In der additiven Zahlentheorie besagt der Fermatsche Polygonalzahlensatz , dass jede positive ganze Zahl als Summe von höchstens n n -Eckzahlen dargestellt werden kann. Das heißt, jede positive ganze Zahl lässt sich als Summe von maximal drei Dreieckszahlen , als Summe von maximal vier Quadratzahlen , als Summe von maximal fünf Fünfeckszahlen usw. schreiben. Die n -Eckzahlen bilden somit eine additive Basis der Ordnung n .
Beispiele
Drei solcher Darstellungen der Zahl 17 sind beispielsweise unten abgebildet:
- 17 = 10 + 6 + 1 ( Dreieckszahlen )
- 17 = 16 + 1 ( Quadratzahlen )
- 17 = 12 + 5 ( Pentagonale Zahlen ).
Geschichte
Der Satz ist nach Pierre de Fermat benannt , der ihn 1638 ohne Beweis formulierte und versprach, ihn in einem separaten Werk zu verfassen, das jedoch nie erschien. [ 1 ] Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Fall der Quadrate , der besagt, dass jede positive Zahl als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann, zum Beispiel 7 = 4 + 1 + 1 + 1. [ 1 ] Gauß bewies 1796 den Fall der Dreiecke und verewigte diesen Moment mit dem Eintrag „ Eyphaka! Zahl = Δ + Δ + Δ “ in sein Tagebuch. [ 2 ] Den Beweis veröffentlichte er in seinem Buch „Disquisitiones Arithmeticae“ . Daher ist Gauß’ Ergebnis auch als Heureka-Satz bekannt . [ 3 ] Der vollständige Satz über die Polygonzahlen blieb bis zu seinem endgültigen Beweis durch Cauchy im Jahr 1813 ungelöst . [ 1 ] Der Beweis von Nathanson (1987) basiert auf dem folgenden Lemma von Cauchy:
Für ungerade positive ganze Zahlen a und b, sodass b² < 4a und 3a < b² + 2b + 4, können wir nichtnegative ganze Zahlen s , t , u und v finden , sodass a = s² + t² + u² + v² und b = s + t + u + v .
Siehe auch
Anmerkungen
- ^ a b c Heath (1910) .
- ^ Bell, Eric Temple ( 1956), „Gauss, der Fürst der Mathematiker“, in Newman, James R. (Hrsg.), Die Welt der Mathematik , Bd. I, Simon & Schuster , S. 295–339Dover-Nachdruck, 2000, ISBN 0-486-41150-8Die
- ^ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), „Über die Darstellung von ganzen Zahlen als Summen von Dreieckszahlen“, Aequationes Mathematicae , 50 ( 1–2 ): 73–94 , doi : 10.1007/BF01831114 , MR 1336863 , S2CID 122203472 Die
Referenzen
- Weisstein, Eric W. „Fermats Satz über Polygone“ . MathWorld .
- Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus von Alexandria; eine Studie zur Geschichte der griechischen Algebra , Cambridge University Press, S. 188Die
- Nathanson, Melvyn B. (1987), „Ein kurzer Beweis des Satzes von Cauchy über Polygonalzahlen“, Proceedings of the American Mathematical Society , 99 (1): 22–24 , doi : 10.2307/2046263 , JSTOR 2046263 , MR 0866422Die
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Zahlentheorie: Die klassischen Basen , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6Enthält Beweise für den Satz von Lagrange und den Satz über die Polygonalzahlen.
