Falsche Deckungsrate

In der Statistik bezeichnet die Falschüberdeckungsrate (FCR) die durchschnittliche Rate falscher Überdeckung , d. h. derjenigen, bei der die wahren Parameter in den ausgewählten Intervallen nicht abgedeckt werden.

Die FCR liefert eine simultane Abdeckung auf dem Niveau (1 −  α )×100% für alle im Problem betrachteten Parameter. Die FCR steht in engem Zusammenhang mit der False Discovery Rate (FDR). Beide Methoden berücksichtigen das Problem multipler Vergleiche : die FCR anhand von Konfidenzintervallen (KI) und die FDR anhand des p-Werts.

Die FCR (False Concern Review) war aufgrund der Gefahren selektiver Schlussfolgerungen notwendig. Forscher und Wissenschaftler neigen dazu, nur den als signifikant erachteten Teil der Daten zu berichten oder hervorzuheben, ohne die verschiedenen in Betracht gezogenen Hypothesen klar darzulegen. Daher ist es wichtig zu verstehen, wie die Daten fälschlicherweise verfälscht werden. Je nach Länge des Konfidenzintervalls (KI) stehen verschiedene FCR-Verfahren zur Verfügung – Bonferroni-selektierte, Bonferroni-korrigierte und Bonferroni-korrigierte KIs (Benjamini und Yekutieli 2005 ^{[ 1 ]} ). Ziel der Wahl eines Verfahrens gegenüber einem anderen ist es, ein möglichst enges KI zu gewährleisten und die FCR aufrechtzuerhalten. Bei Microarray- Experimenten und anderen modernen Anwendungen gibt es eine Vielzahl von Parametern , oft Zehntausende oder mehr, weshalb die Wahl des leistungsstärksten Verfahrens von entscheidender Bedeutung ist.

Der FCR wurde erstmals von Daniel Yekutieli in seiner Doktorarbeit im Jahr 2001 vorgestellt. ^{[ 2 ]}

Die Nichteinhaltung des FCR bedeutet, dass gilt , wenn , wobei die Anzahl der wahren Nullhypothesen, die Anzahl der verworfenen Hypothesen, die Anzahl der falsch positiven Ergebnisse und das Signifikanzniveau ist. Intervalle mit simultaner Überdeckungswahrscheinlichkeit können sicherstellen, dass der FCR durch begrenzt wird . ${\displaystyle {\text{FCR}}>q}$${\displaystyle q={\frac {V}{R}}={\frac {\alpha m_{0}}{R}}}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1-q}$${\displaystyle q}$

Die folgende Tabelle definiert die möglichen Ergebnisse beim Testen mehrerer Nullhypothesen. Angenommen, wir haben m _{Nullhypothesen} , bezeichnet mit H₁ ,  H₂ , ...,  Hₘ _. Mithilfe eines statistischen Tests verwerfen wir die Nullhypothese , wenn der Test als signifikant gilt. Wir verwerfen die Nullhypothese nicht _, wenn der Test nicht signifikant ist. Die Summe der Ergebnisse aller _Hᵢ ergibt   die folgenden Zufallsvariablen:

	Die Nullhypothese ist wahr (H 0 )	Die Alternativhypothese ist wahr (H A ).	Gesamt
Der Test wird als signifikant eingestuft	V	S	R
Der Test wird als nicht signifikant eingestuft.	U	T	${\displaystyle mR}$
Gesamt	${\displaystyle m_{0}}$	${\displaystyle m-m_{0}}$	M

• m ist die Gesamtzahl der getesteten Hypothesen.
• ${\displaystyle m_{0}}$ist die Anzahl der wahren Nullhypothesen , ein unbekannter Parameter
• ${\displaystyle m-m_{0}}$ist die Anzahl der wahren Alternativhypothesen
• V ist die Anzahl der falsch positiven Ergebnisse (Fehler 1. Art) (auch „falsche Entdeckungen“ genannt).
• S ist die Anzahl der korrekt positiven Ergebnisse (auch „wahre Entdeckungen“ genannt).
• T ist die Anzahl der falsch negativen Ergebnisse (Fehler 2. Art).
• U ist die Anzahl der korrekten Negativwerte.
• ${\displaystyle R=V+S}$ist die Anzahl der verworfenen Nullhypothesen (auch „Entdeckungen“ genannt, entweder wahr oder falsch).

In m Hypothesentests, die wahre Nullhypothesen sind, ist R eine beobachtbare Zufallsvariable und S , T , U und V sind nicht beobachtbare Zufallsvariablen . ${\displaystyle m_{0}}$

Selektion führt zu einer reduzierten durchschnittlichen Abdeckung. Selektion kann als Bedingung für ein durch die Daten definiertes Ereignis dargestellt werden und kann die Abdeckungswahrscheinlichkeit eines Konfidenzintervalls für einen einzelnen Parameter beeinflussen . Äquivalent dazu verändert das Selektionsproblem die grundlegende Bedeutung von p-Werten . FCR-Verfahren berücksichtigen, dass das Ziel einer bedingten Abdeckung nach einer beliebigen Selektionsregel für beliebige (unbekannte) Parameterwerte nicht erreichbar ist. Eine schwächere Eigenschaft bei selektiven Konfidenzintervallen ist möglich und vermeidet falsche Aussagen zur Abdeckung. FCR ist ein Maß für die Intervallabdeckung nach Selektion. Daher  ist die Wahrscheinlichkeit, ein nicht abdeckendes Konfidenzintervall zu konstruieren, höchstens α , obwohl ein 1 − α Konfidenzintervall keine selektive ( bedingte ) Abdeckung bietet .

${\displaystyle \Pr[\theta \not \in \mathrm {CI} ,\ {\text{CI konstruiert}}]\leq \Pr[\theta \not \in \mathrm {CI} ]\leq \alpha }$

Bei gleichzeitiger Berücksichtigung mehrerer Parameter (Inferenz über mehrere Parameter) und Selektion ist nicht nur der erwartete Anteil der Überdeckung ausgewählter Parameter bei 1−α nicht gleich dem erwarteten Anteil der Nichtüberdeckung bei α, sondern Letzteres kann auch nicht mehr durch die Konstruktion marginaler Konfidenzintervalle für jeden ausgewählten Parameter sichergestellt werden. FCR-Verfahren lösen dieses Problem, indem sie den erwarteten Anteil der Parameter, die nicht durch ihre Konfidenzintervalle abgedeckt sind, unter den ausgewählten Parametern berechnen. Dieser Anteil ist 0, wenn kein Parameter ausgewählt wird. Die Rate falscher Überdeckungsaussagen (FCR) ist eine Eigenschaft jedes Verfahrens, die durch die Art der Parameterauswahl und die Konstruktion der multiplen Intervalle bestimmt wird.

Simultane Konfidenzintervalle mit Bonferroni-Korrektur bei m Parametern, wobei jedes Rand-Konfidenzintervall auf dem Niveau 1 − α/m konstruiert wird. Ohne Selektion bieten diese Konfidenzintervalle eine simultane Abdeckung, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass alle Konfidenzintervalle ihre jeweiligen Parameter abdecken, beträgt mindestens 1 − α. Leider gewährleistet selbst eine solch starke Eigenschaft nach der Selektion nicht die bedingte Konfidenz.

Das Bonferroni-Bonferroni-Verfahren bietet keine bedingte Überdeckung, kontrolliert aber die FCR bei <α. Tatsächlich ist es sogar zu effektiv, da die FCR für große θ-Werte sehr nahe bei 0 liegt. Die Intervallauswahl basiert auf Bonferroni-Tests, und anschließend werden Bonferroni-Konfidenzintervalle (KI) berechnet. Die FCR wird geschätzt, indem der Anteil der Intervalle berechnet wird, die ihre jeweiligen Parameter unter den berechneten KIs nicht abdecken (der Anteil wird auf 0 gesetzt, wenn keine Intervalle ausgewählt werden). Die Auswahl basiert auf unadjustierten Einzeltests, und es werden unadjustierte KIs berechnet.

Im BH-Verfahren zur FDR-Korrektur werden nach dem Sortieren der p- Werte P (1) ≤ • • • ≤ P ( m ) und der Berechnung von R = max{ j  : P ( j ) ≤ j • q / m } die R Nullhypothesen verworfen, für die P ( i ) ≤ R • q / m gilt. Bei Anwendung des Bonferroni-Verfahrens kann die untere Grenze des FCR deutlich unter das gewünschte Niveau q fallen , was auf zu große Intervalle hindeutet. Im Gegensatz dazu liefert das folgende Verfahren, das das allgemeine Verfahren mit der FDR-kontrollierten Testung im BH-Verfahren kombiniert, ebenfalls eine untere Grenze für den FCR von q /2 ≤ FCR. Dieses Verfahren ist insofern präzise, ​​als der FCR für bestimmte Konfigurationen gegen q konvergiert .

1. Sortieren Sie die p-Werte, die zum Testen der m Hypothesen bezüglich der Parameter verwendet wurden, P (1) ≤ • • • ≤ P ( m ).

2. Berechne R = max{ i  : P ( i ) ≤ i • q / m }.

3. Wählen Sie die R- Parameter aus, für die P ( i ) ≤ R • q / m gilt, die den verworfenen Hypothesen entsprechen.

4. Konstruieren Sie ein 1 −  R • q / m CI für jeden ausgewählten Parameter.

• Falsch-Positiv-Rate
• Post-hoc-Analyse

Fußnoten

Andere Quellen

• Zhao, Zhigen; Hwang, JT Gene (2012). „Empirical Bayes false coverage rate controlling confidence intervals“ (pdf) . Journal of the Royal Statistical Society, Series B. doi : 10.1111 /j.1467-9868.2012.01033.x .