Schwerkraft der Erde

Die Erdanziehungskraft , bezeichnet mit g , ist die resultierende Beschleunigung , die auf Objekte durch die kombinierte Wirkung der Gravitation (aufgrund der Massenverteilung im Erdinneren ) und der Zentrifugalkraft (aufgrund der Erdrotation ) wirkt. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Sie ist eine Vektorgröße , deren Richtung mit der eines Lotes übereinstimmt und deren Stärke bzw. Betrag durch die Norm angegeben wird . ${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$

In SI-Einheiten wird diese Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat ⁽ symbolisch m / s² oder m·s⁻² ⁾ oder äquivalent in Newton pro Kilogramm (N/kg oder N·kg⁻¹ ⁾ angegeben . Nahe der Erdoberfläche beträgt die Fallbeschleunigung, auf zwei signifikante Stellen genau , 9,8 m/s² ⁽ 32 ft/s² ⁾ . Das bedeutet, dass – unter Vernachlässigung des Luftwiderstands – die vertikale Geschwindigkeitskomponente eines frei fallenden Objekts jede Sekunde um etwa 9,8 Meter pro Sekunde (32 ft/s) zunimmt.

Die genaue Stärke der Erdanziehungskraft variiert je nach Ort. Der übliche Wert für die Standardgravitation beträgt9,806 65  m⋅s ^{−2 ‍ [5 ]} per Definition, ursprünglich von der CGPM im Jahr 1901 übernommen. ^{[ 6 ] : 159} Diese Größe wird unterschiedlich als g _n , g _e , g ₀ oder einfach g bezeichnet (was auch für den variablen lokalen Wert verwendet wird).

Das Gewicht eines Objekts auf der Erdoberfläche ist die nach unten wirkende Kraft, die sich nach dem zweiten Newtonschen Gesetz F = m a (Kraft = Masse × Beschleunigung) berechnet . Die Gravitationsbeschleunigung trägt zur Gesamtgravitationsbeschleunigung bei , aber auch andere Faktoren wie die Erdrotation beeinflussen das Gewicht des Objekts. Die Gravitationskräfte von Mond und Sonne werden üblicherweise nicht berücksichtigt, sondern durch Gezeitenkräfte erklärt .

Eine nicht rotierende, perfekte Kugel mit gleichmäßiger Massendichte oder einer Dichte, die sich nur mit dem Abstand vom Mittelpunkt ändert ( Kugelsymmetrie ), würde an allen Punkten ihrer Oberfläche ein Gravitationsfeld von gleichmäßiger Stärke erzeugen . Die Erde rotiert und ist zudem nicht kugelsymmetrisch; vielmehr ist sie an den Polen etwas abgeflacht und am Äquator ausgebaucht: ein abgeplattetes Sphäroid . Folglich gibt es geringfügige Abweichungen in der Stärke der Schwerkraft über ihre Oberfläche.

Die Schwerkraft an der Erdoberfläche variiert um etwa 0,7 %, von 9,7639 m/s² ^am Berg Nevado Huascarán in Peru bis 9,8337 m/ ^s² an der Oberfläche des Arktischen Ozeans . ^{[ 7 ]} In Großstädten reicht sie von 9,7806 m/s² ^{[ 8 ] in} Kuala Lumpur , Mexiko-Stadt und Singapur bis zu 9,825 m/ ^s² in Oslo und Helsinki .

Die dritte Generalkonferenz für Maß und Gewicht definierte 1901 eine Standardgravitationsbeschleunigung für die Erdoberfläche: g _{_n}  = 9,80665 m/s² ^. Sie basierte auf Messungen im Pavillon de Breteuil bei Paris im Jahr 1888 und wurde theoretisch korrigiert, um sie auf einen Breitengrad von 45° auf Meereshöhe umzurechnen. ^{[ 9 ]} Diese Definition ist somit kein Wert für einen bestimmten Ort oder ein sorgfältig berechneter Mittelwert, sondern eine Vereinbarung über einen Wert, der verwendet wird, wenn ein genauerer lokaler Wert nicht bekannt oder nicht relevant ist. ^{[ 10 ]} Sie dient auch zur Definition der Einheiten Kilogrammkraft und Pfundkraft .

Die Erdoberfläche rotiert, daher ist die Erde kein Inertialsystem . In Äquatornähe ist die durch die Erdrotation erzeugte Zentrifugalkraft nach außen größer als in Polargebieten. Diese wirkt der Erdanziehungskraft in geringem Maße entgegen – maximal um 0,3 % am Äquator – und verringert die scheinbare Fallbeschleunigung von Objekten.

Der zweite Hauptgrund für die unterschiedliche Schwerkraft in verschiedenen Breitengraden liegt in der Ausbuchtung der Erde am Äquator (die ebenfalls durch die Zentrifugalkraft der Erdrotation verursacht wird). Dadurch befinden sich Objekte am Äquator weiter vom Erdmittelpunkt entfernt als Objekte an den Polen. Die Gravitationskraft zwischen zwei Massen (einem Stück Erde und dem zu wiegenden Objekt) ist umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Auch die Massenverteilung unter einer Person am Äquator unterscheidet sich von der unter einer Person an einem Pol. Das Ergebnis ist, dass ein Objekt am Äquator eine geringere Gravitationskraft erfährt als ein Objekt an einem der Pole.

Die Kombination aus der Ausbuchtung am Äquator und der durch die Erdrotation bedingten Zentrifugalkraft an der Oberfläche führt dazu, dass die Schwerkraft auf Meereshöhe von etwa 9,780 m/s² ^am Äquator auf etwa 9,832 m/s² ^an den Polen zunimmt. Daher wiegt ein Objekt an den Polen etwa 0,5 % mehr als am Äquator. ^{[ 3 ] [ 11 ]}

Die Schwerkraft nimmt mit zunehmender Höhe ab, da eine größere Höhe eine größere Entfernung vom Erdmittelpunkt bedeutet. Unter sonst gleichen Bedingungen führt eine Zunahme der Höhe vom Meeresspiegel auf 9.000 Meter (30.000 Fuß) zu einer Gewichtsabnahme von etwa 0,29 %.

Für Höhen über der Erdoberfläche kann die Gravitationsbeschleunigung mit einer inversen Quadratformel berechnet werden: ^{[ 12 ]}${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

Wo

• g _h ist die Gravitationsbeschleunigung in der Höhe h über dem Meeresspiegel.
• R _e ist der mittlere Radius der Erde .
• g₀ ist die Standardgravitationsbeschleunigung . Die Formel behandelt die Erde als perfekte Kugel mit _einer radialsymmetrischen Massenverteilung.

Es ist ein weit verbreiteter Irrglaube, dass Astronauten im Orbit schwerelos seien, weil sie hoch genug fliegen, um der Erdanziehungskraft zu entkommen. Tatsächlich ist die Schwerkraft in einer Höhe von 400 Kilometern (250 Meilen), was einer typischen Umlaufbahn der ISS entspricht , immer noch fast 90 % so stark wie an der Erdoberfläche. Schwerelosigkeit entsteht dadurch, dass sich Objekte im Orbit im freien Fall befinden . ^{[ 13 ]}

Ein Näherungswert für die Schwerkraft im Abstand r vom Erdmittelpunkt lässt sich unter der Annahme einer kugelsymmetrischen Dichte der Erde ermitteln. Die Schwerkraft im Radius r hängt ausschließlich von der Masse innerhalb der Kugel mit diesem Radius ab. Alle äußeren Einflüsse heben sich aufgrund des Abstandsgesetzes der Gravitation auf. Daraus folgt, dass die Schwerkraft derjenigen entspricht, als wäre die gesamte Masse im Erdmittelpunkt konzentriert. Die Gravitationsbeschleunigung in diesem Radius beträgt somit ^{[ 14 ].}

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Gesamtmasse innerhalb des Radius r . Dieses Ergebnis ist als Schalentheorem bekannt; Isaac Newton benötigte 20 Jahre, um es zu beweisen, was seine Arbeit zur Gravitation verzögerte. ^{[ 15 ] : 13}

Hätte die Erde eine konstante Dichte ρ , ^so wäre die Masse M ( r ) = (4/3) πρr³ und die Abhängigkeit der Schwerkraft von der Tiefe wäre

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

Die Schwerkraft g′ in der Tiefe d ist gegeben durch g′ = g (1 − d / R ) _, wobei g die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche, d die Tiefe und R der Erdradius ist . Würde die Dichte mit zunehmendem Radius linear von ρ₀ im Zentrum auf ρ₁ an der Oberfläche abnehmen, so wäre _ρ ( r ) = ρ₀ ₋ ( ρ₀ ₋ ρ₁ ) r / R , und _die Abhängigkeit wäre

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}$

Die tatsächliche Tiefenabhängigkeit von Dichte und Schwerkraft, die aus seismischen Laufzeiten abgeleitet wurde (siehe Adams-Williamson-Gleichung ), ist in den folgenden Diagrammen dargestellt.

Die radiale Dichteverteilung der Erde gemäß dem vorläufigen Referenz-Erdmodell (PREM). ^{[ 16 ]}

Die Erdanziehungskraft gemäß dem vorläufigen Referenzmodell der Erde (PREM). ^{[ 16 ]} Zum Vergleich werden zwei Modelle für eine kugelsymmetrische Erde dargestellt. Die dunkelgrüne Gerade repräsentiert eine konstante Dichte, die der durchschnittlichen Dichte der Erde entspricht. Die hellgrüne Kurve repräsentiert eine Dichte, die vom Zentrum zur Oberfläche linear abnimmt. Die Dichte im Zentrum entspricht der im PREM, die Oberflächendichte ist jedoch so gewählt, dass die Masse der Kugel der Masse der realen Erde entspricht.

Lokale Unterschiede in der Topographie (wie das Vorhandensein von Gebirgen), der Geologie (wie die Dichte der Gesteine ​​in der Umgebung) und der tieferen tektonischen Struktur verursachen lokale und regionale Unterschiede im Gravitationsfeld der Erde, sogenannte Schwereanomalien . ^{[ 17 ]} Einige dieser Anomalien können sehr ausgeprägt sein, was zu einem Anstieg des Meeresspiegels und einer Desynchronisation von Pendeluhren führen kann.

Die Untersuchung dieser Anomalien bildet die Grundlage der Gravitationsgeophysik . Die Schwankungen werden mit hochempfindlichen Gravimetern gemessen , der Einfluss der Topographie und anderer bekannter Faktoren subtrahiert und aus den resultierenden Daten Schlussfolgerungen gezogen. Solche Techniken werden heute von Prospektoren zur Suche nach Öl- und Mineralvorkommen eingesetzt . Dichte Gesteine ​​(die oft Mineralerze enthalten ) verursachen höhere lokale Gravitationsfelder an der Erdoberfläche als üblich. Weniger dichte Sedimentgesteine ​​bewirken das Gegenteil.

Die Stärke der Schwerkraft auf der Erde ist ein Schlüsselfaktor für die Entstehung und den Erhalt der Erdatmosphäre , die wiederum für den Erhalt des Wassers in den Ozeanen unerlässlich ist. Die Schwerkraft wirkt der kinetischen Energie der von der Sonne angeregten Gasteilchen entgegen. Einerseits ist die Erdanziehungskraft schwach genug, um leichte Gase wie Wasserstoff entweichen zu lassen, anders als bei großen Planeten wie Jupiter . Andererseits ist sie stark genug, um größere Moleküle festzuhalten. Dieses Gleichgewicht ist dynamisch und erzeugt Wetterphänomene, da die Erde im Laufe der Tages- und Jahreszyklen unterschiedliche Wärmemengen aufnimmt. ^{[ 18 ] : 71}

Die Gravitationsbeschleunigung ist eine Vektorgröße mit Richtung und Betrag . Auf einer kugelsymmetrischen Erde würde die Schwerkraft direkt zum Kugelmittelpunkt gerichtet sein. Da die Erdoberfläche etwas flacher ist, ergeben sich erhebliche Abweichungen in der Richtung der Schwerkraft: im Wesentlichen die Differenz zwischen geodätischer und geozentrischer Breite . Kleinere Abweichungen, die sogenannte vertikale Ablenkung , werden durch lokale Massenanomalien wie Gebirge verursacht.

Es gibt Instrumente zur Berechnung der Schwerkraftstärke in verschiedenen Städten weltweit. ^{[ 19 ]} Der Einfluss des Breitengrades ist deutlich zu erkennen: In Städten in hohen Breitengraden ist die Schwerkraft ^etwa 0,5 % höher als in Städten in Äquatornähe wie Kuala Lumpur (9,776 m / ^{s² )} . Der Einfluss der Höhe lässt sich in Mexiko-Stadt (9,776 m/s² ^; Höhe 2240 m (7350 ft)) und im Vergleich von Denver (9,798 m/s² ^; 1616 m (5302 ft)) mit Washington, D.C. (9,801 m/s² ^; 30 m (98 ft)) beobachten, die beide nahe 39° N liegen. Die Messwerte können den physikalischen und mathematischen Tabellen von T. M. Yarwood und F. Castle, Macmillan, überarbeitete Ausgabe 1970, entnommen werden. ^{[ 20 ]}

Wenn sich das Gelände auf Meereshöhe befindet, können wir für das Geodätische Referenzsystem 1980 die Beschleunigung auf dem Breitengrad abschätzen : ${\displaystyle g\{\phi \}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right) {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

Dies ist die Internationale Gravitationsformel von 1967, die Formel des geodätischen Referenzsystems von 1967, die Helmert-Gleichung oder die Clairaut-Formel . ^{[ 21 ]}

Eine alternative Formel für g als Funktion der geografischen Breite ist die WGS ( World Geodetic System ) 84 Ellipsoidal Gravity Formula : ^{[ 22 ]}

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{\text{e}}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],}$

Wo

• ${\displaystyle a,\,b}$sind die äquatoriale bzw. polare Halbachse;
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$ist das Quadrat der Exzentrizität des Sphäroids ;
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{e}},\,\mathbb {G} _{\text{p}}\,}$ist die definierte Schwerkraft am Äquator bzw. an den Polen;
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{\text{p}}-a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}{a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}}}$(Formelkonstante);

dann, wo , ^{[ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{p}}=9.8321849378\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}}$

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\Rechts]}$

wo sich die Halbachsen der Erde befinden:

${\displaystyle a=6378137.0\,\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle b=6356752.314245\,\,\mathrm {m} }$

Der Unterschied zwischen der WGS-84-Formel und der Helmert-Gleichung beträgt weniger als 0,68 μm·s ⁻² .

Weitere Reduktionen werden angewendet, um Schwereanomalien zu erhalten (siehe Schwereanomalie § Berechnung ).

Aus dem Gesetz der universellen Gravitation ergibt sich die Kraft, die auf einen Körper unter der Wirkung der Erdanziehungskraft wirkt, wie folgt:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}$

wobei r der Abstand zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Körper ist (siehe unten), und hier nehmen wir an, dass die Masse der Erde und m die Masse des Körpers ist. ${\displaystyle M_{\oplus }}$

Darüber hinaus besagt Newtons zweites Gesetz , F = ma , wobei m die Masse und a die Beschleunigung ist, dass

${\displaystyle F=mg}$

Beim Vergleich der beiden Formeln zeigt sich Folgendes:

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}$

_{Um die} Fallbeschleunigung auf Meereshöhe zu ermitteln, setzt man die Werte der Gravitationskonstante G , der Erdmasse m₁ (in Kilogramm) und des Erdradius r ( in Metern) ein , um den Wert von g zu erhalten : ^{[ 23 ]}

$g = G(M⊙/r²) = 6,67 × 10⁻¹¹ m³ × kg⁻¹ × s⁻² × 5,98 × 10²⁴ kg × (6,38 × 10⁶ m)² ≈ 9,8 m × s⁻²$

Diese Formel funktioniert, weil die Schwerkraft eines homogenen kugelförmigen Körpers, gemessen an oder über seiner Oberfläche, derjenigen entspricht, als wäre seine gesamte Masse in einem Punkt in seinem Mittelpunkt konzentriert. Deshalb können wir den Erdradius für r verwenden .

Der erhaltene Wert stimmt annähernd mit dem gemessenen Wert von g überein . Die Abweichung kann auf mehrere Faktoren zurückgeführt werden, die oben unter „ Schwankungen der Größe “ erwähnt wurden:

• Die Erde ist nicht homogen
• Die Erde ist keine perfekte Kugel, daher muss für ihren Radius ein Durchschnittswert verwendet werden.
• Dieser berechnete Wert von g berücksichtigt nur die tatsächliche Schwerkraft. Er berücksichtigt nicht die Verringerung der Erdrotation, die wir als Verringerung der Schwerkraft wahrnehmen, sowie die teilweise Kompensation der Schwerkraft durch die Zentrifugalkraft.

Die Werte von r und m ₁ , die in dieser Berechnung verwendet werden, sind mit erheblichen Unsicherheiten behaftet, und auch der Wert von G ist nur schwer präzise zu messen.

Sind G , g und r bekannt, lässt sich durch eine Rückrechnung die Masse der Erde abschätzen. Diese Methode wurde von Henry Cavendish angewendet .

Die Messung der Erdanziehungskraft wird Gravimetrie genannt .

Aktuell werden die statischen und zeitlich veränderlichen Parameter des Erdschwerefeldes mithilfe moderner Satellitenmissionen wie GOCE , CHAMP , Swarm , GRACE und GRACE-FO bestimmt . ^{[ 24 ] [ 25 ]} Die Parameter niedrigster Ordnung, einschließlich der Erdabplattung und der Geozentrumsbewegung, lassen sich am besten mit Satellitenlaserentfernungsmessung bestimmen . ^{[ 26 ]}

Großflächige Schwereanomalien lassen sich aus dem Weltraum als Nebenprodukt von Satellitenmissionen zur Messung der Schwerkraft nachweisen. Ziel dieser Missionen ist die Erstellung eines detaillierten Schwerefeldmodells der Erde, das typischerweise als sphärische Harmonische des Erdgravitationspotenzials dargestellt wird. Es werden aber auch alternative Darstellungsformen wie Karten der Geoidundulationen oder Schwereanomalien erzeugt.

Das Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) bestand aus zwei Satelliten, die Gravitationsveränderungen auf der Erde erfassten. Diese Veränderungen konnten als zeitliche Variationen der Gravitationsanomalien dargestellt werden. Das Gravity Recovery and Interior Laboratory (GRAIL) bestand ebenfalls aus zwei Raumsonden, die drei Jahre lang den Mond umkreisten, bevor sie 2015 in die Erdatmosphäre eintraten.

• Höhen-Schwerkraft-Rechner
• GRACE – Gravity Recovery and Climate Experiment (Gravitationsrückgewinnungs- und Klimaexperiment) – Archiviert am 01.12.2009 im Internetarchiv Wayback Machine
• GGMplus-Hochauflösungsdaten (2013)
• Geoid 2011 Modell Potsdam Schwerkraft Kartoffel