Fabry-Pérot-Interferometer

In der Optik ist ein Fabry-Pérot-Interferometer ( FPI ), auch Etalon genannt , ein optischer Resonator, der aus zwei parallelen reflektierenden Oberflächen ( Spiegeln ) besteht. Optische Wellen können den Resonator nur dann passieren , wenn sie mit ihm in Resonanz stehen. Er ist nach den französischen Physikern Charles Fabry und Alfred Perot benannt , die das Instrument 1899 entwickelten. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Der Begriff Etalon stammt vom französischen Wort „ étalon “ ab , was so viel wie „Messinstrument“ oder „Normal“ bedeutet. ^{[ 4 ]}

Etalons finden breite Anwendung in der Telekommunikation , Lasertechnik und Spektroskopie zur Steuerung und Messung von Lichtwellenlängen . Jüngste Fortschritte in der Fertigungstechnik ermöglichen die Herstellung hochpräziser, abstimmbarer Fabry-Pérot-Interferometer. Technisch gesehen handelt es sich um ein Interferometer, wenn der Abstand zwischen den beiden Oberflächen (und damit die Resonanzlänge) veränderbar ist, und um ein Etalon, wenn der Abstand fest ist (die beiden Begriffe werden jedoch häufig synonym verwendet).

Das Herzstück des Fabry-Pérot-Interferometers bilden zwei teilreflektierende, ebene Glasplatten im Abstand von Mikrometern bis Zentimetern, deren reflektierende Oberflächen einander zugewandt sind. (Alternativ verwendet ein Fabry-Pérot- Etalon eine einzelne Platte mit zwei parallelen reflektierenden Oberflächen.) Die Platten in einem Interferometer sind häufig keilförmig, um Interferenzstreifen auf den Rückseiten zu vermeiden; diese Rückseiten sind oft zusätzlich mit einer Antireflexionsbeschichtung versehen .

In einem typischen System wird die Beleuchtung durch eine diffuse Lichtquelle in der Brennebene einer Kollimatorlinse erzeugt . Eine Fokussierlinse hinter den beiden flachen Linsen würde ohne diese Linsen ein umgekehrtes Bild der Lichtquelle erzeugen; das gesamte von einem Punkt der Lichtquelle emittierte Licht wird auf einen einzigen Punkt in der Bildebene des Systems fokussiert. In der beigefügten Abbildung ist nur ein von Punkt A der Lichtquelle emittierter Strahl dargestellt. Beim Durchgang durch die beiden flachen Linsen wird der Strahl wiederholt reflektiert, wodurch mehrere transmittierte Strahlen entstehen, die von der Fokussierlinse auf Punkt A' auf dem Schirm gebündelt werden. Das vollständige Interferenzmuster erscheint als eine Reihe konzentrischer Ringe. Die Schärfe der Ringe hängt vom Reflexionsvermögen der flachen Linsen ab. Bei hohem Reflexionsvermögen, was zu einem hohen Q-Faktor führt , erzeugt monochromatisches Licht schmale, helle Ringe vor einem dunklen Hintergrund. Ein Fabry-Pérot-Interferometer mit hohem Q-Faktor besitzt eine hohe Finesse .

Telekommunikationsnetze, die Wellenlängenmultiplexverfahren nutzen, verwenden Add-Drop-Multiplexer mit Bänken aus miniaturisierten, abgestimmten Quarzglas- oder Diamant- Etalons. Diese kleinen, irisierenden Würfel mit einer Kantenlänge von etwa 2 mm sind in kleinen, hochpräzisen Racks montiert. Die Materialwahl gewährleistet stabile Spiegelabstände und Frequenzstabilität auch bei Temperaturschwankungen. Diamant wird bevorzugt, da er eine höhere Wärmeleitfähigkeit bei gleichzeitig niedrigem Ausdehnungskoeffizienten aufweist. Im Jahr 2005 begannen einige Telekommunikationsausrüster, massive Etalons aus optischen Fasern zu verwenden. Dadurch entfallen die meisten Schwierigkeiten bei Montage, Ausrichtung und Kühlung.

Dichroitische Filter werden durch Aufdampfen mehrerer etalonischer Schichten auf eine optische Oberfläche hergestellt . Diese optischen Filter weisen in der Regel präzisere Reflexions- und Durchlassbereiche als Absorptionsfilter auf. Bei optimaler Auslegung erzeugen sie weniger Wärme als Absorptionsfilter, da sie unerwünschte Wellenlängen reflektieren statt absorbieren. Dichroitische Filter finden breite Anwendung in optischen Geräten wie Lichtquellen, Kameras, astronomischen Instrumenten und Lasersystemen.

Optische Wellenlängenmesser und einige optische Spektrumanalysatoren verwenden Fabry-Pérot-Interferometer mit unterschiedlichen freien Spektralbereichen, um die Wellenlänge des Lichts mit hoher Präzision zu bestimmen.

Laserresonatoren werden oft als Fabry-Pérot-Resonatoren bezeichnet, obwohl bei vielen Lasertypen die Reflektivität eines Spiegels nahezu 100 % beträgt, wodurch sie eher einem Gires-Tournois-Interferometer ähneln . Halbleiterdiodenlaser verwenden aufgrund der Schwierigkeit, die Endflächen des Chips zu beschichten, mitunter eine echte Fabry-Pérot-Geometrie. Quantenkaskadenlaser nutzen aufgrund der hohen Verstärkung der aktiven Zone häufig Fabry-Pérot-Resonatoren, um den Laserbetrieb ohne Beschichtung der Endflächen zu ermöglichen . ^{[ 5 ]}

Etalons werden häufig im Laserresonator von Einmodenlasern eingesetzt. Ohne Etalon erzeugt ein Laser im Allgemeinen Licht in einem Wellenlängenbereich, der mehreren Resonatormoden entspricht , ähnlich den Fabry-Pérot-Moden. Durch Einfügen eines Etalons in den Laserresonator mit geeigneter Finesse und freiem Spektralbereich lassen sich alle Resonatormoden bis auf eine unterdrücken, wodurch der Laser vom Mehrmoden- in den Einmodenbetrieb wechselt.

Stabile Fabry-Pérot-Interferometer werden häufig eingesetzt, um die Frequenz des von einem Laser emittierten Lichts (die aufgrund mechanischer Schwingungen oder Temperaturänderungen oft schwankt) zu stabilisieren, indem es an einen Modus des Resonators gekoppelt wird. Es existieren viele Verfahren zur Erzeugung eines Fehlersignals, beispielsweise das weit verbreitete Pound-Drever-Hall-Verfahren .

Fabry-Pérot-Etalons können zur Verlängerung der Wechselwirkungslänge in der Laserabsorptionsspektrometrie , insbesondere bei Cavity-Ring-Down -Verfahren, eingesetzt werden. Ein Etalon mit zunehmender Dicke kann als linear variabler optischer Filter für die Spektroskopie verwendet werden . Es lässt sich durch die Verwendung dünner Filme mit Nanometerdicke extrem klein herstellen. ^{[ 6 ]}

Mit einem Fabry-Pérot-Etalon kann ein Spektrometer hergestellt werden, das in der Lage ist, den Zeeman-Effekt zu beobachten , bei dem die Spektrallinien viel zu nahe beieinander liegen, um mit einem normalen Spektrometer unterschieden werden zu können.

In der Astronomie werden Etalons verwendet, um einen einzelnen Atomübergang für die Bildgebung auszuwählen. Am häufigsten wird die H-alpha- Linie der Sonne verwendet . Auch die Ca-K -Linie der Sonne wird häufig mithilfe von Etalons abgebildet.

Der Methansensor für den Mars (MSM) an Bord der indischen Raumsonde Mangalyaan ist ein Beispiel für ein Fabry-Pérot-Instrument. Es war das erste Fabry-Pérot-Instrument im Weltraum, als Mangalyaan gestartet wurde. ^{[ 7 ]} Da es die von Methan absorbierte Strahlung nicht von der von Kohlendioxid und anderen Gasen absorbierten Strahlung unterscheiden konnte , wurde es später als Albedo-Mapper bezeichnet. ^{[ 8 ]}

Bei der Gravitationswellendetektion werden Photonen mithilfe eines Fabry-Pérot-Resonators für fast eine Millisekunde gespeichert , während sie zwischen den Spiegeln hin und her reflektiert werden. Dadurch verlängert sich die Zeit, in der eine Gravitationswelle mit dem Licht interagieren kann, was zu einer höheren Empfindlichkeit bei niedrigen Frequenzen führt. Dieses Prinzip wird von Detektoren wie LIGO und Virgo genutzt, die aus einem Michelson-Interferometer mit einem Fabry-Pérot-Resonator von mehreren Kilometern Länge in beiden Armen bestehen . Kleinere Resonatoren, üblicherweise Modenreiniger genannt , dienen der räumlichen Filterung und Frequenzstabilisierung des Hauptlasers. ^{[ 9 ]}

Die spektrale Antwort eines Fabry-Pérot-Resonators beruht auf der Interferenz zwischen dem einfallenden und dem im Resonator zirkulierenden Licht. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die beiden Lichtstrahlen in Phase sind , was zu einer resonanten Verstärkung des Lichts im Resonator führt. Sind die beiden Lichtstrahlen gegenphasig, wird nur ein kleiner Teil des einfallenden Lichts im Resonator gespeichert. Das gespeicherte, transmittierte und reflektierte Licht weist im Vergleich zum einfallenden Licht spektrale Veränderungen auf.

Betrachten wir einen Fabry-Pérot-Resonator mit zwei Spiegeln und geometrischer Länge , der homogen mit einem Medium des Brechungsindex gefüllt ist . Licht wird senkrecht in den Resonator eingekoppelt. Die Umlaufzeit des Lichts im Resonator mit der Geschwindigkeit , wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, und der freie Spektralbereich sind gegeben durch ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$${\displaystyle c=c_{0}/n}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Die elektrischen Feld- und Intensitätsreflexionsgrade und am Spiegel sind ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

Wenn keine weiteren Resonatorverluste auftreten, wird der Abfall der Lichtintensität pro Umlauf durch die Auskopplungs-Abklingratenkonstante quantifiziert.${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

und die Photonenzerfallszeit des Resonators ist dann gegeben durch ^{[ 10 ]}${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Bei der Quantifizierung der Phasenverschiebung, die Licht bei der Ausbreitung von einem Spiegel zum anderen im Einzeldurchgang erfährt, summiert sich die Phasenverschiebung über den gesamten Umlauf bei der Frequenz zu ^{[ 10 ].}${\displaystyle \phi (\nu )}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Resonanzen treten bei Frequenzen auf, bei denen Licht nach einem Umlauf konstruktive Interferenz zeigt. Jeder Resonatormodus mit seinem Modenindex , wobei eine ganze Zahl im Intervall ist , ist mit einer Resonanzfrequenz und Wellenzahl verbunden . ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \nu _{q}}$${\displaystyle k_{q}}$

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Zwei Moden mit entgegengesetzten Werten des Modenindex und der Wellenzahl , die physikalisch entgegengesetzte Ausbreitungsrichtungen darstellen, treten beim gleichen Absolutwert der Frequenz auf. ^{[ 11 ]}${\displaystyle \pm q}$${\displaystyle \pm k}$${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$

Das abklingende elektrische Feld bei der Frequenz wird durch eine gedämpfte harmonische Schwingung mit einer Anfangsamplitude von und einer Abklingzeitkonstante von dargestellt . In Zeigerdarstellung kann es wie folgt ausgedrückt werden ^{[ 10 ].}${\displaystyle \nu _{q}}$${\displaystyle E_{q,s}}$${\displaystyle 2\tau _{c}}$

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

Die Fourier-Transformation des elektrischen Feldes über die Zeit liefert das elektrische Feld pro Frequenzintervall.

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{Q})}}.}$

Jeder Modus besitzt eine normalisierte Spektrallinienform pro Frequenzintervall, die gegeben ist durch

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

deren Frequenzintegral gleich eins ist. Durch Einführung der Halbwertsbreite (FWHM) der Lorentzschen Spektrallinienform erhalten wir ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

ausgedrückt entweder durch die Linienbreite bei halber Maximalbreite (HWHM) oder die Linienbreite bei halber Maximalbreite (FWHM ) . Kalibriert auf eine Spitzenhöhe von eins, erhalten wir die Lorentz-Linien: ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

Wiederholt man die obige Fourier-Transformation für alle Moden mit Modenindex im Resonator, erhält man das vollständige Modenspektrum des Resonators. ${\displaystyle q}$

Da die Linienbreite und der freie Spektralbereich unabhängig von der Frequenz sind, im Wellenlängenraum die Linienbreite nicht richtig definiert werden kann und der freie Spektralbereich von der Wellenlänge abhängt, und da die Resonanzfrequenzen proportional zur Frequenz skalieren, wird die spektrale Antwort eines Fabry-Pérot-Resonators natürlicherweise im Frequenzraum analysiert und dargestellt. ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$${\displaystyle \nu _{q}}$

Die Reaktion des Fabry-Pérot-Resonators auf ein auf Spiegel 1 einfallendes elektrisches Feld wird durch mehrere Airy-Verteilungen (benannt nach dem Mathematiker und Astronomen George Biddell Airy ) beschrieben. Diese quantifizieren die Lichtintensität in Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung an verschiedenen Positionen innerhalb oder außerhalb des Resonators in Abhängigkeit von der Intensität des eingekoppelten oder einfallenden Lichts. Die Reaktion des Fabry-Pérot-Resonators lässt sich am einfachsten mithilfe des Zirkulationsfeldmodells herleiten. ^{[ 12 ]} Dieses Modell setzt einen stationären Zustand voraus und stellt die verschiedenen elektrischen Felder in Beziehung zueinander (siehe Abbildung „Elektrische Felder in einem Fabry-Pérot-Resonator“).

Das Feld kann mit dem Feld in Beziehung gesetzt werden , das in den Resonator eingekoppelt wird durch ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

Die generische Airy-Verteilung, die ausschließlich die physikalischen Prozesse berücksichtigt, die das Licht im Inneren des Resonators zeigt, ergibt sich dann als die im Resonator zirkulierende Intensität relativ zur eingekoppelten Intensität, ^{[ 10 ].}

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$stellt die spektral abhängige interne Resonanzverstärkung dar, die der Resonator dem eingestrahlten Licht verleiht (siehe Abbildung „Resonanzverstärkung in einem Fabry-Pérot-Resonator“). Bei den Resonanzfrequenzen , wo gleich null ist, beträgt der interne Resonanzverstärkungsfaktor ${\displaystyle \nu _{q}}$${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Sobald die interne Resonanzverstärkung, die generische Airy-Verteilung, ermittelt ist, lassen sich alle anderen Airy-Verteilungen durch einfache Skalierungsfaktoren ableiten. ^{[ 10 ]} Da die in den Resonator eingekoppelte Intensität dem transmittierten Anteil der auf Spiegel 1 einfallenden Intensität entspricht,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

und die durch Spiegel 2 transmittierten, an Spiegel 2 reflektierten und durch Spiegel 1 transmittierten Intensitäten sind die transmittierten und reflektierten/transmittierten Anteile der im Resonator zirkulierenden Intensität,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

Die anderen Airy-Verteilungen bezüglich der Sendeintensität bzw. bezüglich der einfallenden Intensität sind ^{[ 10 ].}${\displaystyle A}$${\displaystyle I_{\text{laun}}}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle I_{\text{inc}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

Der Index "emit" bezeichnet Airy-Verteilungen, die die Summe der auf beiden Seiten des Resonators emittierten Intensitäten berücksichtigen.

Die rückgestrahlte Intensität kann nicht gemessen werden, da auch das anfänglich rückreflektierte Licht zum rückwärtslaufenden Signal beiträgt. Der messbare Fall der Intensität, die sich aus der Interferenz beider rückwärtslaufender elektrischer Felder ergibt, führt zur Airy-Verteilung ^{[ 10 ].}${\displaystyle I_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Es lässt sich leicht zeigen, dass in einem Fabry-Pérot-Resonator trotz des Auftretens konstruktiver und destruktiver Interferenz die Energie bei allen Frequenzen erhalten bleibt:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

Der externe Resonanzverstärkungsfaktor (siehe Abbildung „Resonanzverstärkung in einem Fabry-Pérot-Resonator“) beträgt ^{[ 10 ].}

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Bei den Resonanzfrequenzen , bei denen gleich Null ist, beträgt der externe Resonanzverstärkungsfaktor ${\displaystyle \nu _{q}}$${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Üblicherweise wird Licht durch einen Fabry-Pérot-Resonator geleitet. Daher wird häufig die Airy-Verteilung verwendet ^{[ 10 ].}

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Sie beschreibt den Anteil der Intensität einer auf Spiegel 1 einfallenden Lichtquelle, der durch Spiegel 2 transmittiert wird (siehe Abbildung „Airy-Verteilung “). Ihr Spitzenwert bei den Resonanzfrequenzen beträgt ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$${\displaystyle I_{\text{inc}}}$${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Der Spitzenwert ist gleich eins; das heißt, das gesamte auf den Resonator einfallende Licht wird transmittiert. Folglich wird kein Licht reflektiert, da es aufgrund destruktiver Interferenz zwischen den Feldern zu Reflexion und Reflexion kommt . ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$${\displaystyle E_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$wurde im Zirkulationsfeldansatz ^{[ 12 ]} abgeleitet , indem eine zusätzliche Phasenverschiebung bei jeder Transmission durch einen Spiegel berücksichtigt wurde. ${\displaystyle e^{i\pi /2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

ergebend

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Alternativ kann man sie über den Round-Trip-Decay-Ansatz ^{[ 13 ]} erhalten , indem man die unendliche Anzahl von Umläufen verfolgt, die das einfallende elektrische Feld nach dem Eintritt in den Resonator durchläuft, und das in allen Umläufen übertragene elektrische Feld akkumuliert . Das nach der ersten Ausbreitung übertragene Feld und die nach jeder weiteren Ausbreitung durch den Resonator immer kleineren Felder sind ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$${\displaystyle E_{\text{inc}}}$${\displaystyle E_{\text{trans}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

Ausnutzen

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

Das Ergebnis ist dasselbe wie oben, daher ergibt sich dieselbe Airy-Verteilung . Dieser Ansatz ist jedoch physikalisch irreführend, da er annimmt, dass die Interferenz zwischen den nach Spiegel 2 ausgekoppelten Strahlen außerhalb des Resonators stattfindet, anstatt zwischen den nach Spiegel 1 eingekoppelten und zirkulierenden Strahlen innerhalb des Resonators. Da die Interferenz die spektralen Inhalte verändert, wäre die spektrale Intensitätsverteilung innerhalb des Resonators identisch mit der spektralen Intensitätsverteilung des einfallenden Lichts, und es würde keine Resonanzverstärkung innerhalb des Resonators auftreten. ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$

Physikalisch gesehen ist die Airy-Verteilung die Summe der Modenprofile der longitudinalen Resonatormoden. ^{[ 10 ]} Ausgehend vom im Resonator zirkulierenden elektrischen Feld betrachtet man den exponentiellen zeitlichen Abfall dieses Feldes durch beide Spiegel des Resonators, führt eine Fourier-Transformation in den Frequenzraum durch, um die normierten Spektrallinienformen zu erhalten , und dividiert diese durch die Umlaufzeit, um zu berücksichtigen, wie die gesamte zirkulierende elektrische Feldstärke longitudinal im Resonator verteilt und pro Zeiteinheit ausgekoppelt wird, woraus die emittierten Modenprofile resultieren. ${\displaystyle E_{circ}}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

und summiert dann über die emittierten Modenprofile aller longitudinalen Moden ^{[ 10 ].}

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

somit entspricht sie der Airy-Verteilung . ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$

Die gleichen einfachen Skalierungsfaktoren, die die Beziehungen zwischen den einzelnen Airy-Verteilungen liefern, liefern auch die Beziehungen zwischen den anderen Modusprofilen: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Das Taylor-Kriterium der spektralen Auflösung besagt, dass zwei Spektrallinien aufgelöst werden können, wenn sich die einzelnen Linien bei halber Intensität schneiden. Beim Einkoppeln von Licht in den Fabry-Pérot-Resonator lässt sich durch Messung der Airy-Verteilung der Gesamtverlust des Fabry-Pérot-Resonators bestimmen, indem man die Lorentz-Linienbreite (blaue Linie) relativ zum freien Spektralbereich in der Abbildung „Lorentz-Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators“ neu berechnet. ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

Die zugrundeliegenden Lorentz-Linien können aufgelöst werden, solange das Taylor-Kriterium erfüllt ist (siehe Abbildung „Die physikalische Bedeutung der Lorentz-Finesse“). Folglich lässt sich die Lorentz-Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators wie folgt definieren: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

Sie wird in der Abbildung „Die physikalische Bedeutung der Lorentz-Finesse“ als blaue Linie dargestellt. Die Lorentz-Finesse hat eine grundlegende physikalische Bedeutung: Sie beschreibt, wie gut die der Airy-Verteilung zugrunde liegenden Lorentz-Linien bei der Messung der Airy-Verteilung aufgelöst werden können. An dem Punkt, an dem ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

Bei Erreichen dieses Wertes ist das Taylor-Kriterium für die spektrale Auflösung einer einzelnen Airy-Verteilung erfüllt. Unterhalb dieses Punktes (π = 0) lassen sich zwei Spektrallinien nicht mehr unterscheiden. Bei gleichem Reflexionsgrad der Spiegel tritt dieser Punkt ein, wenn π = 0. Daher kann die Linienbreite der Lorentz-Linien, die der Airy-Verteilung eines Fabry-Pérot-Resonators zugrunde liegen, durch Messung der Airy-Verteilung aufgelöst und somit dessen Resonatorverluste bis zu diesem Punkt spektroskopisch bestimmt werden. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$

Wird der Fabry-Pérot-Resonator als Scanning-Interferometer verwendet, d. h. bei variierender Resonatorlänge (oder variierendem Einfallswinkel), lassen sich Spektrallinien unterschiedlicher Frequenzen innerhalb eines freien Spektralbereichs spektroskopisch unterscheiden. Dazu müssen mehrere Airy-Verteilungen aufgelöst werden, die jeweils durch eine einzelne Spektrallinie erzeugt werden. Die Airy-Verteilung bildet somit die zugrundeliegende fundamentale Funktion, und die Messung liefert eine Summe von Airy-Verteilungen. Die Parameter, die diese Situation präzise beschreiben, sind die Airy-Linienbreite und die Airy-Finesse . Die Halbwertsbreite (FWHM) der Airy-Verteilung beträgt ^{[ 10 ].}${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

Die Airy-Linienbreite wird in der Abbildung „Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators“ als grüne Kurve dargestellt. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

Das Konzept, die Linienbreite der Airy-Peaks als FWHM zu definieren, versagt bei (durchgezogene rote Linie in der Abbildung „Airy-Verteilung “), da die Airy-Linienbreite an diesem Punkt sprunghaft einen unendlichen Wert annimmt . Für niedrigere Reflektivitätswerte ist die FWHM-Linienbreite der Airy-Peaks undefiniert. Der Grenzfall tritt bei auf. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$${\displaystyle \arcsin }$${\displaystyle R_{1}R_{2}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

Bei gleichen Spiegelreflexionsvermögen wird dieser Punkt erreicht, wenn (durchgezogene rote Linie in der Abbildung „Airy-Verteilung “). ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Die Finesse der Airy-Verteilung eines Fabry-Pérot-Resonators, die in der Abbildung „Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators“ als grüne Kurve im direkten Vergleich mit der Lorentzschen Finesse dargestellt ist , ist definiert als ^{[ 10 ].}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

Beim Scannen der Länge des Fabry-Pérot-Resonators (oder des Einfallswinkels des Lichts) quantifiziert die Airy-Finesse die maximale Anzahl von Airy-Verteilungen, die durch Licht bei einzelnen Frequenzen innerhalb des freien Spektralbereichs des Fabry-Pérot-Resonators erzeugt werden und deren benachbarte Peaks spektroskopisch eindeutig unterschieden werden können, d. h., sie überlappen sich nicht in ihrer Halbwertsbreite (siehe Abbildung „Die physikalische Bedeutung der Airy-Finesse“). Diese Definition der Airy-Finesse stimmt mit dem Taylor-Kriterium für die Auflösung eines Spektrometers überein. Da das Konzept der Halbwertsbreite bei einer Halbwertsbreite von 1/2 nicht mehr anwendbar ist , ist die Airy-Finesse folglich nur bis zu einer Halbwertsbreite von 1/2 definiert (siehe Abbildung „Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und -Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators“). ${\displaystyle \nu _{m}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$

Häufig wird bei der Ableitung aus der Airy-Linienbreite eine unnötige Näherung vorgenommen . Im Gegensatz zur obenstehenden exakten Lösung führt dies zu ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

Diese Näherung der Airy-Linienbreite, dargestellt als rote Kurve in der Abbildung „Lorentzsche Linienbreite und Finesse versus Airy-Linienbreite und Finesse eines Fabry-Pérot-Resonators“, weicht bei niedrigen Reflektivitäten von der korrekten Kurve ab und versagt fälschlicherweise nicht, wenn . Diese Näherung wird daher typischerweise auch zur Berechnung der Airy-Finesse verwendet. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

Der allgemeinere Fall eines Fabry-Pérot-Resonators mit frequenzabhängiger Spiegelreflexion lässt sich mit denselben Gleichungen wie oben beschreiben, mit der Ausnahme, dass die Photonenzerfallszeit und die Linienbreite nun lokale Funktionen der Frequenz sind. Während die Photonenzerfallszeit weiterhin eine wohldefinierte Größe ist, verliert die Linienbreite ihre Bedeutung, da sie einer spektralen Bandbreite ähnelt, deren Wert sich nun innerhalb dieser Bandbreite ändert. Auch in diesem Fall ist jede Airy-Verteilung die Summe aller zugrunde liegenden Modenprofile, die stark verzerrt sein können. ^{[ 10 ]} Ein Beispiel für die Airy-Verteilung und einige der zugrunde liegenden Modenprofile ist in der Abbildung „Beispiel eines Fabry-Pérot-Resonators mit frequenzabhängiger Spiegelreflexion“ dargestellt. ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$

Die intrinsischen Ausbreitungsverluste innerhalb des Resonators können durch einen Intensitätsverlustkoeffizienten pro Längeneinheit oder, äquivalent dazu, durch den intrinsischen Hin- und Rücklaufverlust quantifiziert werden, so dass ^{[ 14 ]}${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

Der zusätzliche Verlust verkürzt die Photonenzerfallszeit des Resonators: ^{[ 14 ]}${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit im Resonator. Die allgemeine Airy-Verteilung bzw. der interne Resonanzverstärkungsfaktor wird dann wie oben beschrieben unter Berücksichtigung der Ausbreitungsverluste über den Amplitudenverlustkoeffizienten abgeleitet : ^{[ 14 ]}${\displaystyle c}$${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Die anderen Airy-Verteilungen lassen sich dann wie oben beschrieben ableiten, indem man zusätzlich die Ausbreitungsverluste berücksichtigt. Insbesondere ergibt sich die Übertragungsfunktion mit Verlust zu ^{[ 14 ].}

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Die variable Transmissionsfunktion eines Etalons entsteht durch Interferenz zwischen den Mehrfachreflexionen des Lichts an den beiden reflektierenden Oberflächen. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die transmittierten Strahlen in Phase sind ; dies entspricht einem Transmissionsmaximum des Etalons. Sind die transmittierten Strahlen gegenphasig, tritt destruktive Interferenz auf, was einem Transmissionsminimum entspricht. Ob die mehrfach reflektierten Strahlen in Phase sind oder nicht, hängt von der Wellenlänge (λ) des Lichts (im Vakuum), dem Einfallswinkel (θ) des Lichts im Etalon, der Dicke ( ℓ ) des Etalons und dem Brechungsindex ( n ) des Materials zwischen den reflektierenden Oberflächen ab.

Die Phasendifferenz zwischen jedem aufeinanderfolgenden übertragenen Paar (d. h. T ₂ und T ₁ im Diagramm) ist gegeben durch ^{[ 15 ].}

${\displaystyle \delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .}$

Wenn beide Oberflächen einen Reflexionsgrad R aufweisen , ist die Transmissionsfunktion des Etalons gegeben durch

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

Wo

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

ist der Finessekoeffizient .

Die maximale Transmission ( ) tritt auf, wenn die optische Weglängendifferenz ( ) zwischen den beiden transmittierten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Bei fehlender Absorption ist das Reflexionsvermögen des Etalons R_{_e} das Komplement des Transmissionsvermögens, sodass R_e = R_e . Das maximale Reflexionsvermögen ist gegeben durch ${\displaystyle T_{e}=1}$${\displaystyle 2nl\cos \theta }$${\displaystyle T_{e}+R_{e}=1}$

${\displaystyle R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

Dies tritt ein, wenn der Weglängenunterschied gleich der Hälfte eines ungeraden Vielfachen der Wellenlänge ist.

Der Wellenlängenabstand zwischen benachbarten Transmissionsmaxima wird als freier Spektralbereich (FSR) des Etalons, Δλ, bezeichnet und ist gegeben durch:

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},}$

wobei λ₀ _die zentrale Wellenlänge des nächstgelegenen Transmissionsmaximums und der Gruppenbrechungsindex ist . ^{[ 16 ]} Die FSR ist mit der Halbwertsbreite δλ eines beliebigen Transmissionsbandes über eine als Finesse bezeichnete Größe verknüpft : ${\displaystyle n_{\mathrm {g} }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.}$

Dies wird üblicherweise (für R  > 0,5) angenähert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.}$

Wenn die beiden Spiegel nicht gleich sind, wird die Finesse

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}$

Etalons mit hoher Finesse weisen schärfere Transmissionsspitzen mit niedrigeren minimalen Transmissionskoeffizienten auf. Bei schrägem Einfall hängt die Finesse vom Polarisationszustand des Strahls ab, da der Wert von R , der sich aus den Fresnel-Gleichungen ergibt , im Allgemeinen für p- und s-Polarisationen unterschiedlich ist.

Im Diagramm rechts sind zwei Strahlen dargestellt. Einer davon (T₀ ₎ durchdringt das Etalon, der andere (T₁ ₎ wird zweimal reflektiert, bevor er transmittiert wird. Bei jeder Reflexion verringert sich die Amplitude um 1/2 , bei jeder Transmission durch eine Grenzfläche um 1/2 . Unter der Annahme, dass keine Absorption stattfindet, erfordert die Energieerhaltung T  +  R  = 1. In der folgenden Herleitung ist n der Brechungsindex innerhalb des Etalons und n₀ der außerhalb. Es wird angenommen, dass n > n₀ . Die _{einfallende Amplitude} am Punkt a wird als eins angenommen, und die Amplitude der Strahlung wird durch Phasoren dargestellt. Die transmittierte Amplitude am Punkt b ist dann … ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

${\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },}$

Dabei ist die Wellenzahl innerhalb des Etalons und λ die Vakuumwellenlänge. Am Punkt c beträgt die transmittierte Amplitude ${\displaystyle k=2\pi n/\lambda }$

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

Die Gesamtamplitude beider Strahlen entspricht der Summe der Amplituden der beiden Strahlen, gemessen entlang einer Linie senkrecht zur Strahlrichtung. Die Amplitude _t₀ am Punkt b kann daher _zu t'₁ addiert werden , wobei die Wellenzahl außerhalb des Etalons ist. ${\displaystyle k_{0}\ell _{0}}$${\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda }$

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},}$

wobei ℓ ₀ ist

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.}$

Die Phasendifferenz zwischen den beiden Strahlen beträgt

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.}$

Die Beziehung zwischen θ und θ _{0 wird durch} das Snellius'sche Brechungsgesetz beschrieben :

${\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},}$

sodass die Phasendifferenz wie folgt geschrieben werden kann:

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

Bis auf einen konstanten multiplikativen Phasenfaktor lässt sich die Amplitude des m -ten transmittierten Strahls wie folgt schreiben:

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

Die gesamte übertragene Amplitude ist die Summe der Amplituden aller einzelnen Strahlen:

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

Die Reihe ist eine geometrische Reihe , deren Summe analytisch ausgedrückt werden kann. Die Amplitude lässt sich umschreiben als

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

Die Intensität des Strahls entspricht dem t- fachen ihrer komplex Konjugierten . Da angenommen wurde, dass der einfallende Strahl die Intensität eins besitzt, ergibt sich daraus auch die Transmissionsfunktion:

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.}$

Für einen asymmetrischen Hohlraum, also einen mit zwei verschiedenen Spiegeln, lautet die allgemeine Form der Transmissionsfunktion:

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

Ein Fabry-Pérot-Interferometer unterscheidet sich von einem Fabry-Pérot-Etalon dadurch, dass der Abstand ℓ zwischen den Platten variiert werden kann, um die Wellenlängen der Transmissionsmaxima im Interferometer zu verändern. Aufgrund der Winkelabhängigkeit der Transmission lassen sich die Maxima auch durch Drehen des Etalons relativ zum Strahl verschieben.

Ein weiterer Ausdruck für die Übertragungsfunktion wurde bereits in der Beschreibung im Frequenzraum als unendliche Summe aller longitudinalen Modenprofile hergeleitet. Der obige Ausdruck lässt sich wie folgt definieren:${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)}$

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).}$

Der zweite Term ist proportional zu einer gewickelten Lorentz-Verteilung , sodass die Transmissionsfunktion als eine Reihe von Lorentz-Funktionen geschrieben werden kann :

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),}$

Wo

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.}$

• Lummer-Gehrcke-Interferometer
• Gires–Tournois-Etalon
• Atomarer Leitungsfilter
• ARROW-Wellenleiter
• Verteilter Bragg-Reflektor
• Faser-Bragg-Gitter
• Optischer Mikroresonator
• Dünnschichtinterferenz
• Laserlinienbreite

• Hernandez, G. (1986). Fabry-Perot-Interferometer . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-32238-3Die

• Fortschrittliches Design von Etalons – von Precision Photonics Corporation