Inzidenz (Geometrie)

In der Geometrie ist eine Inzidenzrelation eine heterogene Relation , die die Aussage von Formulierungen wie „Ein Punkt liegt auf einer Geraden“ oder „Eine Gerade liegt in einer Ebene“ verdeutlicht. Die grundlegendste Inzidenzrelation ist die zwischen einem Punkt P und einer Geraden l , oft auch als P I l bezeichnet . Sind P und l inzident, P I l , so nennt man das Paar ( P , l ) eine Flagge .

Es gibt viele Ausdrücke im allgemeinen Sprachgebrauch, um Inzidenz zu beschreiben (z. B. verläuft eine Gerade durch einen Punkt, ein Punkt liegt in einer Ebene usw.), aber der Begriff „Inzidenz“ wird bevorzugt _, da er keine zusätzlichen Konnotationen wie die anderen Begriffe aufweist und symmetrisch verwendet werden kann. Aussagen wie „Die Gerade l₁ schneidet die Gerade l₂ “ beschreiben ebenfalls Inzidenzbeziehungen, sind aber in diesem Fall eine Kurzform für „Es gibt einen Punkt _P , der sowohl mit der Geraden l₁ als auch mit der Geraden _l₂ inzidiert “ . Wenn ein Objekttyp als Menge eines anderen Objekttyps betrachtet werden kann ( z . B. eine Ebene als Menge von Punkten) _, dann kann eine Inzidenzbeziehung als Enthaltensein verstanden werden .

Aussagen wie „Jede zwei Geraden in einer Ebene schneiden sich“ werden Inzidenzsätze genannt . Dieser spezielle Satz ist in einer projektiven Ebene wahr , nicht jedoch in der euklidischen Ebene , wo Geraden parallel verlaufen können . Historisch gesehen wurde die projektive Geometrie entwickelt, um Inzidenzsätze ausnahmslos gültig zu machen, etwa aufgrund von Parallelen. Aus Sicht der synthetischen Geometrie sollte die projektive Geometrie solche Sätze als Axiome verwenden . Dies ist für projektive Ebenen besonders wichtig, da der Satz von Desargues in höheren Dimensionen universell gültig ist.

Im Gegensatz dazu definiert der analytische Ansatz den projektiven Raum mithilfe linearer Algebra und homogener Koordinaten . Die Inzidenzsätze leiten sich aus folgendem grundlegenden Ergebnis über Vektorräume ab : Gegeben seien Unterräume U und W eines (endlichdimensionalen) Vektorraums V. Die Dimension ihres Schnitts ist dim U + dim W − dim ( U + W ) . Da die geometrische Dimension des zu V gehörigen projektiven Raums P ( V ) dim V − 1 ist und die geometrische Dimension jedes Unterraums positiv ist, kann der grundlegende Inzidenzsatz in diesem Kontext folgende Form annehmen: Lineare Unterräume L und M des projektiven Raums P schneiden sich genau dann, wenn dim L + dim M ≥ dim P gilt . ^{[ 1 ]}

Die folgenden Abschnitte beschränken sich auf projektive Ebenen über Körpern , oft bezeichnet mit PG(2, F ) , wobei F ein Körper ist, oder P ² F . Diese Berechnungen lassen sich jedoch auf natürliche Weise auf höherdimensionale projektive Räume erweitern, und der Körper kann durch einen Schiefkörper (oder einen Schiefkörper) ersetzt werden, vorausgesetzt, man beachtet, dass die Multiplikation in diesem Fall nicht kommutativ ist .

Sei V der über dem Körper F definierte dreidimensionale Vektorraum . Die projektive Ebene P ( V ) = PG(2, F ) besteht aus den eindimensionalen Vektorunterräumen von V , den sogenannten Punkten , und den zweidimensionalen Vektorunterräumen von V , den sogenannten Geraden . Die Inzidenz eines Punktes und einer Geraden ist gegeben durch die Enthaltenheit des eindimensionalen Unterraums im zweidimensionalen Unterraum.

Wir wählen eine Basis für V , sodass wir seine Vektoren als Koordinatentripel (bezüglich dieser Basis) beschreiben können. Ein eindimensionaler Vektorunterraum besteht aus einem von Null verschiedenen Vektor und all seinen skalaren Vielfachen. Die von Null verschiedenen skalaren Vielfachen, als Koordinatentripel geschrieben, sind die homogenen Koordinaten des gegebenen Punktes, die sogenannten Punktkoordinaten . Bezüglich dieser Basis ist der Lösungsraum einer linearen Gleichung {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } ein zweidimensionaler Unterraum von V und somit eine Gerade von P ( V ) . Diese Gerade kann mit den Geradenkoordinaten [ a , b , c ] bezeichnet werden , die ebenfalls homogene Koordinaten sind, da von Null verschiedene skalare Vielfache immer dieselbe Gerade ergeben. Andere Notationen sind ebenfalls gebräuchlich. Punktkoordinaten können als Spaltenvektoren ( x , y , z ) ^{^T} mit Doppelpunkten ( x  : y  : z ) oder mit einem Index ( x , y , z ) _^P geschrieben werden . Entsprechend können Linienkoordinaten als Zeilenvektoren ( a , b , c ) mit Doppelpunkten [ a  : b  : c ] oder mit einem Index ( a , b , c ) ^_L geschrieben werden . Weitere Varianten sind ebenfalls möglich.

Gegeben ein Punkt P = ( x , y , z ) und eine Gerade l = [ a , b , c ] , ausgedrückt durch Punkt- und Geradenkoordinaten, so ist der Punkt genau dann mit der Geraden inzident (oft geschrieben als P I l ), ​​wenn

ax + by + cz = 0 .

Dies lässt sich in anderen Notationen wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=}$

${\displaystyle =[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

Unabhängig von der verwendeten Notation wird die Inzidenz von Punkten und Geraden, wenn man die homogenen Koordinaten als geordnete Tripel betrachtet, dadurch ausgedrückt, dass ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Seien P₁ _und P₂ zwei verschiedene Punkte mit den homogenen Koordinaten ( _x₁ , y₁ _, z₁ ) bzw. ( x₂ , y₂ , z₂ ) _{. Diese} Punkte bestimmen eine eindeutige Gerade l mit einer Gleichung der Form ax ₊ by + cz = 0 und müssen _{die folgenden} Gleichungen erfüllen :

ax ₁ + by ₁ + cz ₁ = 0 und

ax ₂ + by ₂ + cz ₂ = 0 .

In Matrixform lässt sich dieses System simultaner linearer Gleichungen wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

Dieses System besitzt genau dann eine nichttriviale Lösung , wenn die Determinante

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right|=0.}$

Die Entwicklung dieser Determinantengleichung liefert eine homogene lineare Gleichung, die die Gleichung der Geraden l sein muss . Daher gilt bis auf einen gemeinsamen von Null verschiedenen konstanten Faktor l = [ a , b , c ] , wobei:

a = y ₁ z ₂ - y ₂ z ₁ ,

b = x ₂ z ₁ - x ₁ z ₂ , und

c = x ₁ y ₂ - x ₂ y ₁ .

In der Notation des skalaren Tripelprodukts für Vektoren lässt sich die Gleichung dieser Geraden wie folgt schreiben:

P ⋅ P ₁ × P ₂ = 0 ,

wobei P = ( x , y , z ) ein beliebiger Punkt ist.

Punkte, die auf derselben Geraden liegen, heißen kollinear . Die Menge aller Punkte, die auf derselben Geraden liegen, wird als Bildbereich bezeichnet .

Wenn P₁ ₌ ( x₁ _, y₁ _, z₁ ) , P₂ = ( x₂ _, y₂ , z₂ ₎ und P₃ = ( _x₃ , y₃ , _z₃ ) _, dann _sind diese _{Punkte genau dann} kollinear , wenn

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|=0,}$

d.h. genau dann, wenn die Determinante der homogenen Koordinaten der Punkte gleich Null ist.

Bei mehr als 3 Punkten lässt sich dies als Rangtest verallgemeinern: Die homogenen Koordinaten sind genau dann kollinear, wenn${\displaystyle P_{1},...,P_{n}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),...,(x_{n},y_{n},z_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}&z_{n}\end{pmatrix}}<3}$Die

Nach dem Gram-Determinantentest ist die Frage, ob die obige Matrix einen Rang unterhalb des vollen Rangs hat, gleichbedeutend mit . ${\displaystyle P}$${\displaystyle \det(P^{\mathsf {T}}P)=0}$

Seien l₁ ₌ [ a₁ _, b₁ , c₁ ] und l₂ = [ _a₂ , b₂ , _c₂ ] zwei verschiedene Geraden. Dann ist der Schnittpunkt der Geraden l₁ und l₂ der Punkt _{aP =} (x₀, y₀ , z₀ ₎ , der die _Lösung ( bis _{auf einen Skalarfaktor )} des linearen _{Gleichungssystems} ist :

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = 0 und

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = 0 .

Die Lösung dieses Systems lautet:

x ₀ = b ₁ c ₂ - b ₂ c ₁ ,

y ₀ = a ₂ c ₁ - a ₁ c ₂ , und

z ₀ = a ₁ b ₂ - a ₂ b ₁ .

Alternativ kann man eine andere Gerade l = [ a , b , c ] betrachten , die durch den Punkt P verläuft , d. h. die homogenen Koordinaten von P erfüllen die Gleichung:

ax + by + cz = 0 .

Durch Kombination dieser Gleichung mit den beiden Gleichungen, die P definieren , können wir eine nichttriviale Lösung der Matrixgleichung suchen:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

Eine solche Lösung existiert, sofern die Determinante bekannt ist.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|=0.}$

Die Koeffizienten von a , b und c in dieser Gleichung geben die homogenen Koordinaten von P an .

Die Gleichung der allgemeinen Geraden, die durch den Punkt P verläuft , in skalarer Tripelproduktschreibweise lautet:

l ⋅ l ₁ × l ₂ = 0 .

Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, heißen konkurrent . Die Menge aller Geraden in einer Ebene, die mit demselben Punkt zusammentreffen, wird als Geradenbüschel mit diesem Mittelpunkt bezeichnet. Die Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden zeigt, dass das gesamte Geradenbüschel mit einem Punkt durch je zwei der Geraden, die sich in diesem Punkt schneiden, bestimmt wird. Daraus folgt unmittelbar, dass die algebraische Bedingung dafür, dass drei _{Geraden [ a₁ ,} b₁ , c₁ ] , [ _a₂ , b₂ , c₂ ] _, [ a₃ _, b₃ , c₃ ] konkurrent sind , _{lautet :}

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|=0.}$

• Satz von Menelaos
• Satz von Ceva
• Konzyklisch
• Hopcrofts Problem der Bestimmung von Punkt-Geraden-Inzidenzen
• Inzidenzmatrix
• Inzidenzalgebra
• Inzidenzstruktur
• Einfallsgeometrie
• Levi-Diagramm
• Hilberts Axiome

• Harold L. Dorwart (1966) Die Geometrie der Inzidenz , Prentice Hall .