Rigged Hilbert space

In Mathematik und Physik bezeichnet man einen „rigged Hilbert Space“ ( auch Gelfand-Tripel , verschachtelter Hilbert-Raum oder ausgestatteter Hilbert-Raum genannt) als eine Konstruktion, die einen Hilbert-Raum zu einem größeren Raum erweitert, der zusätzliche Objekte enthält, die zwar nicht im Hilbert-Raum selbst liegen, aber dennoch als dessen Bestandteil betrachtet werden können. Beispielsweise liegen in der quantenmechanischen Beschreibung eines nicht-relativistischen Teilchens mithilfe des Hilbert-Raums der quadratintegrierbaren Funktionen auf der reellen Achse die Eigenzustände der Orts- und Impulsoperatoren nicht im Hilbert-Raum selbst, sondern in einem geeignet definierten „rigged Hilbert Space“. Umgangssprachlich bedeutet „rigged“, dass der Hilbert-Raum – analog zur Takelage eines Bootes – so ausgestattet wurde, dass er mehr leisten kann, als ihm sonst möglich wäre . ^{[ 1 ]}

Diese Konstruktion dient dazu, die Distributionen und die quadratintegrierbaren Aspekte der Funktionalanalysis zu verknüpfen . Solche Räume wurden zur Untersuchung der Spektraltheorie eingeführt . Sie vereinen den gebundenen Zustand ( Eigenvektor ) und das kontinuierliche Spektrum an einem Ort.

Mithilfe dieses Konzepts lässt sich eine Version des Spektralsatzes für unbeschränkte Operatoren auf Hilberträumen formulieren. ^{[ 2 ]} „Rigged Hilbert Rooms sind wohlbekannt als die Struktur, die der Dirac-Formulierung der Quantenmechanik eine adäquate mathematische Bedeutung verleiht .“ ^{[ 3 ]}

Eine Funktion wie diese ist eine Eigenfunktion des Differentialoperators auf der reellen Achse R , aber nicht quadratintegrierbar bezüglich des üblichen ( Lebesgue- )Maßes auf R. Um diese Funktion als Eigenfunktion zu betrachten, ist es notwendig, die strengen Grenzen der Hilbertraumtheorie zu überschreiten . Dies wurde durch den Apparat der Distributionen ermöglicht , und in den Jahren nach 1950 wurde eine verallgemeinerte Eigenfunktionstheorie entwickelt. ^{[ 4 ]}$${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$$${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Ein geriggter Hilbertraum ist ein Paar ( H , Φ), wobei H ein Hilbertraum und Φ ein dichter Unterraum ist, sodass Φ eine topologische Vektorraumstruktur besitzt, für die die Inklusionsabbildung stetig ist. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Identifiziert man H mit seinem Dualraum H ^* , so ist die zu i adjungierte Abbildung$${\displaystyle i:\Phi \to H,}$$$${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Die Dualitätspaarung zwischen Φ und Φ ^* ist dann mit dem Skalarprodukt auf H kompatibel , in dem Sinne, dass: wann immer und . Im Fall komplexer Hilberträume verwenden wir ein hermitesches Skalarprodukt; es ist komplex linear in u (mathematische Konvention) oder v (physikalische Konvention) und konjugiert linear (komplex antilinear) in der anderen Variablen. $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

Das Tripel wird oft Gelfand-Tripel (nach Israel Gelfand ) genannt und wird als Pivotraum bezeichnet. ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$${\displaystyle H}$

Beachten Sie, dass, obwohl Φ isomorph zu Φ ^* ist (über die Riesz-Darstellung ), falls Φ selbst ein Hilbertraum ist, dieser Isomorphismus nicht mit der Komposition der Inklusion i mit ihrer Adjungierten i * übereinstimmt.$${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Das Konzept des geriggten Hilbertraums bettet diese Idee in einen abstrakten funktionalanalytischen Rahmen ein. Formal besteht ein geriggter Hilbertraum aus einem Hilbertraum H und einem Unterraum Φ mit feinerer Topologie , d. h. einer Topologie , für die die natürliche Inklusion stetig ist. Es genügt anzunehmen, dass Φ bezüglich der Hilbertnorm dicht in H liegt . Wir betrachten die Inklusion dualer Räume H ^* in Φ ^* . Letzterer, dual zu Φ in seiner „Testfunktions“-Topologie, wird als Raum von Distributionen oder verallgemeinerten Funktionen realisiert, und die linearen Funktionale vom Typ v ∈ H auf dem Unterraum Φ werden getreu als Distributionen dargestellt ( da wir Φ als dicht annehmen ). $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$$${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Durch Anwendung des Rieszschen Darstellungssatzes können wir H ^* mit H identifizieren . Daher lässt sich der Begriff des geriggten Hilbertraums wie ein Sandwich definieren: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Die wichtigsten Beispiele sind diejenigen, für die Φ ein nuklearer Raum ist ; dieser Kommentar ist ein abstrakter Ausdruck der Idee, dass Φ aus Testfunktionen und Φ* aus den entsprechenden Verteilungen besteht .

Ein Beispiel für einen nuklearen abzählbar Hilbertraum und seinen Dualraum sind der Schwartzraum bzw. der Raum der temperierten Distributionen , die den Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen riggen . Der so geriggte Hilbertraum ist gegeben durch ^{[ 7 ].} Ein weiteres Beispiel sind Sobolev-Räume : Hier (im einfachsten Fall von Sobolev-Räumen auf ) wobei . ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle s>0}$

• Fourier-Inversionssatz
• Fourier-Transformation § Gedämpfte Verteilungen
• Selbstadjungierter Operator § Spektralsatz