Gewicht (Repräsentationstheorie)

In der mathematischen Darstellungstheorie ist der Begriff der Gewichte einer Algebra A über einem Körper F eine Verallgemeinerung des Eigenwertbegriffs . Es handelt sich um Algebrahomomorphismen von A nach F oder, äquivalent dazu, um eindimensionale Darstellungen von A über F. Sie sind das algebraische Analogon zum multiplikativen Charakter einer Gruppe . Die Bedeutung des Begriffs liegt jedoch in seiner Anwendung auf Darstellungen von Lie-Algebren und somit auch auf Darstellungen von algebraischen und Lie-Gruppen . In diesem Kontext ist ein Gewicht einer Darstellung eine Verallgemeinerung des Eigenwertbegriffs , und der zugehörige Eigenraum wird als Gewichtsraum bezeichnet .

Gegeben sei eine Menge S von Matrizen über demselben Körper, die alle diagonalisierbar sind und je zwei dieser Matrizen kommutieren . Dann ist es stets möglich, alle Elemente von S gleichzeitig zu diagonalisieren . ^{[ Anmerkung 1 ]} Äquivalent dazu existiert für jede Menge S von zueinander kommutierenden halbeinfachen linearen Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums V eine Basis von V , bestehend aus${\displaystyle n\times n}$Gleichzeitige Eigenvektoren aller Elemente von S. Jeder dieser gemeinsamen Eigenvektoren v ∈ V definiert ein lineares Funktional auf der Unteralgebra U von End( V ), die von der Menge der Endomorphismen S erzeugt wird ; dieses Funktional ist definiert als die Abbildung, die jedem Element von U seinen Eigenwert bezüglich des Eigenvektors v zuordnet . Diese Abbildung ist außerdem multiplikativ und bildet das neutrale Element auf 1 ab; somit ist sie ein Algebrahomomorphismus von U in den Grundkörper. Dieser „verallgemeinerte Eigenwert“ ist ein Prototyp für den Begriff des Gewichts.

Der Begriff ist eng verwandt mit der Idee eines multiplikativen Charakters in der Gruppentheorie , der ein Homomorphismus χ von einer Gruppe G in die multiplikative Gruppe eines Körpers F ist . Somit erfüllt χ : G → F ^× die Bedingung χ ( e ) = 1 (wobei e das neutrale Element von G ist ) und

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$für alle g , h in G .

Wenn G auf einem Vektorraum V über F operiert , bestimmt jeder gemeinsame Eigenraum für jedes Element von G , falls ein solcher existiert, einen multiplikativen Charakter auf G : den Eigenwert auf diesem gemeinsamen Eigenraum jedes Elements der Gruppe.

Der Begriff des multiplikativen Charakters kann auf jede Algebra A über F erweitert werden , indem χ : G → F ^× durch eine lineare Abbildung χ : A → F ersetzt wird mit:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

Für alle a , b ∈ A. Wenn eine Algebra A auf einem Vektorraum V über F auf einen beliebigen simultanen Eigenraum operiert , so entspricht dies einem Algebrahomomorphismus von A nach F , der jedem Element von A seinen Eigenwert zuordnet.

If A is a Lie algebra (a non‑associative algebra with a bilinear, antisymmetric bracket satisfying the Jacobi identity), then instead of requiring multiplicativity of a character, one requires that it maps any Lie bracket to the corresponding commutator; but since F is commutative this simply means that this map must vanish on Lie brackets: χ([a,b]) = 0. A weight on a Lie algebra g over a field F is a linear map λ: g → F with λ([x, y]) = 0 for all x, y in g. Any weight on a Lie algebra g vanishes on the derived algebra [g,g] and hence descends to a weight on the abelian Lie algebrag/[g,g]. Thus weights are primarily of interest for abelian Lie algebras, where they reduce to the simple notion of a generalized eigenvalue for space of commuting linear transformations.

If G is a Lie group or an algebraic group, then a multiplicative character θ: G → F^× induces a weight χ = dθ: g → F on its Lie algebra by differentiation. (For Lie groups, this is differentiation at the identity element of G, and the algebraic group case is an abstraction using the notion of a derivation.)

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be a complex semisimple Lie algebra and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ a Cartan subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. In this section, we describe the concepts needed to formulate the "theorem of the highest weight" classifying the finite-dimensional representations of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Notably, we will explain the notion of a "dominant integral element." The representations themselves are described in the article linked to above.

Let ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ be a representation of a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on a vector space V over a field of characteristic 0, say ${\displaystyle \mathbb {C} }$, and let ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ be a linear functional on ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is a Cartan subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Then the weight space of V with weight λ is the subspace ${\displaystyle V_{\lambda }}$ given by

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

A weight of the representation V (the representation is often referred to in short by the vector space V over which elements of the Lie algebra act rather than the map ${\displaystyle \sigma }$) is a linear functional λ such that the corresponding weight space is nonzero. Nonzero elements of the weight space are called weight vectors. That is to say, a weight vector is a simultaneous eigenvector for the action of the elements of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, with the corresponding eigenvalues given by λ.

If V is the direct sum of its weight spaces

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

then V is called a weight module; this corresponds to there being a common eigenbasis (a basis of simultaneous eigenvectors) for all the represented elements of the algebra, i.e., to there being simultaneously diagonalizable matrices (see diagonalizable matrix).

If G is a Lie group with Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, every finite-dimensional representation of G induces a representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. A weight of the representation of G is then simply a weight of the associated representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. There is a subtle distinction between weights of group representations and Lie algebra representations, which is that there is a different notion of integrality condition in the two cases; see below. (The integrality condition is more restrictive in the group case, reflecting that not every representation of the Lie algebra comes from a representation of the group.)

For the adjoint representation${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, the space over which the representation acts is the Lie algebra itself. Then the nonzero weights are called roots, the weight spaces are called root spaces, and the weight vectors, which are thus elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, are called root vectors. Explicitly, a linear functional ${\displaystyle \alpha }$ on the Cartan subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is called a root if ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ and there exists a nonzero ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ such that

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

for all ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. The collection of roots forms a root system.

From the perspective of representation theory, the significance of the roots and root vectors is the following elementary but important result: If ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ is a representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, v is a weight vector with weight ${\displaystyle \lambda }$ and X is a root vector with root ${\displaystyle \alpha }$, then

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

Für alle H in . Das heißt, ist entweder der Nullvektor oder ein Gewichtsvektor mit Gewicht . Somit bildet die Wirkung von den Gewichtsraum mit Gewicht auf den Gewichtsraum mit Gewicht ab . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \sigma (X)(v)}$${\displaystyle \lambda +\alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda +\alpha }$

Wenn beispielsweise oder komplexifiziert ist, spannen die Wurzelvektoren die Algebra auf und haben die Gewichte , , und . Die Cartan-Unteralgebra wird von aufgespannt , und die Wirkung von klassifiziert die Gewichtsräume. Die Wirkung von bildet einen Gewichtsraum vom Gewicht auf den Gewichtsraum vom Gewicht ab , die Wirkung von bildet einen Gewichtsraum vom Gewicht auf den Gewichtsraum vom Gewicht ab , und die Wirkung von bildet die Gewichtsräume auf sich selbst ab. In der fundamentalen Darstellung , mit Gewichten und Gewichtsräumen , bildet auf Null und auf ab , während auf Null und auf abbildet , und bildet jeden Gewichtsraum auf sich selbst ab. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {H,X,Y}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda +1}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle H}$

Sei der reelle Unterraum von , der von den Wurzeln von erzeugt wird , wobei der Raum der linearen Funktionale und der Dualraum zu ist . Für Berechnungen ist es zweckmäßig, ein Skalarprodukt zu wählen, das invariant unter der Weyl-Gruppe ist, d. h. unter Spiegelungen an den zu den Wurzeln orthogonalen Hyperebenen. Wir können dieses Skalarprodukt dann verwenden, um mit einem Unterraum von zu identifizieren . Mit dieser Identifizierung ist die zu einer Wurzel gehörige Kowurzel gegeben durch ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

Hierbei bezeichnet das Skalarprodukt von Vektoren. Zusätzlich zu diesem Skalarprodukt wird in Diskussionen über Wurzelsysteme häufig die Winkelklammernotation verwendet , wobei die Winkelklammer wie folgt definiert ist: Die Winkelklammer ist hier kein Skalarprodukt, da sie nicht symmetrisch ist und nur im ersten Argument linear ist. Die Winkelklammernotation sollte nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden.${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha ,\beta .}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Wir definieren nun zwei verschiedene Ganzzahligkeitsbegriffe für Elemente von . Die Motivation für diese Definitionen ist einfach: Die Gewichte endlichdimensionaler Darstellungen von erfüllen die erste Ganzzahligkeitsbedingung, während, falls G eine Gruppe mit Lie-Algebra ist , die Gewichte endlichdimensionaler Darstellungen von G die zweite Ganzzahligkeitsbedingung erfüllen. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ein Element heißt algebraisch ganzzahlig, wenn ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

für alle Wurzeln . Die Motivation für diese Bedingung liegt darin, dass die Kowurzel mit dem H- Element in einer Standardbasis einer -Unteralgebra von identifiziert werden kann . ^{[ 1 ]} Nach elementaren Ergebnissen für müssen die Eigenwerte von in jeder endlichdimensionalen Darstellung ganzzahlig sein. Wir schließen daraus, dass, wie oben erwähnt, das Gewicht jeder endlichdimensionalen Darstellung von algebraisch ganzzahlig ist. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {X,Y,H}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Die fundamentalen Gewichte sind dadurch definiert, dass sie eine Basis bilden, die dual zur Menge der zu den einfachen Wurzeln assoziierten Koroots ist . Das heißt, die fundamentalen Gewichte sind durch die Bedingung definiert ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

Dabei handelt es sich um die einfachen Wurzeln. Ein Element heißt algebraisch ganzzahlig genau dann, wenn es eine ganzzahlige Kombination der fundamentalen Gewichte ist. ^{[ 3 ]} Die Menge aller -ganzzahligen Gewichte ist ein Verband in , der als Gewichtsverband für bezeichnet und mit notiert wird . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

Die Abbildung zeigt das Beispiel der Lie-Algebra , deren Wurzelsystem das Wurzelsystem von ist. Es gibt zwei einfache Wurzeln, und . Das erste fundamentale Gewicht, , sollte orthogonal zu sein und orthogonal auf die Hälfte von projizieren , und analog für . Der Gewichtsverband ist dann der Dreiecksverband. ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Angenommen, die Lie-Algebra sei die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G. Dann nennen wir sie analytisch ganzzahlig ( G-ganzzahlig ), wenn für jedes t ∈ G gilt : . Der Grund für diese Definition ist, dass die Gewichte einer Darstellung von G, die aus einer Darstellung von G entsteht , G -ganzzahlig sind. ^{[ 4 ]} Ist G halbeinfach, so ist die Menge aller G -ganzzahligen Gewichte ein Unterverband P ( G ) ⊂ P ( ). Ist G einfach zusammenhängend , so gilt ^P ( G ) = P ( ). Ist G nicht einfach zusammenhängend, so ist der Verband P ( G ) kleiner als P ( ) und ihr Quotient ist isomorph zur Fundamentalgruppe von G. [ ^{5 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Wir führen nun eine partielle Ordnung auf der Menge der Gewichte ein, die zur Formulierung des Satzes über das höchste Gewicht verwendet wird, das die Darstellungen von beschreibt . Zur Erinnerung: R ist die Menge der Wurzeln; wir fixieren nun eine Menge positiver Wurzeln . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R^{+}}$

Betrachten wir zwei Elemente a und b aus ℝ . Wir interessieren uns hauptsächlich für den Fall, dass a und b ganzzahlig sind, aber diese Annahme ist für die folgende Definition nicht notwendig. Wir sagen dann, dass a größer als b ist , was wir als a ≤ b schreiben , wenn a als Linearkombination positiver Wurzeln mit nichtnegativen reellen Koeffizienten darstellbar ist . ^{[ 6 ]} Dies bedeutet grob gesagt, dass „größer“ in Richtung der positiven Wurzeln gilt. Äquivalent dazu sagen wir, dass a „kleiner“ als b ist , was wir als a ≤ b schreiben . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$${\displaystyle \mu -\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

Dies ist nur eine Teilordnung ; es kann leicht vorkommen, dass weder höher noch niedriger als ist . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

Ein ganzzahliges Element ist dominant , wenn für jede positive Wurzel gilt : . Äquivalent dazu ist dominant, wenn es eine nichtnegative ganzzahlige Kombination der fundamentalen Gewichte ist. In diesem Fall liegen die dominanten ganzzahligen Elemente in einem 60°-Sektor. Dominanz bedeutet nicht, dass ein Element größer als null ist. Der graue Bereich in der Abbildung rechts ist ein 120°-Sektor, der den 60°-Sektor der dominanten ganzzahligen Elemente vollständig umschließt. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A_{2}}$

Die Menge aller λ (nicht notwendigerweise ganzzahlig), für die für alle positiven Wurzeln gilt, wird als die fundamentale Weyl-Kammer bezeichnet, die zu der gegebenen Menge positiver Wurzeln gehört. ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$${\displaystyle \gamma }$

Ein Gewicht einer Repräsentation von heißt höchstes Gewicht, wenn jedes andere Gewicht von kleiner als ist . ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$

Die Theorie zur Klassifizierung der endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen von erfolgt mittels eines „Satzes höchsten Gewichts“. Der Satz besagt, dass ^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(1) Jede irreduzible (endlichdimensionale) Darstellung hat ein höchstes Gewicht,

(2) Das höchste Gewicht ist stets ein dominantes, algebraisch ganzzahliges Element.

(3) Zwei irreduzible Darstellungen mit gleichem höchsten Gewicht sind isomorph, und

(4) Jedes dominante, algebraisch ganzzahlige Element ist das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung.

Der letzte Punkt ist der schwierigste; die Repräsentationen können mithilfe von Verma-Modulen konstruiert werden .

Eine Darstellung V von ℝ (nicht notwendigerweise endlichdimensional) heißt Höchstgewichtsmodul, wenn sie von einem Gewichtsvektor v ∈ V erzeugt wird , der durch die Wirkung aller positiven Wurzelräume in ℝ annulliert wird . Jeder irreduzible -Modul mit Höchstgewicht ist notwendigerweise ein Höchstgewichtsmodul, im unendlichdimensionalen Fall muss ein Höchstgewichtsmodul jedoch nicht irreduzibel sein. Für jedes λ ∈ ℝ (nicht notwendigerweise dominant oder ganzzahlig) existiert ein eindeutiger (bis auf Isomorphie) einfacher Höchstgewichtsmodul mit Höchstgewicht λ, der mit L (λ) bezeichnet wird. Dieser Modul ist unendlichdimensional, es sei denn, λ ist dominant ganzzahlig. Man kann zeigen, dass jeder Höchstgewichtsmodul mit Höchstgewicht λ ein Quotient des Verma-Moduls M (λ) ist. Dies ist lediglich eine Umformulierung der Universalitätseigenschaft in der Definition eines Verma-Moduls. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Jeder endlichdimensionale Modul mit dem höchsten Gewicht ist irreduzibel. ^{[ 8 ]}

• Klassifizierung endlichdimensionaler Darstellungen von Lie-Algebren
• Darstellungstheorie einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe
• Höchste Gewichtskategorie
• Wurzelsystem