Herleitung der Schwarzschild-Lösung

Die Schwarzschild-Lösung beschreibt die Raumzeit unter dem Einfluss eines massiven, nicht rotierenden, sphärisch symmetrischen Objekts. Sie gilt manchen als eine der einfachsten und nützlichsten Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen .

Wir arbeiten mit einem Koordinatensystem, dessen Koordinaten mit 1 bis 4 bezeichnet sind, und beginnen mit der Metrik in ihrer allgemeinsten Form (10 unabhängige Komponenten, von denen jede eine glatte Funktion von 4 Variablen ist). Die Lösung wird als sphärisch symmetrisch, statisch und im Vakuum angenommen. Für die Zwecke dieses Artikels können diese Annahmen wie folgt formuliert werden (genaue Definitionen finden Sie in den entsprechenden Links): ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$

1. Eine sphärisch symmetrische Raumzeit ist eine Raumzeit, die unter Rotationen und Spiegelung invariant ist.
2. Eine statische Raumzeit ist eine Raumzeit, in der alle metrischen Komponenten unabhängig von der Zeitkoordinate sind (sodass ⁠ ⁠ ) und die Geometrie der Raumzeit unter einer Zeitumkehr unverändert bleibt ⁠ ⁠ .${\displaystyle t}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle t\rightarrow -t}$
3. Eine Vakuumlösung ist eine Lösung, die die Gleichung ⁠ ⁠${\displaystyle T_{ab}=0}$ erfüllt . Aus den Einsteinschen Feldgleichungen (mit verschwindender kosmologischer Konstante ) folgt daraus, dass, da die Kontraktion ⁠ ⁠ ergibt .${\displaystyle R_{ab}=0}$${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$${\displaystyle R=0}$
4. Die hier verwendete metrische Signatur ist (+ + + −) .

Die erste Vereinfachung besteht in der Diagonalisierung der Metrik. Unter der Koordinatentransformation bleiben alle Metrikkomponenten unverändert. Die Metrikkomponenten ( ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$) ändern sich unter dieser Transformation wie folgt :${\displaystyle g_{\mu 4}}$${\displaystyle \mu \neq 4}$

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$( ⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$ )

Aber wie erwartet (die Metrikkomponenten bleiben gleich), bedeutet dies Folgendes: ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$

${\displaystyle g_{\mu 4}=0}$( ⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$ )

Die entsprechenden Koordinatentransformationen ergeben : ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$

${\displaystyle g_{\mu 3}=0}$( ⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 3}$ )

${\displaystyle g_{\mu 2}=0}$( ⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 2}$ )

Zusammengefasst ergibt das:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$( ⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq \nu }$ )

und daher muss die Metrik folgende Form haben:

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

wobei die vier metrischen Komponenten (gemäß der statischen Annahme) unabhängig von der Zeitkoordinate sind .${\displaystyle t}$

Auf jeder Hyperfläche mit konstantem , konstantem und konstantem (d. h. auf jeder radialen Linie) sollte (aufgrund der sphärischen Symmetrie) nur von abhängen . Daher ist eine Funktion einer einzigen Variablen: ${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g_{11}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{11}}$

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

Ein ähnliches Argument, angewendet auf, zeigt, dass: ${\displaystyle g_{44}}$

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

Auf den Hyperflächen von konstant und konstant ⁠ ⁠ , wird gefordert, dass die Metrik die einer 2-Sphäre ist: ${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Wählt man eine dieser Hyperflächen (beispielsweise die mit Radius ) , so${\displaystyle r_{0}}$ bleiben die auf diese Hyperfläche eingeschränkten Metrikkomponenten (die wir mit und bezeichnen ) unter Rotationen um und unverändert (wiederum aufgrund der sphärischen Symmetrie). Ein Vergleich der Formen der Metrik auf dieser Hyperfläche ergibt: ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

woraus sich unmittelbar ergibt:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$Und${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

Dies muss jedoch auf jeder Hyperfläche gelten; daher

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$Und${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

Eine alternative, intuitive Möglichkeit, dies zu erkennen und die gleiche Lösung wie für eine flache Raumzeit zu finden, besteht darin, dass das Dehnen oder Stauchen eines elastischen Materials in einer sphärisch symmetrischen (radialen) Weise den Winkelabstand zwischen zwei Punkten nicht verändert. ${\displaystyle g_{22}}$${\displaystyle g_{33}}$

Die Metrik lässt sich also wie folgt darstellen:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

mit und noch unbestimmten Funktionen von ⁠ ⁠ . Beachten Sie, dass die Metrik singulär wäre, wenn oder an einem Punkt gleich Null ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Mithilfe der obigen Metrik finden wir die Christoffel-Symbole , wobei die Indizes ⁠ ⁠${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$ sind . Das Zeichen kennzeichnet eine totale Ableitung einer Funktion. ${\displaystyle '}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Zur Bestimmung von und werden die Vakuumfeldgleichungen verwendet : ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

Somit:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha {\vphantom {\beta }}}^{\lambda }=0\,,}$

Hierbei wird ein Komma verwendet, um den Index der Ableitung abzugrenzen. Die Ricci-Krümmung ist in den gegebenen Koordinaten diagonal:

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)',}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right),}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right),}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

wobei der Strich die r-te Ableitung der Funktionen bezeichnet.

Nur drei der Feldgleichungen sind nichttrivial (die vierte Gleichung ist einfach das Produkt der dritten Gleichung) und lauten nach Vereinfachung: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0,}$

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

Die Subtraktion der ersten und zweiten Gleichung ergibt:

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

wobei eine von Null verschiedene reelle Konstante ist. Einsetzen in die dritte Gleichung und Umformen ergibt: ${\displaystyle K}$${\displaystyle A(r)B(r)=K}$

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

wofür es eine allgemeine Lösung gibt:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

für eine von Null verschiedene reelle Konstante . Daher hat die Metrik für eine statische, sphärisch symmetrische Vakuumlösung nun die Form: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

Man beachte, dass die durch die obige Metrik dargestellte Raumzeit asymptotisch flach ist , d. h. wenn ⁠ ⁠${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ , nähert sich die Metrik der Minkowski-Metrik an und die Raumzeit-Mannigfaltigkeit ähnelt der des Minkowski-Raums . ^{[ 1 ]}

Die Geodäten der Metrik (die an Extrempunkten erhalten werden) müssen in einem Grenzfall (z. B. gegen unendliche Lichtgeschwindigkeit) mit den Lösungen der Newtonschen Bewegung (z. B. den Lagrange-Gleichungen ) übereinstimmen. (Die Metrik muss außerdem auf den Minkowski-Raum beschränkt werden, wenn die von ihr repräsentierte Masse verschwindet.) ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(wobei die kinetische Energie und die potenzielle Energie aufgrund der Schwerkraft ist) Die Konstanten und werden durch eine Variante dieses Ansatzes vollständig bestimmt; aus der Schwachfeldnäherung erhält man das Ergebnis: ${\displaystyle KE}$${\displaystyle PE_{g}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Dabei ist die Gravitationskonstante , die Masse der Gravitationsquelle und die Lichtgeschwindigkeit. Es ergibt sich: ${\displaystyle G}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$Und${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Somit:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$Und${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Die Schwarzschild-Metrik lässt sich also schließlich in folgender Form schreiben:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

Beachten Sie, dass:

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{\text{s}}}$

ist die Definition des Schwarzschildradius für ein Objekt der Masse , daher kann die Schwarzschildmetrik auch in der alternativen Form umgeschrieben werden: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)dt^{2}}$

Dies zeigt, dass die Metrik beim Annähern an den Ereignishorizont singulär wird (d. h. ⁠ ⁠${\displaystyle r\rightarrow r_{\text{s}}}$ ). Die metrische Singularität ist keine physikalische (obwohl es bei eine reale physikalische Singularität gibt ), wie durch eine geeignete Koordinatentransformation (z. B. das Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem ) gezeigt werden kann .${\displaystyle r=0}$

[Diese Herleitung ist fehlerhaft, da sie Keplers drittes Gesetz voraussetzt. Dies ist unbegründet, da dieses Gesetz relativistische Korrekturen enthält. Beispielsweise bezeichnet „r“ im klassischen Keplergesetz die physikalische Entfernung, in der Allgemeinen Relativitätstheorie hingegen lediglich eine Koordinate.] Die Schwarzschild-Metrik lässt sich auch mithilfe der bekannten physikalischen Gesetze für eine Kreisbahn und eine vorübergehend ruhende Punktmasse herleiten. ^{[ 2 ]} Man beginnt mit der Metrik, deren Koeffizienten unbekannte Koeffizienten von ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ sind :

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

Wenden wir nun die Euler-Lagrange-Gleichung auf das Bogenlängenintegral an . Da konstant ist, kann der Integrand durch ersetzt werden, da${\displaystyle \textstyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left(ds/d\tau \right)^{2}}}\,d\tau }}$ die Euler-Lagrange-Gleichung unverändert bleibt, wenn der Integrand mit einer beliebigen Konstanten multipliziert wird. Die Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichung auf mit dem modifizierten Integranden ergibt: ${\displaystyle ds/d\tau }$${\displaystyle (ds/d\tau )^{2},}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

wobei der Punkt die Ableitung nach ⁠ ⁠${\displaystyle \tau }$ bezeichnet .

In einer Kreisbahn ist die erste E–L - Gleichung${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0}$ oben äquivalent zu

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

Keplers drittes Bewegungsgesetz lautet:

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

Bei einer Kreisbahn beträgt die Umlaufzeit ⁠ ⁠ , woraus folgt ${\displaystyle T}$${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt)}$

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

Da die Punktmasse im Vergleich zur Masse des Zentralkörpers vernachlässigbar ist , ergibt die Integration , wobei eine unbekannte Integrationskonstante ist. Diese kann durch Setzen von bestimmt werden , in welchem ​​Fall die Raumzeit flach ist und . Somit gilt und ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$${\displaystyle B(r)=2GM/r+C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M=0}$${\displaystyle B(r)=-c^{2}}$${\displaystyle C=-c^{2}}$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{\text{s}}/r-1).}$

Wenn die Punktmasse vorübergehend ruht, dann gilt : ⁠ ⁠ . Die ursprüngliche metrische Gleichung lautet dann: ⁠ ⁠ und die erste E–L-Gleichung oben lautet dann: ⁠ ⁠ . Wenn die Punktmasse vorübergehend ruht, dann ist g die Erdbeschleunigung .${\displaystyle {\dot {r}}=0}$${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})}$${\displaystyle {\ddot {r}}}$${\displaystyle -MG/r^{2}}$

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{\text{s}}/r}}.}$

Die ursprüngliche Formulierung der Metrik verwendet anisotrope Koordinaten , in denen die Lichtgeschwindigkeit in radialer und transversaler Richtung nicht gleich ist. ^Arthur Eddington gab alternative Formen in isotropen Koordinaten an . ^{[ 3 ]} Für isotrope sphärische Koordinaten bleiben die Koordinaten und unverändert, und dann (vorausgesetzt , dass ) ^{[ 4} ]${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle r\geq {2Gm}/{c^{2}}}$

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$,   ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

Und

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Dann gilt für isotrope rechtwinklige Koordinaten , , , ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi ),}$   ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi ),}$   ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

Die Metrik lautet dann in isotropen rechtwinkligen Koordinaten:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Bei der Herleitung der Schwarzschild-Metrik wurde angenommen, dass diese vakuumsymmetrisch, kugelsymmetrisch und statisch sei . Diese statische Annahme ist jedoch unnötig, da der Satz von Birkhoff besagt, dass jede kugelsymmetrische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen stationär ist ; daraus folgt die Schwarzschild-Lösung. Der Satz von Birkhoff hat zur Folge, dass ein pulsierender Stern, der seine Kugelsymmetrischkeit beibehält, keine Gravitationswellen erzeugt , da der Bereich außerhalb des Sterns statisch bleibt.

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