Fluchtgeschwindigkeit

In der Himmelsmechanik ist die Fluchtgeschwindigkeit die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt benötigt, um den Kontakt mit oder die Umlaufbahn eines Zentralkörpers zu verlassen , unter folgenden Annahmen:

• Ballistische Flugbahn – es wirken keine anderen Kräfte auf das Objekt ein, wie etwa Antrieb und Reibung.
• Es existieren keine anderen Objekte, die Schwerkraft erzeugen.

Obwohl der Begriff Fluchtgeschwindigkeit gebräuchlich ist, beschreibt er sie genauer als Geschwindigkeit, da sie richtungsunabhängig ist. Da die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten von ihrer Gesamtmasse abhängt, ist auch die Fluchtgeschwindigkeit von der Masse abhängig. Bei künstlichen Satelliten und kleinen natürlichen Objekten trägt die Masse des Objekts vernachlässigbar wenig zur Gesamtmasse bei und wird daher oft außer Acht gelassen.

Die Fluchtgeschwindigkeit variiert mit dem Abstand vom Mittelpunkt des Zentralkörpers, ebenso wie die Geschwindigkeit eines Objekts unter dessen Gravitationseinfluss. Befindet sich ein Objekt auf einer Kreis- oder Ellipsenbahn , ist seine Geschwindigkeit stets geringer als die Fluchtgeschwindigkeit in seinem aktuellen Abstand. Im Gegensatz dazu ist seine Geschwindigkeit auf einer Hyperbelbahn immer höher als die Fluchtgeschwindigkeit in seinem aktuellen Abstand. (Es verlangsamt sich zwar mit zunehmendem Abstand, nähert sich dabei aber asymptotisch einer positiven Geschwindigkeit an.) Ein Objekt auf einer Parabelbahn bewegt sich stets mit exakt der Fluchtgeschwindigkeit in seinem aktuellen Abstand. Es besitzt genau ausgeglichene positive kinetische und negative potenzielle Energie ; ^{[ a ]} es verlangsamt sich stetig und nähert sich asymptotisch der Geschwindigkeit Null, kommt aber nie ganz zum Stillstand. ^{[ 1 ]}

Fluchtgeschwindigkeitsberechnungen dienen typischerweise dazu, zu bestimmen, ob ein Objekt im Gravitationseinflussbereich eines bestimmten Himmelskörpers verbleibt. Beispielsweise ist es bei der Erforschung des Sonnensystems hilfreich zu wissen, ob eine Sonde die Erde weiterhin umkreist oder in eine heliozentrische Umlaufbahn eintritt . Ebenso wichtig ist es zu wissen, wie stark eine Sonde abbremsen muss, um von ihrem Zielkörper gravitativ eingefangen zu werden. Raketen müssen die Fluchtgeschwindigkeit nicht in einem einzigen Manöver erreichen, und Objekte können auch einen Swing-by-Effekt nutzen , um kinetische Energie von großen Himmelskörpern abzuleiten.

Präzise Flugbahnberechnungen erfordern die Berücksichtigung kleiner Kräfte wie Luftwiderstand , Strahlungsdruck und Sonnenwind . Eine Rakete mit kontinuierlichem oder intermittierendem Schub (oder ein Objekt, das einen Weltraumaufzug hinauffährt ) kann mit jeder beliebigen Geschwindigkeit ungleich null die Flucht erreichen, die dafür benötigte Mindestenergie bleibt jedoch immer gleich.

Die Fluchtgeschwindigkeit in einem Abstand d vom Mittelpunkt eines kugelsymmetrischen Primärkörpers (wie etwa eines Sterns oder eines Planeten) mit der Masse M wird durch die Formel ^{[ 2 ] [ 3 ] gegeben.}

${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd\ }}}$

Wo:

• G ist die universelle Gravitationskonstante ( G ≈6,67 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ^{−2 ‍ [4 ]} )
• g = GM / d ² ist die lokale Gravitationsbeschleunigung (oder die Oberflächengravitation , wenn d = r ).

Der Wert GM wird als Standardgravitationsparameter oder μ bezeichnet und ist oft genauer bekannt als G oder M einzeln.

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit V, die größer als die Fluchtgeschwindigkeit v _e ist , nähert sich das Objekt asymptotisch der hyperbolischen Überschussgeschwindigkeit v _∞ an und erfüllt die Gleichung: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}.}$

Beispielsweise beträgt die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde bei einem Definitionswert für die Standardgravitation von 9,80665 m/s² ⁽ 32,1740 ft/s² ⁾ [ ^{6 ] 11,186 km/s (40.270 km/h; 25.020 mph; 36.700 ft/s). [ 7 ]}

Für ein Objekt der Masse m beträgt die Energie, die benötigt wird, um dem Gravitationsfeld eines Himmelskörpers zu entkommen, GMm  /  r² , eine Funktion der Masse des Objekts (wobei r der Radius des Planeten ist, der für die Erde 6371 Kilometer (3959 Meilen) beträgt, G die Gravitationskonstante und M die Masse des Planeten, die für die Erde M = 5,9736 × 10²⁴ ^kg beträgt ). Eine verwandte Größe ist die spezifische Bahnenergie , die im Wesentlichen die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie, dividiert durch die Masse, ist. Ein Objekt hat die Fluchtgeschwindigkeit erreicht, wenn die spezifische Bahnenergie größer oder gleich null ist. ${\displaystyle m}$

Die Existenz der Fluchtgeschwindigkeit lässt sich als Folge der Energieerhaltung und eines Energiefeldes endlicher Tiefe betrachten. Ein Objekt mit gegebener Gesamtenergie, das sich unter dem Einfluss konservativer Kräfte (wie beispielsweise eines statischen Gravitationsfeldes) bewegt, kann nur solche Kombinationen von Orten und Geschwindigkeiten erreichen, die diese Gesamtenergie aufweisen; Orte mit höherer potenzieller Energie sind unerreichbar. Durch Erhöhung der Geschwindigkeit (kinetischen Energie) eines Objekts erweitert sich der Bereich der erreichbaren Orte, bis schließlich – bei ausreichender Energie – jeder Ort bis ins Unendliche erreichbar wird.

Die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz ableiten. Vereinfachend nehmen wir, sofern nicht anders angegeben, an, dass ein Objekt dem Gravitationsfeld eines homogenen, kugelförmigen Planeten entkommt, indem es sich von diesem entfernt, und dass die Gravitation des Planeten die einzige relevante Kraft ist, die auf das sich bewegende Objekt wirkt. Stellen wir uns ein Raumschiff der Masse m vor , das sich anfänglich im Abstand r vom Massenschwerpunkt des Planeten mit der Masse M befindet und dessen Anfangsgeschwindigkeit gleich seiner Fluchtgeschwindigkeit v_{_e} ist . Im Endzustand ist es unendlich weit vom Planeten entfernt, und seine Geschwindigkeit ist vernachlässigbar klein. Wir betrachten ausschließlich kinetische Energie K und potenzielle Energie U_{_g} (den Luftwiderstand der Atmosphäre vernachlässigen wir). Daher gilt aufgrund des Energieerhaltungssatzes:

${\displaystyle (K+U_{\text{g}})_{\text{initial}}=(K+U_{\text{g}})_{\text{final}}}$

Wir können K _final = 0 setzen, da die Endgeschwindigkeit beliebig klein ist, und U _{g final} = 0, da die finale Gravitationspotentialenergie in großer Entfernung von einem Planeten per Definition null ist.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}m{v_{\text{e}}}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

Das gleiche Ergebnis erhält man durch eine relativistische Berechnung, wobei die Variable r die radiale Koordinate bzw. den reduzierten Umfang der Schwarzschild-Metrik darstellt . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Ein alternativer Ausdruck für die Fluchtgeschwindigkeit v _{_e} , der insbesondere an der Oberfläche des Körpers nützlich ist, lautet:

${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {2gr}}}$

wobei r der Abstand zwischen dem Körpermittelpunkt und dem Punkt ist, an dem die Fluchtgeschwindigkeit berechnet wird, und g die Gravitationsbeschleunigung an diesem Punkt (d. h. die Oberflächengravitation ) ist. ^{[ 11 ]}

Bei einem Körper mit einer sphärisch symmetrischen Massenverteilung ist die Fluchtgeschwindigkeit v _e von der Oberfläche proportional zum Radius, wenn man eine konstante Dichte annimmt, und proportional zur Quadratwurzel der mittleren Dichte ρ .

${\displaystyle v_{\text{e}}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

Wo . ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx \mathrm {2.364\times 10^{-5}~m^{1.5}{\cdot }kg^{-0.5}{\cdot }s^{-1}} }$

Diese Fluchtgeschwindigkeit bezieht sich auf ein nicht rotierendes Bezugssystem und nicht auf die sich bewegende Oberfläche des Planeten oder Mondes, wie im Folgenden erläutert wird.

Die Fluchtgeschwindigkeit relativ zur Oberfläche eines rotierenden Körpers hängt von der Bewegungsrichtung des flüchtenden Körpers ab. Da die Erdrotationsgeschwindigkeit am Äquator beispielsweise 465 m/s beträgt , benötigt eine Rakete, die tangential vom Äquator nach Osten gestartet wird, eine Anfangsgeschwindigkeit von etwa 10,735 km/s relativ zur rotierenden Oberfläche am Startpunkt, um zu entkommen. Eine Rakete, die tangential vom Äquator nach Westen gestartet wird, benötigt hingegen eine Anfangsgeschwindigkeit von etwa 11,665 km/s relativ zu dieser Oberfläche . Die Oberflächengeschwindigkeit nimmt mit dem Kosinus der geografischen Breite ab. Daher werden Weltraumbahnhöfe oft so nah wie möglich am Äquator errichtet, beispielsweise das amerikanische Cape Canaveral (28°28′ N) und das Raumfahrtzentrum in Französisch-Guayana (5°14′ N).

In den meisten Situationen ist es aufgrund der damit verbundenen Beschleunigung und der Tatsache, dass die Hyperschallgeschwindigkeiten (auf der Erde 11,2 km/s bzw. 40.320 km/h) in einer Atmosphäre die meisten Objekte durch aerodynamische Hitze verglühen oder durch den Luftwiderstand auseinanderreißen würden, praktisch unmöglich, die Fluchtgeschwindigkeit nahezu augenblicklich zu erreichen . Für eine tatsächliche Fluchtbahn beschleunigt ein Raumfahrzeug stetig aus der Atmosphäre heraus, bis es die für seine Höhe geeignete Fluchtgeschwindigkeit erreicht (die geringer ist als an der Erdoberfläche). In vielen Fällen wird das Raumfahrzeug zunächst in eine Parkbahn (z. B. eine niedrige Erdumlaufbahn in 160–2.000 km Höhe) gebracht und dann auf die Fluchtgeschwindigkeit in dieser Höhe beschleunigt, die etwas niedriger ist (etwa 11,0 km/s in einer niedrigen Erdumlaufbahn von 200 km Höhe). Die erforderliche zusätzliche Geschwindigkeitsänderung ist jedoch weitaus geringer, da das Raumschiff bereits eine beträchtliche Orbitalgeschwindigkeit aufweist (in der niedrigen Erdumlaufbahn beträgt die Geschwindigkeit ungefähr 7,8 km/s bzw. 28.080 km/h).

Die Fluchtgeschwindigkeit in einer gegebenen Höhe ist das 1/2-fache der Geschwindigkeit in einer Kreisbahn in derselben Höhe (vgl. dies mit der Geschwindigkeitsgleichung für eine Kreisbahn ). Dies entspricht der Tatsache, dass die potenzielle Energie eines Objekts in einer solchen Bahn im Unendlichen negativ zweifach seiner kinetischen Energie ist, während die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie mindestens null sein muss, um zu entkommen. Die Geschwindigkeit der Kreisbahn wird mitunter als erste kosmische Geschwindigkeit bezeichnet, während die Fluchtgeschwindigkeit in diesem Zusammenhang als zweite kosmische Geschwindigkeit bezeichnet wird . ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Für einen Körper auf einer elliptischen Umlaufbahn, der in eine Fluchtbahn beschleunigen möchte, variiert die erforderliche Geschwindigkeit. Sie ist am größten im Periapsis , wenn sich der Körper am nächsten zum Zentralkörper befindet. Allerdings ist an diesem Punkt auch die Umlaufgeschwindigkeit des Körpers am höchsten, und die erforderliche Geschwindigkeitsänderung ist am geringsten, wie der Oberth-Effekt erklärt .

Die Fluchtgeschwindigkeit kann entweder relativ zum anderen, zentralen Körper oder relativ zum Massenschwerpunkt (Baryzentrum) des Systems gemessen werden. Daher kann der Begriff „ Fluchtgeschwindigkeit“ bei Systemen aus zwei Körpern mehrdeutig sein; üblicherweise bezeichnet er jedoch die baryzentrische Fluchtgeschwindigkeit des masseärmeren Körpers. Fluchtgeschwindigkeit bezieht sich in der Regel auf die Fluchtgeschwindigkeit von Testteilchen mit der Masse Null . Für Testteilchen mit der Masse Null sind die Fluchtgeschwindigkeiten relativ zum anderen und die baryzentrische Fluchtgeschwindigkeit identisch . ${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

Wenn wir jedoch die kleinere Masse (sagen wir m ) nicht vernachlässigen können, gelangen wir zu etwas anderen Formeln.

Da das System dem Impulserhaltungssatz gehorchen muss, sehen wir, dass sowohl die größere als auch die kleinere Masse im Gravitationsfeld beschleunigt werden müssen. Relativ zum Massenschwerpunkt lässt sich die Geschwindigkeit der größeren Masse ( v _{_p} , für den Planeten) durch die Geschwindigkeit der kleineren Masse ( v _{_r} , für die Rakete) ausdrücken. Wir erhalten : ${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$

Die „baryzentrische“ Fluchtgeschwindigkeit beträgt nun , während die „relative Fluchtgeschwindigkeit zum anderen“ beträgt . ${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

Unter Vernachlässigung aller anderen Faktoren als der Gravitationskraft zwischen dem Körper und dem Objekt erreicht ein Objekt, das mit der Geschwindigkeit v von der Oberfläche eines kugelförmigen Körpers mit Fluchtgeschwindigkeit v _e und Radius R senkrecht abgeworfen wird, eine maximale Höhe h, die der Gleichung ^{[ 15 ] genügt.}

${\displaystyle v=v_{\text{e}}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

Auflösen nach h ergibt:

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

wobei x = v / v _e das Verhältnis der ursprünglichen Geschwindigkeit v zur Fluchtgeschwindigkeit v _e ist .

Im Gegensatz zur Fluchtgeschwindigkeit ist die Richtung (vertikal nach oben) wichtig, um die maximale Höhe zu erreichen.

Erreicht ein Objekt exakt die Fluchtgeschwindigkeit, bewegt es sich aber nicht geradlinig vom Planeten weg, beschreibt es eine gekrümmte Bahn oder Flugbahn. Obwohl diese Flugbahn keine geschlossene Form aufweist, kann sie als Umlaufbahn bezeichnet werden. Unter der Annahme, dass die Gravitation die einzige relevante Kraft im System ist, entspricht die Geschwindigkeit des Objekts an jedem Punkt seiner Flugbahn der Fluchtgeschwindigkeit an diesem Punkt. Aufgrund der Energieerhaltung ist seine Gesamtenergie stets null, woraus folgt, dass es immer die Fluchtgeschwindigkeit besitzt (siehe die obige Herleitung). Die Flugbahn ist eine Parabel mit dem Brennpunkt im Massenschwerpunkt des Planeten. Eine tatsächliche Flucht erfordert eine Flugbahn, die den Planeten oder seine Atmosphäre nicht schneidet, da dies zum Absturz des Objekts führen würde. Diese Bahn _, die sich vom Planeten wegbewegt, wird Fluchtumlaufbahn genannt . Fluchtumlaufbahnen werden auch als C₃ = 0- Umlaufbahnen bezeichnet. C ₃ ist die charakteristische Energie , − GM /2 a , wobei a die Länge der großen Halbachse ist , die für parabolische Trajektorien unendlich ist.

Besitzt ein Körper eine Geschwindigkeit oberhalb der Fluchtgeschwindigkeit, beschreibt seine Bahn eine Hyperbel und weist eine zusätzliche Hyperbelgeschwindigkeit auf, die der zusätzlichen Energie des Körpers entspricht. Ein relativ kleines zusätzliches Delta -v über die zur Beschleunigung auf Fluchtgeschwindigkeit benötigte Geschwindigkeit hinaus kann zu einer relativ hohen Geschwindigkeit im Unendlichen führen. Einige Bahnmanöver nutzen diesen Effekt. Beispielsweise ergibt sich an einem Ort, an dem die Fluchtgeschwindigkeit 11,2 km/s beträgt, durch die Hinzufügung von 0,4 km/s eine zusätzliche Hyperbelgeschwindigkeit von 3,02 km/s.

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}={\sqrt {(11,6{\text{ km/s}})^{2}-(11,2{\text{ km/s}})^{2}}}\ungefähr 3,02{\text{ km/s}}.}$

Beschleunigt ein Körper auf einer Kreisbahn (oder im Periapsis einer elliptischen Bahn) entlang seiner Bewegungsrichtung auf Fluchtgeschwindigkeit, so bildet der Beschleunigungspunkt den Periapsis der Fluchtbahn. Die endgültige Bewegungsrichtung verläuft dann senkrecht zur Richtung im Beschleunigungspunkt. Beschleunigt der Körper über die Fluchtgeschwindigkeit hinaus, verläuft die endgültige Bewegungsrichtung in einem kleineren Winkel und wird durch eine der Asymptoten der nun beschriebenen hyperbolischen Bahn bestimmt. Daher ist der Zeitpunkt der Beschleunigung entscheidend, wenn man in eine bestimmte Richtung fliehen möchte.

Wenn die Geschwindigkeit im Periapsis v beträgt , dann ergibt sich die Exzentrizität der Flugbahn wie folgt:

${\displaystyle e=2(v/v_{\text{e}})^{2}-1}$

Dies gilt für elliptische, parabolische und hyperbolische Flugbahnen. Ist die Flugbahn hyperbolisch oder parabolisch, nähert sie sich asymptotisch einem Winkel zur Richtung im Periapsis an. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

Die Geschwindigkeit wird sich asymptotisch annähern

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}.}$

In dieser Tabelle gibt die linke Hälfte die Fluchtgeschwindigkeit von der sichtbaren Oberfläche des Planeten oder Mondes (der beispielsweise gasförmig sein kann, wie Jupiter) relativ zu seinem Mittelpunkt an (also nicht relativ zu seiner sich bewegenden Oberfläche). In der rechten Hälfte bezeichnet V _{_e} die Geschwindigkeit relativ zum Zentralkörper (z. B. der Sonne). Monde sind unterhalb ihres Planeten eingerückt. Die Werte in der letzten Spalte sind variabel, da sie davon abhängen, an welcher Stelle der Umlaufbahn die Fluchtgeschwindigkeit erreicht wird, da die Umlaufbahnen elliptisch und nicht kreisförmig sind (insbesondere die von Merkur und Pluto).

Sei G die Gravitationskonstante , M die Masse der Erde (oder eines anderen gravitierenden Körpers) und m die Masse des sich entfernenden Körpers oder Projektils. Im Abstand r vom Gravitationszentrum erfährt der Körper eine anziehende Kraft.

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

Die Arbeit, die erforderlich ist, um den Körper gegen diese Kraft über eine kleine Strecke dr zu bewegen , ist daher gegeben durch

${\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}$

Die gesamte Arbeit, die erforderlich ist, um den Körper von der Oberfläche r ₀ des gravitierenden Körpers ins Unendliche zu bewegen, beträgt dann ^{[ 20 ].}

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}$

Um diese Arbeit bis ins Unendliche zu verrichten, muss die minimale kinetische Energie des Körpers beim Verlassen der Flucht dieser Arbeit entsprechen, sodass die Fluchtgeschwindigkeit v₀ die folgende Bedingung erfüllt _:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{v_{0}}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

was dazu führt

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

• Webbasierter numerischer Rechner für die Fluchtgeschwindigkeit