Konvexe Reihe

In der Mathematik, insbesondere in der Funktionalanalysis und der Konvexanalysis , einEine konvexe Reihe ist eineReiheder Form ,wobeialle Elemente einestopologischen Vektorraumsund allenichtnegativereelle Zahlen, deren Summe ist(d. h. so, dass). ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$

Angenommen, ist eine Teilmenge von und ist eine konvexe Reihe in${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X.}$

• Wenn alle zu gehören, dann wird die konvexe Reihe als eine${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$konvexe Reihe mit Elementen von${\displaystyle S}$.
• Wenn die Menge eine (von Neumann) beschränkte Menge ist , dann wird die Reihe als eine${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$b-konvexe Reihe .
• Die konvexe Reihe soll eine${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummenein Elementkonvergiertdas als Summenzeichen bezeichnet wird.${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$Summe der konvexen Reihe .
• Die konvexe Reihe heißtCauchy, wennes sich um eineCauchy-Reihe, was per Definition bedeutet, dass die Folge der PartialsummeneineCauchy-Folge.${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Konvexe Reihen ermöglichen die Definition spezieller Arten von Teilmengen, die sich gut verhalten und nützlich sind und sehr gute Stabilitätseigenschaften aufweisen.

Wenn eine Teilmenge eines topologischen Vektorraums ist , dann heißt sie: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

• Eine Menge ist cs-abgeschlossen, wenn jede konvergente konvexe Reihe mit Elementen ausihre (jede) Summe in hat.${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
  • In dieser Definition muss die Summe nicht Hausdorffsch sein; in diesem Fall ist sie möglicherweise nicht eindeutig. In jedem solchen Fall fordern wir, dass jede Summe zu gehört.${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
• untere cs-geschlossene Menge oder einEine Menge heißt lcs-abgeschlossen, wenn es einenFréchet-Raum , sodassvon(mittels der kanonischen Projektion)gleich der Projektion auf ist.Jede cs-abgeschlossene Menge ist unter cs-abgeschlossen und jede unter cs-abgeschlossene Menge ist unter ideal konvex undkonvex(die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht).${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\times Y}$
• Eine Menge ist ideal konvex, wenn jede konvergente b-Reihe mit Elementen ausihre Summe in hat.${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• untere ideal konvexe Menge oder eineEine Menge heißt li-konvex, wenn es einen Fréchet-Raum gibt, sodass dieMenge gleich der Projektioneiner idealkonvexen Teilmengevon. Jede idealkonvexe Menge ist unterhalb idealkonvex. Jede unterhalb idealkonvexe Menge ist konvex, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\times Y.}$
• Eine Menge ist cs-vollständig, wenn jede Cauchy-konvexe Reihe mit Elementen auskonvergiert und ihre Summe in liegt.${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
• bcs-vollständige Menge , wenn jede Cauchy b-konvexe Reihe mit Elementen auskonvergiert und ihre Summe in liegt.${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Die leere Menge ist konvex, ideal konvex, bcs-vollständig, cs-vollständig und cs-abgeschlossen.

Sind und topologische Vektorräume, so ist eine Teilmenge von und dann gilt: ^{[ 1 ].}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

• Bedingung (H x ) : Wenneine konvexe Reihe mit Elementen von, sodasskonvergent inmit Summeundist eine Cauchy-Reihe, dannkonvergent inund ihre Summeist so, dass${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)\in A.}$
• Bedingung (Hw x ) : Wenneine b-konvexe Reihe mit Elementen, sodassin konvergiertmit Summeundeine Cauchy-Reihe ist, dannkonvergiert inund ihre Summeist so, dass${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,y)\in A.}$
  • Wenn X lokal konvex ist, dann kann die Aussage "und ist Cauchy" aus der Definition der Bedingung (Hw x ) entfernt werden .${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$

Es werden die folgenden Notationen und Begriffe verwendet, wobei und Multifunktionen sind und eine nichtleere Teilmenge eines topologischen Vektorraums ist.${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X:}$

• DerDer Graph einer Multifunktion von${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ist die Menge${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$Istgeschlossen (bzw.cs-geschlossen ,niedrigere cs-geschlossene ,konvex ,ideal konvex ,untere ideal konvex ,cs-complete ,bcs-vollständig ) wenn dasselbe für den Graphen vonin${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X\times Y.}$
  • Die Multifunktion ist genau dann konvex, wenn für alle und alle${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$${\displaystyle r\in [0,1],}$${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• DerDie Umkehrfunktion einer Multifunktion${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ist die Multifunktion,die definiert ist durchFür jede Teilmenge${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
• DerDer Definitionsbereich einer Multifunktion${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ist${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.}$
• DerDas Bild einer Multifunktionsfunktion${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ istFür jede Teilmenge${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• DerDie Zusammensetzung wird definiert durchfür jedes${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)}$${\displaystyle x\in X.}$

Seien topologische Vektorräume und . Dann gelten folgende Implikationen: ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$${\displaystyle S\subseteq X,T\subseteq Y,}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$

vollständig cs-vollständig cs-abgeschlossen, unter cs-abgeschlossen (lcs-abgeschlossen) und ideal konvex.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

untere cs-abgeschlossene (lcs-abgeschlossene) oder ideal konvexe untere ideal konvexe (li-konvexe) konvexe.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

(H x ) (Hw x ) konvex.${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

Die umgekehrten Schlussfolgerungen gelten im Allgemeinen nicht.

Wenn es abgeschlossen ist, dann ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle S}$ist cs-vollständig (bzw. bcs-vollständig) genau dann, wenn sie cs-abgeschlossen (bzw. ideal konvex) ist.${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle A}$erfüllt (H x ) genau dann, wenn cs-abgeschlossen ist.${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle A}$erfüllt (Hw x ) genau dann, wenn ideal konvex ist.${\displaystyle A}$

Wenn es abgeschlossen ist, dann ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle A}$erfüllt (H x ) genau dann, wenn cs-vollständig ist.${\displaystyle A}$
2. ${\displaystyle A}$erfüllt (Hw x ) genau dann, wenn bcs-vollständig ist.${\displaystyle A}$
3. Wenn und dann: ${\displaystyle B\subseteq X\times Y\times Z}$${\displaystyle y\in Y}$
   1. ${\displaystyle B}$erfüllt (H (x, y) ) genau dann, wenn erfüllt (H x ).${\displaystyle B}$
   2. ${\displaystyle B}$erfüllt (Hw (x, y) ) genau dann, wenn erfüllt (Hw x ).${\displaystyle B}$

Wenn f lokal konvex und beschränkt ist, dann gilt: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

1. Wenn (H x ) erfüllt, dann ist cs-abgeschlossen.${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$
2. Wenn (Hw x ) erfüllt, dann ist ideal konvex.${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$

Sei ein linearer Unterraum von . Seien und Multifunktionen . ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$

• Wenn eine cs-abgeschlossene (bzw. ideal konvexe) Teilmenge von ist, dann ist auch eine cs-abgeschlossene (bzw. ideal konvexe) Teilmenge von${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}\cap S}$${\displaystyle X_{0}.}$
• Wenn erst abzählbar ist, dann ist cs-abgeschlossen (bzw. cs-vollständig) genau dann, wenn abgeschlossen (bzw. vollständig) ist; außerdem ist, wenn lokal konvex ist, genau dann abgeschlossen, wenn ideal konvex ist.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle S\times T}$ist cs-abgeschlossen (bzw. cs-vollständig, ideal konvex, bcs-vollständig) in genau dann, wenn dies sowohl für in als auch für in gilt.${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y.}$
• Die Eigenschaften cs-abgeschlossen, unter cs-abgeschlossen, ideal konvex, unter ideal konvex, cs-vollständig und bcs-vollständig bleiben alle unter Isomorphismen topologischer Vektorräume erhalten.
• Der Schnittpunkt beliebig vieler cs-abgeschlossener (bzw. ideal konvexer) Teilmengen von hat die gleiche Eigenschaft.${\displaystyle X}$
• Das kartesische Produkt von cs-abgeschlossenen (bzw. ideal konvexen) Teilmengen beliebig vieler topologischer Vektorräume besitzt dieselbe Eigenschaft (im Produktraum, der mit der Produkttopologie ausgestattet ist ).
• Der Schnittpunkt von abzählbar vielen unteren ideal konvexen (bzw. unteren cs-abgeschlossenen) Teilmengen von hat die gleiche Eigenschaft.${\displaystyle X}$
• Das kartesische Produkt von unteren idealkonvexen (bzw. unteren cs-abgeschlossenen) Teilmengen von abzählbar vielen topologischen Vektorräumen hat dieselbe Eigenschaft (im Produktraum, der mit der Produkttopologie ausgestattet ist ).
• Sei ein Fréchet-Raum und seien und Teilmengen. Wenn und unterhalb idealkonvex (bzw. unterhalb cs-abgeschlossen) sind, dann ist auch${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A+B.}$
• Sei ein Fréchet-Raum und eine Teilmenge von . Wenn und unterhalb idealkonvex (bzw. unterhalb cs-abgeschlossen) sind, dann ist auch konvex.${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A).}$
• Sei ein Fréchet-Raum und eine Multifunktion. Wenn alle unterhalb idealkonvex (bzw. unterhalb cs-abgeschlossen) sind, dann sind auch und${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}_{2},{\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.}$

Wenn eine nichtleere konvexe Teilmenge eines topologischen Vektorraums ist , dann ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. Wenn es geschlossen oder offen ist, dann ist es cs-geschlossen.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
2. Wenn es sich um eine Hausdorffsche und endlichdimensionale Menge handelt, dann ist sie cs-abgeschlossen.${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$
3. Wenn f erstabzählbar und f ideal konvex ist, dann${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).}$

Sei ein Fréchet-Raum , ein topologischer Vektorraum und die kanonische Projektion. Wenn unterideal konvex (bzw. untere cs-abgeschlossen) ist, dann gilt dasselbe für${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A).}$

Wenn es sich um einen fassförmigen ersten zählbaren Raum handelt und wenn dann: ${\displaystyle X}$${\displaystyle C\subseteq X}$

1. Wenn f unterhalb ideal konvex ist, dann bezeichnet Ω das algebraische Innere von f in Ω.${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C,}$${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$
2. Wenn ideal konvex ist, dann${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

• Satz von Ursescu  – Verallgemeinerung des Satzes über abgeschlossene Graphen, offene Abbildungen und gleichmäßige Beschränktheit

• Zălinescu, Constantin (30. Juli 2002). Konvexe Analysis in allgemeinen Vektorräumen . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – via Internet Archive .
• Baggs, Ivan (1974). „Funktionen mit abgeschlossenem Graphen“ . Proceedings of the American Mathematical Society . 43 (2): 439–442 . doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939 .