:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

where the wavelength is determined by the wave vectork as:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

and the momentum by:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

However, a wave like this with definite wavelength is not localized in space, and so cannot represent a particle localized in space. To localize a particle, de Broglie proposed a superposition of different wavelengths ranging around a central value in a wave packet,^[31] a waveform often used in quantum mechanics to describe the wave function of a particle. In a wave packet, the wavelength of the particle is not precise, and the local wavelength deviates on either side of the main wavelength value.

Bei der Darstellung der Wellenfunktion eines lokalisierten Teilchens wird das Wellenpaket häufig als Gauß-förmig angenommen und als Gaußsches Wellenpaket bezeichnet . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} Gaußsche Wellenpakete werden auch zur Analyse von Wasserwellen verwendet. ^{[ 35 ]}

Eine Gaußsche Wellenfunktion ψ könnte beispielsweise folgende Form annehmen: ^{[ 36 ]}

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

Zu einem Anfangszeitpunkt t = 0 ist die zentrale Wellenlänge mit dem zentralen Wellenvektor k₀ über λ₀ = 2π / _k₀ verknüpft . Aus der Theorie der Fourier-Analyse [ ^{37 ]} bzw. aus der Heisenbergschen Unschärferelation (im Fall der Quantenmechanik) ist bekannt _{, dass ein schmaler Wellenlängenbereich erforderlich ist} ^, _{um ein lokalisiertes Wellenpaket zu erzeugen, und dass die benötigte Wellenlängenstreuung umso größer ist, je stärker} die Einhüllende lokalisiert ist. Die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion ist selbst wieder eine Gauß-Funktion. ^{[ 38 ]} Gegeben sei die Gauß-Funktion:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

Die Fourier-Transformation lautet:

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

Die Gaußsche Verteilung im Raum besteht daher aus Wellen:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

Das heißt, eine Anzahl von Wellen mit der Wellenlänge λ, sodass kλ = 2 π.

Der Parameter σ bestimmt die räumliche Ausdehnung der Gauß-Funktion entlang der x -Achse, während die Fouriertransformation eine durch 1/ σ bestimmte Ausdehnung des Wellenvektors k zeigt . Das heißt, je kleiner die räumliche Ausdehnung, desto größer die Ausdehnung in k und somit auch in λ = 2π/ k .

• Index der Wellenartikel

• Die Feynman-Vorlesungen über Physik: Wellen
• Lineare und nichtlineare Wellen
• Wissenschaftshilfe: Welleneigenschaften – Kurzanleitung für Jugendliche (Archiviert am 04.09.2019 im Internet Archive)
• „AT&T-Archiv: Ähnlichkeiten im Wellenverhalten“, demonstriert von JN Shive von den Bell Labs (Video auf YouTube )