Fourier-Inversionssatz

In der Mathematik besagt der Fourier-Inversionssatz , dass sich viele Funktionen aus ihrer Fouriertransformierten rekonstruieren lassen . Anschaulich lässt sich dies so verstehen, dass wir, wenn wir alle Frequenz- und Phaseninformationen einer Welle kennen, die ursprüngliche Welle präzise rekonstruieren können.

Der Satz besagt, dass, wenn wir eine Funktion haben, die bestimmte Bedingungen erfüllt, und wir die Konvention für die Fourier-Transformation verwenden , ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

Dann

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Mit anderen Worten besagt der Satz, dass

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(xy)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Diese letzte Gleichung wird als Fourier-Integralsatz bezeichnet .

Eine andere Möglichkeit, den Satz zu formulieren, ist: Wenn der Flip-Operator ist, d. h. , dann ${\displaystyle R}$${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

Der Satz gilt, wenn sowohl die Funktion als auch ihre Fouriertransformierte absolut integrierbar (im Lebesgue-Sinne ) sind und die Funktion an der Stelle stetig ist . Allerdings gelten auch unter allgemeineren Bedingungen Varianten des Fourier-Inversionssatzes. In diesen Fällen konvergieren die obigen Integrale möglicherweise nicht im üblichen Sinne. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

In diesem Abschnitt setzen wir voraus, dass es sich um eine integrierbare, stetige Funktion handelt . Es gilt die Konvention für die Fouriertransformation, dass ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Des Weiteren setzen wir voraus, dass die Fourier-Transformation ebenfalls integrierbar ist.

Die gebräuchlichste Formulierung des Fourier-Inversionssatzes besteht darin, die inverse Transformation als Integral anzugeben. Für jede integrierbare Funktion und alle Mengen ${\displaystyle g}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Dann für alles, was wir haben ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Der Satz lässt sich wie folgt umformulieren:

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Durch Bildung des Realteils ^{[ 1 ]} auf beiden Seiten des obigen Ausdrucks erhalten wir

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Für jede Funktion definieren wir den Flip-Operator ^{[ 2 ]} durch ${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Dann können wir stattdessen definieren

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Aus der Definition der Fourier-Transformation und des Flip-Operators folgt unmittelbar, dass sowohl als auch der Integraldefinition von entsprechen , und insbesondere sind sie gleich und erfüllen .${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Da wir und ⁠ ⁠ haben . ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$

Die oben angegebene Form des Fourier-Inversionssatzes ist, wie üblich, folgende:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Mit anderen Worten, es handelt sich um die Linksinverse der Fouriertransformation. Es ist jedoch auch die Rechtsinverse der Fouriertransformation, d. h. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Da so ähnlich ist wie ⁠ ⁠ , folgt dies sehr leicht aus dem Fourier-Inversionssatz (Variablentransformation ⁠ ⁠ ): ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativ lässt sich dies aus der Beziehung zwischen dem Flip-Operator und der Assoziativität der Funktionskomposition ableiten , da ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

In Physik und Ingenieurwesen wird der Fourier-Inversionssatz oft unter der Annahme verwendet, dass sich alles „gutartig“ verhält. In der Mathematik sind solche heuristischen Argumente nicht zulässig, und der Fourier-Inversionssatz legt explizit fest, welche Funktionsklasse berücksichtigt werden darf. Da es jedoch keine „beste“ Funktionsklasse gibt, existieren verschiedene Varianten des Fourier-Inversionssatzes, die jedoch alle zu kompatiblen Ergebnissen führen.

Der Fourier-Inversionssatz gilt für alle Schwartz-Funktionen (grob gesagt: glatte Funktionen, die schnell abklingen und deren Ableitungen aller Ordnungen schnell abklingen). Diese Bedingung hat den Vorteil, dass sie eine elementare, direkte Aussage über die Funktion selbst ist (im Gegensatz zur Auferlegung einer Bedingung an ihre Fouriertransformierte), und das Integral, das die Fouriertransformierte und ihre Inverse definiert, ist absolut integrierbar. Diese Version des Satzes wird im Beweis des Fourier-Inversionssatzes für temperierte Distributionen verwendet (siehe unten).

Der Fourier-Inversionssatz gilt für alle stetigen Funktionen, die absolut integrierbar sind (d. h .${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ) und deren Fouriertransformierte absolut integrierbar ist. Dies schließt alle Schwartz-Funktionen ein und stellt somit eine strikt stärkere Form des Satzes dar als die zuvor erwähnte. Diese Bedingung wurde oben im Abschnitt „Aussagen“ verwendet .

Eine leichte Abwandlung besteht darin, die Bedingung der Stetigkeit der Funktion wegzulassen, aber weiterhin zu fordern, dass sie und ihre Fouriertransformierte absolut integrierbar sind. Dann gilt dies fast überall, wo g eine stetige Funktion ist, und für jedes ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Stückweise glatt; eine Dimension

Ist die Funktion in einer Dimension absolut integrierbar (d. h .${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ) und stückweise glatt, so gilt eine Version des Fourier-Inversionssatzes. In diesem Fall definieren wir

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Dann für alle${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

d. h. entspricht dem Mittelwert der linken und rechten Grenze von an der Stelle ⁠ ⁠ . An Stellen, an denen stetig ist, entspricht dies einfach ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

Ein höherdimensionales Analogon dieser Form des Theorems gilt ebenfalls, ist aber laut Folland (1992) „eher heikel und nicht besonders nützlich“.

Stückweise stetig; eindimensional

Ist die Funktion in einer Dimension absolut integrierbar (d. h. ⁠ ⁠${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ), aber nur stückweise stetig, so gilt dennoch eine Version des Fourier-Inversionssatzes. In diesem Fall wird das Integral in der inversen Fourier-Transformation mithilfe einer glatten anstelle einer scharfen Abschneidefunktion definiert; genauer gesagt definieren wir

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

Die Schlussfolgerung des Theorems ist dann dieselbe wie für den oben diskutierten stückweise glatten Fall.

Kontinuierlich; beliebige Anzahl von Dimensionen

Wenn f stetig und absolut integrierbar auf f ist, dann gilt der Fourier-Inversionssatz weiterhin, solange wir die inverse Transformation wieder mit einer glatten Abschneidefunktion definieren, d.h. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

Die Schlussfolgerung lautet nun einfach, dass für alle${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Keine Regelmäßigkeitsbedingung; beliebige Anzahl von Dimensionen

Wenn wir alle Annahmen über die (stückweise) Stetigkeit von aufgeben und lediglich annehmen, dass es absolut integrierbar ist, dann gilt eine Version des Satzes weiterhin. Die inverse Transformation ist wiederum mit dem glatten Abschneideoperator definiert, aber mit der Schlussfolgerung, dass ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

für fast jeden ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

In diesem Fall kann die Fouriertransformation nicht direkt als Integral definiert werden, da sie möglicherweise nicht absolut konvergent ist. Stattdessen wird sie über ein Dichteargument definiert (siehe Fouriertransformation § Auf Lp-Räumen ). Zum Beispiel, wenn man

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

Wir können festlegen, wo der Grenzwert in der -Norm genommen wird. Die inverse Transformation kann analog durch die Dichte definiert werden oder indem man sie mithilfe der Fouriertransformation und des Flip-Operators definiert. Dann gilt: ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

in der mittleren quadratischen Norm . In nur einer Dimension lässt sich außerdem zeigen, dass die Folge für fast alle ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ konvergiert . Dies ist der Satz von Carleson , der jedoch wesentlich schwieriger zu beweisen ist als die Konvergenz in der mittleren quadratischen Norm.

Die Fouriertransformation kann auf dem Raum der temperierten Distributionen durch Dualität der Fouriertransformation auf dem Raum der Schwarz-Funktionen definiert werden. Insbesondere setzen wir für und für alle Testfunktionen${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

wobei mithilfe der Integralformel definiert ist. ^{[ 3 ]} Wenn dann stimmt dies mit der üblichen Definition überein. Wir können die inverse Transformation entweder durch Dualität von der inversen Transformation auf Schwartz-Funktionen analog definieren oder indem wir sie mithilfe des Flip-Operators definieren (wobei der Flip-Operator durch Dualität definiert ist). Wir haben dann${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Der Fourier-Inversionssatz ist analog zur Konvergenz von Fourierreihen . Im Fall der Fourier-Transformation gilt:

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Im Fall der Fourier-Reihe haben wir stattdessen

${\displaystyle f:[0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

Insbesondere in einer Dimension läuft die Summe von bis .${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

Bei Anwendungen der Fouriertransformation spielt der Fourier-Inversionssatz oft eine entscheidende Rolle. In vielen Fällen besteht die grundlegende Strategie darin, die Fouriertransformation anzuwenden, eine Operation oder Vereinfachung durchzuführen und anschließend die inverse Fouriertransformation anzuwenden.

Abstrakter formuliert, ist der Fourier-Inversionssatz eine Aussage über die Fourier-Transformation als Operator ( siehe Fourier-Transformation § Fourier-Transformation auf Funktionenräumen ). Beispielsweise zeigt der Fourier-Inversionssatz auf , dass die Fourier-Transformation ein unitärer Operator auf ist . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

• Rigged Hilbert space
• Wellenpaket

• Folland, Gerald B. (1992). Fourier-Analyse und ihre Anwendungen . Pacific Grove, Kalifornien: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-17094-3Die
• Folland, GB (1995). Einführung in partielle Differentialgleichungen (2. Aufl.). Princeton, USA: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04361-6Die