Freier Spektralbereich

Der freie Spektralbereich ( FSR ) ist der Abstand in optischen Frequenzen oder Wellenlängen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima oder Minima der reflektierten oder transmittierten optischen Intensität eines Interferometers oder diffraktiven optischen Elements . ^{[ 1 ]}

Der FSR wird nicht immer durch oder dargestellt , sondern manchmal einfach durch die Buchstaben FSR. Der Grund dafür ist, dass diese unterschiedlichen Begriffe oft die Bandbreite bzw. die Linienbreite einer emittierten Quelle bezeichnen. ${\displaystyle \Delta \nu }$${\displaystyle \Delta \lambda }$

Der freie Spektralbereich (FSR) eines Hohlraums im Allgemeinen wird durch ^{[ 2 ] gegeben.}

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

oder, gleichbedeutend,

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

Diese Ausdrücke lassen sich aus der Resonanzbedingung durch Entwicklung in eine Taylorreihe ableiten . Hierbei ist der Wellenvektor des Lichts im Resonator, und sind Wellenvektor und Wellenlänge im Vakuum, ist der Brechungsindex des Resonators und ist die Umlauflänge des Lichts im Resonator (beachten Sie, dass bei einem Resonator mit stehender Welle gleich dem Doppelten der physikalischen Länge des Resonators ist). ${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$${\displaystyle \Delta \beta }$${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

Unter der Voraussetzung, dass die FSR (in Wellenlängen) gegeben ist durch ${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

„Being“ ist der Gruppenindex der Medien innerhalb des Hohlraums. Oder, gleichbedeutend damit: ${\displaystyle n_{\text{g}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

Wo ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum? ${\displaystyle c}$

Ist die Dispersion des Materials vernachlässigbar, d. h. , dann vereinfachen sich die beiden obigen Ausdrücke zu ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

Und

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

Eine einfache, intuitive Interpretation der FSR ist, dass sie der Kehrwert der Umlaufzeit ist : ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

In Wellenlängen ausgedrückt ist der FSR gegeben durch

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

Hierbei ist die Vakuumwellenlänge des Lichts. Für einen linearen Resonator, wie beispielsweise das weiter unten beschriebene Fabry-Pérot-Interferometer ^{[ 3 ],} gilt: , wobei die Strecke ist, die das Licht bei einem Umlauf im geschlossenen Resonator zurücklegt, und die Länge des Resonators ist. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle L=2l}$${\displaystyle L}$${\displaystyle l}$

Der freie Spektralbereich eines Beugungsgitters ist der größte Wellenlängenbereich einer gegebenen Ordnung, der sich nicht mit dem gleichen Bereich einer benachbarten Ordnung überschneidet. Wenn die ( m  +1)-te Ordnung und die m -te Ordnung unter dem gleichen Winkel liegen, dann ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

In einem Fabry-Pérot-Interferometer ^{[ 3 ]} oder Etalon wird der Wellenlängenabstand zwischen benachbarten Transmissionsmaxima als freier Spektralbereich des Etalons bezeichnet und ist gegeben durch

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

Dabei ist λ₀ _die zentrale Wellenlänge des nächstgelegenen Transmissionsmaximums, n der Brechungsindex des Resonatormediums, θ der Einfallswinkel und d die Dicke des Resonators. Häufiger wird die FSR in Frequenzeinheiten anstatt in Wellenlängeneinheiten angegeben. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

Die FSR ist mit der Halbwertsbreite δλ eines beliebigen Transmissionsbandes über eine Größe, die als Finesse bezeichnet wird, verknüpft :

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

Hierbei ist der Finessekoeffizient und R das Reflexionsvermögen der Spiegel. ${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

Dies wird üblicherweise (für R > 0,5) angenähert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$