Hexagonale Zahl

Eine hexagonale Zahl ist eine figurate Zahl . Die n -te hexagonale Zahl h _n ist die Anzahl der verschiedenen Punkte in einem Punktmuster, das aus den Umrissen regelmäßiger Sechsecke mit Seiten bis zu n Punkten besteht, wenn die Sechsecke so übereinandergelegt werden, dass sie einen gemeinsamen Eckpunkt haben .

Die Formel für die n -te Sechseckzahl

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.}$

Die ersten paar hexagonalen Zahlen (Folge A000384 in der OEIS ) lauten:

1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231 , 276 , 325 , 378, 435 , 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Jede Sechseckszahl ist eine Dreieckszahl , aber nur jede zweite Dreieckszahl (die erste, dritte, fünfte, siebte usw.) ist eine Sechseckszahl. Wie bei Dreieckszahlen kann die Quersumme einer Sechseckszahl zur Basis 10 nur 1, 3, 6 oder 9 sein. Das Quersummenmuster, das sich alle neun Glieder wiederholt, lautet „1 6 6 1 9 3 1 3 9“.

Jede gerade vollkommene Zahl ist hexagonal und wird durch die Formel gegeben

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

wobei M _p eine Mersenne-Primzahl ist . Es sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt, daher sind alle bekannten vollkommenen Zahlen hexagonal.

Zum Beispiel ist die 2. Sechseckszahl 2×3 = 6; die 4. ist 4×7 = 28; die 16. ist 16×31 = 496; und die 64. ist 64×127 = 8128.

Die größte Zahl, die nicht als Summe von höchstens vier Sechseckzahlen geschrieben werden kann, ist 130. Adrien -Marie Legendre bewies 1830, dass jede ganze Zahl größer als 1791 auf diese Weise ausgedrückt werden kann.

Darüber hinaus gibt es nur zwei ganze Zahlen, die sich nicht mit fünf Hexadezimalzahlen ausdrücken lassen (mit sechs aber schon), nämlich 11 und 26.

Hexagonale Zahlen sollten nicht mit zentrierten hexagonalen Zahlen verwechselt werden , die die Standardverpackung von Wiener Würstchen darstellen . Um Verwechslungen zu vermeiden, werden hexagonale Zahlen manchmal auch als „eckige hexagonale Zahlen“ bezeichnet.

Man kann effizient testen, ob eine positive ganze Zahl x eine Hexadezimalzahl ist, indem man berechnet

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

Ist n eine ganze Zahl, dann ist x die n -te Sechseckzahl. Ist n keine ganze Zahl, dann ist x keine Sechseckzahl.

• ${\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}}$
• ${\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}}$

Die n -te Zahl der hexagonalen Folge kann auch mithilfe der Sigma-Notation ausgedrückt werden als

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}$

wobei die leere Summe als 0 angenommen wird.

Die Summe der reziproken hexagonalen Zahlen ist 2ln(2) , wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}}$

Durch Umstellen erhält man die folgenden Formeln:

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

Unter Verwendung der vorherigen letzten Formel bezüglich m und dann n und anschließender Vereinfachung und Umformung erhält man die folgende Gleichung:

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}}$

${\displaystyle 12^{n-1}}$für n > 0 hat Teiler. ${\displaystyle h_{n}}$

Ebenso hat jede natürliche Zahl der Form , wobei p und q verschiedene Primzahlen sind, für n > 0 Teiler. ${\displaystyle r=p^{2}q}$${\displaystyle r^{n-1}}$${\displaystyle h_{n}}$

Beweis. hat Teiler der Form , für k = 0 ... 2( n − 1), l = 0 ... n − 1. Jede Kombination von k und l liefert einen verschiedenen Teiler, also hat Teiler, d.h. Teiler. ∎ ${\displaystyle r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}}$${\displaystyle p^{k}q^{l}}$${\displaystyle r^{n-1}}$${\displaystyle [2(n-1)+1][(n-1)+1]}$${\displaystyle (2n-1)n=h_{n}}$

Die Folge der Zahlen, die sowohl hexagonal als auch quadratisch sind, beginnt mit 1, 1225, 1413721,... OEIS :  A046177 .

• Zentrierte Sechseckzahl

• Weisstein, Eric W. „Sechseckzahl“ . MathWorld .