Lineare Karte

In der Mathematik , insbesondere in der linearen Algebra , ist eine lineare Abbildung eine spezielle Funktion zwischen Vektorräumen , die die grundlegenden Operationen der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation berücksichtigt . Ein typisches Beispiel für eine lineare Abbildung ist eine Matrix, die Vektoren in n Dimensionen auf Vektoren in n Dimensionen abbildet, und zwar so, dass die Vektoraddition und die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren möglich sind . ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von Vektorräumen. ^{[ 1 ]} Somit erfüllt eine lineare Abbildung die Gleichung ⁠ ⁠ , wobei und Skalare und und Vektoren (Elemente des Vektorraums ⁠ ⁠ sind ). Eine lineare Abbildung bildet stets den Ursprung von auf den Ursprung von ab und lineare Unterräume von auf lineare Unterräume in (möglicherweise niedrigerer Dimension ); ^{[ 2 ]} beispielsweise bildet sie eine Ebene durch den Ursprung in entweder auf eine Ebene durch den Ursprung in ⁠ ⁠ , eine Gerade durch den Ursprung in ⁠ ⁠ oder einfach auf den Ursprung in ⁠ ⁠ ab. Lineare Abbildungen lassen sich oft als Matrizen darstellen ; einfache Beispiele hierfür sind Rotation und Spiegelung . ${\displaystyle T:V\to W}$${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

Seien und Vektorräume über demselben Körper , etwa den reellen oder komplexen Zahlen . Eine Funktion heißt lineare Abbildung, wenn für je zwei Vektoren und jeden Skalar die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c\in K}$

• Additivität / Operation der Addition$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Homogenität 1. Grades / Operation der Skalarmultiplikation$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Eine lineare Abbildung wird daher als operationserhaltend bezeichnet . Anders ausgedrückt: Es spielt keine Rolle, ob die lineare Abbildung vor (rechte Seite der obigen Beispiele) oder nach (linke Seite der Beispiele) den Operationen Addition und Skalarmultiplikation angewendet wird.

Aufgrund der Assoziativität der Additionsoperation, die mit + bezeichnet wird, gilt für beliebige Vektoren und Skalare ⁠ ⁠ die folgende Gleichung: ^{[ 3 ] [ 4 ]} Eine lineare Abbildung ist also eine solche, die Linearkombinationen erhält . ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K}$$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

Bezeichnet man die Nullelemente der Vektorräume und mit bzw. , so folgt daraus . Setzen wir und in die Gleichung für die Homogenität vom Grad 1 ein: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Eine lineare Abbildung , die als eindimensionaler Vektorraum über sich selbst betrachtet wird, heißt lineares Funktional . ^{[ 5 ]}${\displaystyle V\to K}$${\displaystyle K}$

Diese Aussagen lassen sich ohne Modifikation auf jeden Linksmodul über einem Ring und nach Umkehrung der Skalarmultiplikation auf jeden Rechtsmodul verallgemeinern. ${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

• Die eindeutige Abbildung dieser Form ist linear.${\displaystyle T:\{{\vec {0}}\}\to \{{\vec {0}}\}}$
• Ein typisches Beispiel, das linearen Abbildungen ihren Namen gibt, ist eine Funktion ⁠ ⁠${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$ , deren Graph eine Gerade durch den Ursprung ist. ^{[ 6 ]}

  

• Allgemeiner ist jede Homothetie mit Zentrum im Ursprung eines Vektorraums eine lineare Abbildung (hier ist c ein Skalar).${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• Die Nullabbildung zwischen zwei Vektorräumen (über demselben Körper ) ist linear.${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• Die Identitätsabbildung auf jedem Modul ist ein linearer Operator.
• Für reelle Zahlen ist die Abbildung nicht linear.${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Für reelle Zahlen ist die Abbildung nicht linear (sondern eine affine Transformation ).${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Ist eine reelle Matrix , so definiert eine lineare Abbildung von nach , indem sie einen Spaltenvektor auf den Spaltenvektor ⁠ ⁠ abbildet . Umgekehrt lässt sich jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen auf diese Weise darstellen; siehe dazu den Abschnitt „Matrizen“ weiter unten.${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• Wenn es sich um eine Isometrie zwischen reellen normierten Räumen handelt, sodass , dann ist eine lineare Abbildung. Dieses Ergebnis gilt nicht notwendigerweise für komplexe normierte Räume. ^{[ 7 ]}${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• Die Differentiation definiert eine lineare Abbildung vom Raum aller differenzierbaren Funktionen in den Raum aller Funktionen. Sie definiert auch einen linearen Operator auf dem Raum aller glatten Funktionen (ein linearer Operator ist ein linearer Endomorphismus , d. h. eine lineare Abbildung mit demselben Definitions- und Zielbereich ).$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Ein bestimmtes Integral über ein Intervall I ist eine lineare Abbildung vom Raum aller reellwertigen integrierbaren Funktionen auf I nach ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ . In der Tat,$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Ein unbestimmtes Integral (oder eine Stammfunktion ) mit festem Integrationsbeginn definiert eine lineare Abbildung vom Raum aller reellwertigen integrierbaren Funktionen auf den Raum aller reellwertigen differenzierbaren Funktionen auf . Ohne festen Startpunkt bildet die Stammfunktion auf den Quotientenraum der differenzierbaren Funktionen nach dem linearen Raum der konstanten Funktionen ab .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Sind und endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper F der Dimensionen m bzw. n , so ist die Funktion, die lineare Abbildungen auf n × m Matrizen in der im Abschnitt Matrizen (unten) beschriebenen Weise abbildet, eine lineare Abbildung und sogar ein linearer Isomorphismus .${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\to W}$
• Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist eine lineare Funktion der Zufallsvariablen: Für die Zufallsvariablen und gilt und . Der bedingte Erwartungswert ist ebenfalls . Die Varianz einer Zufallsvariablen ist jedoch nicht linear, da beispielsweise .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$

• 
  Die Funktion ist eine lineare Abbildung. Diese Funktion skaliert die Komponente eines Vektors mit dem Faktor ⁠ ⁠ .${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\displaystyle 2}$
• 
  Die Funktion ist additiv: Es spielt keine Rolle, ob die Vektoren zuerst addiert und dann abgebildet werden oder ob sie abgebildet und schließlich addiert werden:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  Die Funktion ist homogen: Es spielt keine Rolle, ob ein Vektor zuerst skaliert und dann abgebildet wird oder zuerst abgebildet und dann skaliert wird:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Wenn eine lineare Abbildung eine Bijektion ist , dann wird sie als Bijektion bezeichnet.Linearer Isomorphismus . Im Fall, dass⁠⁠${\displaystyle V=W}$, wird eine lineare Abbildung alslinearer Endomorphismus. Manchmal wird der BegriffDer Begriff „linearer Operator“ bezieht sich auf diesen Fall ^{[ 8 ]} , aber der Begriff „linearer Operator“ kann je nach Konvention unterschiedliche Bedeutungen haben.

Oft wird eine lineare Abbildung konstruiert, indem man sie auf einer Teilmenge eines Vektorraums definiert und dannFortsetzung durch Linearität auf dielineare Hülledes Definitionsbereichs. SeienundVektorräume undeineFunktion,die auf einer Teilmenge definiert ist.Dann${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S\subseteq X}$Eine lineare Fortsetzung vonauf${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$, falls sie existiert, ist eine lineare Abbildung,auf definiert istunderweitert ^{[ Anmerkung 1 ]} (d. h.füralle)undihre Werte aus dem Zielbereich von annimmt.[9 ^{] Wenn die} Teilmengeein Vektorunterraum von ist,existierteine ()wertige lineare Fortsetzung vonauf ganzeine lineare Abbildung ist. ^{[ 9 ]} Insbesondere: Wenneine lineare Fortsetzung auf besitzt,dann besitzt eine lineare Fortsetzung aufganz.${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle X}$

Die Abbildung kann genau dann zu einer linearen Abbildung erweitert werden, wenn für jede ganze Zahl, Skalare und Vektoren mit notwendigerweise gilt . [ ^{10 ] Existiert} eine lineare Erweiterung von , so ist diese eindeutig und gilt für alle , und wie oben. [ ^{10 ] Sind} die Funktionen linear unabhängig , so besitzt jede Funktion in einen beliebigen Vektorraum eine lineare Erweiterung zu einer (linearen) Abbildung (die Umkehrung gilt ebenfalls). ${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n}}$${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle \operatorname {span} S\to Y}$

Wenn beispielsweise und , dann lässt sich die Zuordnung und linear von der Menge der linear unabhängigen Vektoren auf eine lineare Abbildung auf fortsetzen . Die eindeutige lineare Fortsetzung ist die Abbildung, die auf abbildet .${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle (1,0)\to -1}$${\displaystyle (0,1)\to 2}$${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

Jedes (skalarwertige) lineare Funktional, das auf einem Vektorunterraum eines reellen oder komplexen Vektorraums definiert ist , besitzt eine lineare Fortsetzung auf ganz ⁠ ⁠ . Der Satz von Hahn-Banach über dominierte Fortsetzungen garantiert sogar, dass, wenn dieses lineare Funktional von einer gegebenen Halbnorm dominiert wird (d. h., dass für alle im Definitionsbereich von ⁠ ⁠ gilt ), dann eine lineare Fortsetzung auf existiert, die ebenfalls von ⁠ ⁠ dominiert wird . ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$

Sind und endlichdimensionale Vektorräume und ist für jeden Vektorraum eine Basis definiert, so lässt sich jede lineare Abbildung von nach durch eine Matrix darstellen . [ 11 ^{] Dies ist} nützlich, da es konkrete Berechnungen ermöglicht. Matrizen liefern Beispiele für lineare Abbildungen: Ist eine reelle Matrix, so beschreibt eine Matrix eine lineare Abbildung (siehe euklidischer Raum ). ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Sei eine Basis für . Dann ist jeder Vektor eindeutig durch die Koeffizienten im Körper bestimmt :${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Wenn es sich um eine lineare Abbildung handelt, ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

Dies impliziert, dass die Funktion f vollständig durch die Vektoren ⁠ ⁠${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ bestimmt wird . Sei nun eine Basis für ⁠ ⁠ . Dann können wir jeden Vektor darstellen als ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Die Funktion wird also vollständig durch die Werte von ⁠ ⁠ bestimmt . Wenn wir diese Werte in einer Matrix ⁠ ⁠ zusammenfassen, können wir damit bequem den Ausgabevektor von für jeden Vektor in ⁠ ⁠ berechnen . Um ⁠ ⁠ zu erhalten , ist jede Spalte von ein Vektor, der wie oben definiert entspricht . Genauer gesagt: Für eine Spalte , die der Abbildung ⁠ ⁠ entspricht , ist die Matrix von . Anders ausgedrückt: Jeder Spalte ist ein Vektor zugeordnet , dessen Koordinaten die Elemente der Spalte sind . Eine lineare Abbildung kann durch mehrere Matrizen dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Werte der Matrixelemente von der gewählten Basis abhängen. ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$${\displaystyle j}$

Die Matrizen einer linearen Transformation können visuell dargestellt werden:

1. Matrix für relativ zu ⁠ ⁠ :${\textstyle T}$${\displaystyle B}$${\textstyle A}$
2. Matrix für relativ zu ⁠ ⁠ :${\textstyle T}$${\displaystyle B'}$${\textstyle A'}$
3. Übergangsmatrix von nach ⁠ ⁠ :${\textstyle B'}$${\displaystyle B}$${\textstyle P}$
4. Übergangsmatrix von nach ⁠ ⁠ :${\textstyle B}$${\displaystyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

Wenn man also in der unteren linken Ecke beginnt und die untere rechte Ecke sucht , multipliziert man von links – also . Die äquivalente Methode wäre die „längere“ Methode, bei der man im Uhrzeigersinn vom selben Punkt ausgeht, sodass von links mit multipliziert wird , oder .${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\displaystyle \textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\displaystyle \textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle \textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

Im zweidimensionalen Raum R² werden lineare Abbildungen durch 2 × 2 ^- Matrizen beschrieben . Hier einige Beispiele:

• Drehung
  • um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • um einen Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• Spiegelung
  • durch die x- Achse:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • durch die y- Achse:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • durch eine Gerade, die mit dem Ursprung einen Winkel θ bildet:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• Skalierung um den Faktor 2 in alle Richtungen:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• Kartierung horizontaler Scherkräfte :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• Verzerrung der y- Achse um einen Winkel θ :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• Squeeze-Mapping :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• Projektion auf die y- Achse:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Wenn eine lineare Abbildung nur aus Drehung, Spiegelung und/oder gleichmäßiger Skalierung besteht, dann ist die lineare Abbildung eine konforme lineare Transformation .

Die Komposition linearer Abbildungen ist linear: Sind und linear, so ist auch ihre Komposition linear . Daraus folgt, dass die Klasse aller Vektorräume über einem gegebenen Körper K zusammen mit linearen Abbildungen als Morphismen eine Kategorie bildet . ${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle g:W\to Z}$${\displaystyle g\circ f:V\to Z}$

Die Umkehrung einer linearen Abbildung ist, sofern sie definiert ist, wieder eine lineare Abbildung.

Wenn und linear sind, dann ist auch ihre punktweise Summe linear , die wie folgt definiert ist :${\textstyle f_{1}:V\to W}$${\textstyle f_{2}:V\to W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

Wenn linear ist und ein Element des Grundkörpers ist , dann ist auch die durch definierte Abbildung linear .${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle \alpha }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha f}$${\displaystyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

Die Menge der linearen Abbildungen von nach bildet somit einen Vektorraum über , ^{[ 12 ],} der manchmal mit bezeichnet wird . [ ^{13 ] Ist} , so ist dieser Vektorraum, bezeichnet mit , eine assoziative Algebra bezüglich der Komposition von Abbildungen , da die Komposition zweier linearer Abbildungen wieder eine lineare Abbildung ist und die Komposition von Abbildungen stets assoziativ ist. Dieser Fall wird weiter unten genauer erläutert. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$

Betrachten wir erneut den endlichdimensionalen Fall, so entspricht, wenn Basen gewählt wurden, die Komposition linearer Abbildungen der Matrixmultiplikation , die Addition linearer Abbildungen der Matrixaddition und die Multiplikation linearer Abbildungen mit Skalaren der Multiplikation von Matrizen mit Skalaren.

Eine lineare Transformation ist ein Endomorphismus von ; die Menge aller solcher Endomorphismen bildet zusammen mit Addition, Komposition und Skalarmultiplikation, wie oben definiert, eine assoziative Algebra mit neutralem Element über dem Körper (und insbesondere einem Ring ). Das multiplikative neutrale Element dieser Algebra ist die Identitätsabbildung ⁠ ⁠ . ${\textstyle f:V\to V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$${\displaystyle \operatorname {id} :V\to V}$

Ein Endomorphismus von , der zugleich ein Isomorphismus ist , heißt Automorphismus von . Die Komposition zweier Automorphismen ist wiederum ein Automorphismus, und die Menge aller Automorphismen von bildet eine Gruppe , deren Automorphismengruppe mit oder bezeichnet wird . Da die Automorphismen genau diejenigen Endomorphismen sind , die unter Komposition Inverse besitzen, ist die Einheitsgruppe im Ring .${\textstyle V}$${\displaystyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$

Ist endliche Dimension , so ist isomorph zur assoziativen Algebra aller Matrizen mit Einträgen in . Die Automorphismengruppe von ist isomorph zur allgemeinen linearen Gruppe aller invertierbaren Matrizen mit Einträgen in .${\textstyle V}$${\displaystyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\displaystyle K}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\displaystyle K}$

Wenn linear ist, definieren wir den Kernel und das Bild oder den Wertebereich von durch ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$ist ein Unterraum von und ist ein Unterraum von ⁠ ⁠ . Die folgende Dimensionsformel ist als Rang-Nullitäts-Theorem bekannt : ^{[ 14 ]}${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

Die Zahl wird auch als Rang von bezeichnet und als ⁠ ⁠ , oder manchmal als ⁠ ⁠ , geschrieben . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Die Zahl wird als Nullität von bezeichnet und als oder ⁠ ⁠ . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Wenn und endlichdimensional sind, Basen gewählt wurden und durch die Matrix ⁠ ⁠ dargestellt wird , dann sind Rang und Nullität von gleich Rang und Nullität der Matrix ⁠ ⁠ . ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\displaystyle \operatorname {rank} (f)}$${\displaystyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\displaystyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\displaystyle A}$${\textstyle f}$${\displaystyle A}$

Eine subtilere Invariante einer linearen Transformation ist der Kokern , der wie folgt definiert ist :${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Dies ist der duale Begriff zum Kern: So wie der Kern ein Unterraum des Definitionsbereichs ist, ist der Kokern ein Quotientenraum des Zielraums . Formal erhält man die exakte Sequenz$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Diese können folgendermaßen interpretiert werden: Gegeben sei eine lineare Gleichung f ( v ) = w, die es zu lösen gilt.

• Der Kern ist der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung f ( v ) = 0 , und seine Dimension ist die Anzahl der Freiheitsgrade im Lösungsraum, falls dieser nicht leer ist.
• Der Kokern ist der Raum der Nebenbedingungen , die die Lösungen erfüllen müssen, und seine Dimension ist die maximale Anzahl unabhängiger Nebenbedingungen.

Die Dimension des Kokernels und die Dimension des Bildes (der Rang) ergeben zusammen die Dimension des Zielraumes. Für endliche Dimensionen bedeutet dies, dass die Dimension des Quotientenraumes W / f ( V ) gleich der Dimension des Zielraumes minus der Dimension des Bildes ist.

Betrachten wir als einfaches Beispiel die Abbildung f : ℝ² → ℝ², gegeben durch f(x, y) = (0, y). Damit eine Gleichung f(x, y) = (a, b  ) eine Lösung ^besitzt , muss a = 0 gelten ( eine Bedingung ) . In diesem Fall ist der Lösungsraum ( x , ^b ) oder äquivalent dazu ( 0 , b ) + ( x , 0 ) (ein Freiheitsgrad). Der Kern kann als Unterraum ( x , 0) < V ausgedrückt werden : Der Wert von x ist der Freiheitsgrad einer Lösung. Der Kokern hingegen kann durch die Abbildung W → ℝ ausgedrückt werden : Gegeben ein Vektor ( a , b ) , ist der Wert von a die Bedingung , die die Existenz einer Lösung verhindert .${\displaystyle (a,b)\mapsto (a)}$

_Ein ^{Beispiel für} den unendlichdimensionalen Fall liefert die Abbildung f : ℝ∞ → ℝ∞ mit b₁ = 0 und bₙ  + 1 = aₙ für n _> 0. Ihr Bild _besteht ^aus allen Folgen mit dem ersten Element ₀ , und ihr Kokern besteht somit aus den Klassen von Folgen mit identischem ersten Element. Während ihr Kern also die Dimension 0 hat (er bildet nur die Nullfolge auf die Nullfolge ab), hat ihr Kokern die Dimension 1. Da Definitions- und Zielraum identisch sind, ist die Summe aus Rang und Dimension des Kerns und der Summe aus Rang und Dimension des Kokerns gleich ( ) . Im unendlichdimensionalen Fall kann jedoch nicht geschlossen werden, dass Kern und Kokern eines Endomorphismus die gleiche Dimension haben ( 0 ≠ 1 ). Die umgekehrte Situation ergibt sich für die Abbildung h  : R ^∞ → R ^∞ , mit c _n = a _{n + 1} . Ihr Bild ist der gesamte Zielraum, und daher hat ihr Kokern die Dimension 0, aber da sie alle Folgen, in denen nur das erste Element ungleich Null ist, auf die Nullfolge abbildet, hat ihr Kern die Dimension 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$${\displaystyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Bei einem linearen Operator mit endlichdimensionalem Kern und Kokern kann man den Index wie folgt definieren: nämlich die Freiheitsgrade abzüglich der Anzahl der Nebenbedingungen. $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

Bei einer Transformation zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen entspricht dies aufgrund des Rang-Nullheitsprinzips einfach der Differenz dim( V ) − dim( W ). Dies gibt einen Hinweis darauf, wie viele Lösungen oder wie viele Einschränkungen existieren: Bei einer Abbildung von einem größeren in einen kleineren Raum kann die Abbildung surjektiv sein und besitzt somit auch ohne Einschränkungen Freiheitsgrade. Umgekehrt kann eine Abbildung von einem kleineren in einen größeren Raum nicht surjektiv sein, und es existieren daher auch ohne Freiheitsgrade Einschränkungen.

Der Index eines Operators ist genau die Euler-Charakteristik des 2-Term-Komplexes 0 → V → W → 0. In der Operatortheorie ist der Index von Fredholm-Operatoren Gegenstand der Forschung; ein wichtiges Ergebnis ist der Satz von Atiyah-Singer über den Index . ^{[ 17 ]}

Keine Klassifizierung linearer Abbildungen kann vollständig sein. Die folgende unvollständige Liste führt einige wichtige Klassifizierungen auf, die keine zusätzliche Struktur im Vektorraum erfordern.

Seien V und W Vektorräume über einem Körper F und sei T  : V → W eine lineare Abbildung.

Man sagt, T sei injektiv oder ein Monomorphismus, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. T ist eineindeutig als Abbildung von Mengen .
2. ker T = {0 _V }
3. dim(ker T ) = 0
4. T ist monisch oder links-kürzbar, das heißt, für jeden Vektorraum U und jedes Paar linearer Abbildungen R : U → V und S  : U → V gilt aus der Gleichung TR = TS , dass R = S folgt .
5. T ist links-invertierbar , das heißt, es existiert eine lineare Abbildung S  : W → V , sodass ST die Identitätsabbildung auf V ist .

Man sagt, T sei surjektiv oder ein Epimorphismus, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. T ist eine Abbildung von Mengen .
2. Koker T = {0 _W }
3. T ist episch oder rechts-kürzbar, das heißt, für jeden Vektorraum U und jedes Paar linearer Abbildungen R  : W → U und S  : W → U impliziert die Gleichung RT = ST die Bedingung R = S.
4. T ist rechtsinvertierbar , das heißt, es existiert eine lineare Abbildung S  : W → V , sodass TS die Identitätsabbildung auf W ist .

T heißt Isomorphismus , wenn es sowohl links- als auch rechtsinvertierbar ist. Dies ist äquivalent dazu, dass T sowohl injektiv als auch surjektiv (eine Bijektion von Mengen) ist, oder auch dazu, dass T sowohl episch als auch monisch ist und somit ein Bimorphismus .

Wenn T  : V → V ein Endomorphismus ist, dann:

• Wenn für eine positive ganze Zahl n die n -te Iteration von T , T ⁿ , identisch null ist, dann nennt man T nilpotent .
• Wenn T₂ = T , dann nennt man T idempotent ^.
• Wenn T = kI , wobei k ein Skalar ist, dann wird T als Skalierungstransformation oder Skalarmultiplikationsabbildung bezeichnet; siehe Skalarmatrix .

Gegeben sei eine lineare Abbildung, die ein Endomorphismus mit der Matrix A ist. In der Basis B des Raumes transformiert sie Vektorkoordinaten [ u ] wie folgt: [ v ] = A [ u ] . Da Vektoren mit der Inversen von B invariant sind (Vektorkoordinaten sind kontravariant ), ist ihre inverse Transformation [ v ] = B [ v ′] .

Setzt man dies in den ersten Ausdruck ein, so ergibt sich Folgendes:$${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Daher ist die Matrix in der neuen Basis A ′ = B ⁻¹ AB , wobei B die Matrix der gegebenen Basis ist.

Daher werden lineare Abbildungen als 1-ko- 1-kontra- variante Objekte oder Typ (1, 1) -Tensoren bezeichnet .

Eine lineare Transformation zwischen topologischen Vektorräumen , beispielsweise normierten Räumen , kann stetig sein . Sind Definitions- und Zielbereich identisch, so ist sie ein stetiger linearer Operator . Ein linearer Operator auf einem normierten linearen Raum ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist , beispielsweise bei einem endlichdimensionalen Definitionsbereich. ^{[ 18 ]} Unendlichdimensionale Definitionsbereiche können unstetige lineare Operatoren aufweisen .

Ein Beispiel für eine unbeschränkte und daher unstetige lineare Abbildung ist die Differentiation im Raum der glatten Funktionen mit der Supremumsnorm (eine Funktion mit kleinen Werten kann eine Ableitung mit großen Werten haben, während die Ableitung von 0 gleich 0 ist ). Beispielsweise konvergiert sin( nx )/ n gegen 0 , seine Ableitung cos( nx ) jedoch nicht. Daher ist die Differentiation in 0 nicht stetig (und analog dazu nirgendwo).

Eine spezielle Anwendung linearer Abbildungen sind geometrische Transformationen , wie sie beispielsweise in der Computergrafik vorkommen . Dort werden Translation, Rotation und Skalierung von 2D- oder 3D-Objekten mithilfe einer Transformationsmatrix durchgeführt . Lineare Abbildungen dienen auch zur Beschreibung von Veränderungen: In der Analysis entsprechen sie beispielsweise Ableitungen, und in der Relativitätstheorie werden sie verwendet, um lokale Transformationen von Bezugssystemen zu erfassen.

Eine weitere Anwendung dieser Transformationen liegt in der Compileroptimierung von verschachteltem Schleifencode und in der Parallelisierung von Compilertechniken .

• Additive Abbildung  – Z-Modul-Homomorphismus
• Antilineare Abbildung  – Konjugierte homogene additive Abbildung
• Bent-Funktion  – Spezielle Art von Boolescher Funktion
• Beschränkter Operator  – Eine Art linearer Transformation
• Cauchysche Funktionalgleichung  – Funktionalgleichung
• Stetiger linearer Operator  – Funktion zwischen topologischen Vektorräumen
• Lineares Funktional  – Lineare Abbildung von einem Vektorraum in seinen SkalarkörperPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lineare Isometrie  – abstandserhaltende mathematische TransformationPages displaying short descriptions of redirect targets
• Kategorie von Matrizen
• Quasilinearisierung

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