Fermat-Quotient

In der Zahlentheorie ist der Fermat-Quotient einer ganzen Zahl a bezüglich einer ungeraden Primzahl p definiert als ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}$

oder

${\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {aa^{p}}{p}}}$Die

Dieser Artikel behandelt Ersteres; für Letzteres siehe p -Ableitung . Der Quotient ist nach Pierre de Fermat benannt .

Ist die Basis a teilerfremd zum Exponenten p, so besagt der kleine Fermatsche Satz, dass q  p ( a ) eine ganze Zahl ist. Ist die Basis a zudem ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe der ganzen Zahlen modulo p , so ist q p ( a ) eine zyklische Zahl und p eine voll reptente Primzahl .

Aus der Definition geht offensichtlich hervor, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}}$

Gotthold Eisenstein bewies 1850, dass, wenn a und b beide teilerfremd zu p sind , dann: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Eisenstein verglich die ersten beiden dieser Kongruenzen mit Eigenschaften von Logarithmen . Diese Eigenschaften implizieren

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Dmitry Mirimanoff wies 1895 darauf hin, dass eine Iteration der Eisensteinschen Regeln zu folgendem Korollar führt : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}$

Daraus folgt: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}$

M. Lerch bewies im Jahr 1905, dass ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}$

Hier ist der Wilson-Quotient . ${\displaystyle W_{p}}$

Eisenstein entdeckte, dass der Fermat-Quotient zur Basis 2 als Summe der Kehrwerte modulo p der Zahlen in der ersten Hälfte des Bereichs {1, ..., p − 1} ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$

Spätere Autoren zeigten, dass die Anzahl der in einer solchen Darstellung benötigten Terme von 1/2 auf 1/4, 1/5 oder sogar 1/6 reduziert werden konnte:

${\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[ 11 ]}

${\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[ 12 ]}

${\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[ 13 ] [ 14 ]}

Die Eisenstein-Reihe weist zudem eine zunehmend komplexe Verbindung zu den Fermat-Quotienten mit anderen Basen auf; die ersten Beispiele hierfür sind:

${\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[ 15 ]}

${\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[ 16 ]}

Wenn q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), dann ist a p -1  ≡ 1 (mod p/ 2 ). Primzahlen, für die dies für a = 2 gilt, heißen Wieferich-Primzahlen . Allgemein werden sie als Wieferich-Primzahlen zur Basis a bezeichnet. Bekannte Lösungen von q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) für kleine Werte von a sind: [ 2 ]

A	p (geprüft bis 5 × 10 13 )	OEIS -Sequenz
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Alles Primzahlen)	A000040
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
6	66161, 534851, 3152573	A212583
7	5, 491531	A123693
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	A045616
11	71
12	2693, 123653	A111027
13	2, 863, 1747591	A128667
14	29, 353, 7596952219	A234810
15	29131, 119327070011	A242741
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	A244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073	A242982
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	A298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Weitere Informationen finden Sie in ^{[ 17 ] , [ 18 ] , [ 19 ]} und ^{[ 20 ] .}

Die kleinsten Lösungen von q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) mit a = n sind:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (Sequenz A039951 in der OEIS )

Ein Paar ( p , r ) von Primzahlen, für das q _p ( r ) ≡ 0 (mod p ) und q _r ( p ) ≡ 0 (mod r ) gilt, wird als Wieferich-Paar bezeichnet .

• Gottfried Helms. Fermat-/Euler-Quotienten ( a ^{p -1} – 1)/ p ^k mit beliebigem k .
• Richard Fischer. Fermat-Quotienten B^(P-1) == 1 (mod P^2) .